Función de Debye

Función matemática

En matemáticas , la familia de funciones de Debye se define por $${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}}{e^{t}-1}}\,dt.}$$

Las funciones reciben su nombre en honor a Peter Debye , quien encontró esta función (con n = 3) en 1912 cuando calculó analíticamente la capacidad calorífica de lo que ahora se llama el modelo de Debye .

Propiedades matemáticas

Relación con otras funciones

Las funciones de Debye están estrechamente relacionadas con el polilogaritmo .

Expansión de la serie

Tienen la expansión en serie ^[1] donde es el n - ésimo número de Bernoulli . $${\displaystyle D_{n}(x)=1-{\frac {n}{2(n+1)}}x+n\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k+n)(2k)!}}x^{2k},\quad |x|<2\pi ,\ n\geq 1,}$$ ${\displaystyle B_{n}}$

Valores limitantes

$${\displaystyle \lim _{x\to 0}D_{n}(x)=1.}$$Si es la función gamma y es la función zeta de Riemann , entonces, para , ^[2] ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle x\gg 0}$ $${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int _{0}^{x}{\frac {t^{n}\,dt}{e^{t}-1}}\sim {\frac {n}{x^{n}}}\Gamma (n+1)\zeta (n+1),\qquad \operatorname {Re} n>0,}$$

Derivado

La derivada obedece a la relación donde es la función de Bernoulli. $${\displaystyle xD_{n}^{\prime }(x)=n\left(B(x)-D_{n}(x)\right),}$$ ${\displaystyle B(x)=x/(e^{x}-1)}$

Aplicaciones en física del estado sólido

El modelo Debye

El modelo de Debye tiene una densidad de estados vibracionales con la frecuencia de Debye ω _D . $${\displaystyle g_{\text{D}}(\omega )={\frac {9\omega ^{2}}{\omega _{\text{D}}^{3}}}\,,\qquad 0\leq \omega \leq \omega _{\text{D}}}$$

Energía interna y capacidad calorífica

Insertando g en la energía interna con la distribución de Bose-Einstein se obtiene La capacidad calorífica es la derivada de la misma. $${\displaystyle U=\int _{0}^{\infty }d\omega \,g(\omega )\,\hbar \omega \,n(\omega )}$$ $${\displaystyle n(\omega )={\frac {1}{\exp(\hbar \omega /k_{\text{B}}T)-1}}.}$$ $${\displaystyle U=3k_{\text{B}}T\,D_{3}(\hbar \omega _{\text{D}}/k_{\text{B}}T).}$$

Desplazamiento cuadrático medio

La intensidad de la difracción de rayos X o de la difracción de neutrones en el número de onda q viene dada por el factor de Debye-Waller o el factor de Lamb-Mössbauer . Para sistemas isótropos toma la forma En esta expresión, el desplazamiento cuadrático medio se refiere a solo un componente cartesiano u _x del vector u que describe el desplazamiento de los átomos desde sus posiciones de equilibrio. Suponiendo la armonicidad y desarrollándose en modos normales, ^[3] se obtiene Insertando la densidad de estados del modelo de Debye, se obtiene De la anterior expansión en serie de potencias de se deduce que el desplazamiento cuadrático medio a altas temperaturas es lineal en temperatura La ausencia de indica que este es un resultado clásico . Debido a que tiende a cero para se deduce que para ( movimiento de punto cero ). $${\displaystyle \exp(-2W(q))=\exp \left(-q^{2}\langle u_{x}^{2}\rangle \right).}$$ $${\displaystyle 2W(q)={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\text{B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\coth {\frac {\hbar \omega }{2k_{\text{B}}T}}={\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{6Mk_{\text{B}}T}}\int _{0}^{\infty }d\omega {\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega }}g(\omega )\left[{\frac {2}{\exp(\hbar \omega /k_{\text{B}}T)-1}}+1\right].}$$ $${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{2}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\text{D}}}}\left[2\left({\frac {k_{\text{B}}T}{\hbar \omega _{\text{D}}}}\right)D_{1}{\left({\frac {\hbar \omega _{\text{D}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}+{\frac {1}{2}}\right].}$$ ${\displaystyle D_{1}}$ $${\displaystyle 2W(q)={\frac {3k_{\text{B}}Tq^{2}}{M\omega _{\text{D}}^{2}}}.}$$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle D_{1}(x)}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle T=0}$ $${\displaystyle 2W(q)={\frac {3}{4}}{\frac {\hbar ^{2}q^{2}}{M\hbar \omega _{\text{D}}}}}$$

Referencias

1. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 27". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 998. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
2. Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.411". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de integrales, series y productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8.ª ed.). Academic Press, Inc. pp. 355ff. ISBN 978-0-12-384933-5. Número de serie LCCN  2014010276.
3. Ashcroft y Mermin 1976, Apéndice L,

Lectura adicional

• Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 27". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. Vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. pág. 998. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.
• La entrada "Función Debye" en MathWorld define las funciones Debye sin prefactor n / x ⁿ

Implementaciones

• Ng, EW; Devine, CJ (1970). "Sobre el cálculo de funciones de Debye de órdenes enteros". Math. Comp . 24 (110): 405–407. doi : 10.1090/S0025-5718-1970-0272160-6 . MR  0272160.
• Engeln, I.; Wobig, D. (1983). "Cálculo de las funciones de Debye generalizadas delta(x,y) y D(x,y)". Colloid & Polymer Science . 261 : 736–743. doi :10.1007/BF01410947. S2CID  98476561.
• MacLeod, Allan J. (1996). "Algoritmo 757: MISCFUN, un paquete de software para calcular funciones especiales poco comunes". ACM Trans. Math. Software . 22 (3): 288–301. doi : 10.1145/232826.232846 . S2CID  37814348.Código Fortran 77
• Versión Fortran 90
• Maximon, Leonard C. (2003). "La función dilogaritmo para argumentos complejos". Proc. R. Soc. A . 459 (2039): 2807–2819. Bibcode :2003RSPSA.459.2807M. doi :10.1098/rspa.2003.1156. S2CID  122271244.
• Guseinov, II; Mamedov, BA (2007). "Cálculo de funciones de Debye n-dimensionales enteras y no enteras utilizando coeficientes binomiales y funciones gamma incompletas". Int. J. Thermophys . 28 (4): 1420–1426. Bibcode :2007IJT....28.1420G. doi :10.1007/s10765-007-0256-1. S2CID  120284032.
• Versión C de la Biblioteca Científica GNU