Función chi de Legendre

Función matemática

En matemáticas , la función chi de Legendre es una función especial cuya serie de Taylor es también una serie de Dirichlet , dada por $${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}$$

Como tal, se asemeja a la serie de Dirichlet para el polilogaritmo y, de hecho, es trivialmente expresable en términos del polilogaritmo como $${\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}$$

La función chi de Legendre aparece como la transformada de Fourier discreta , con respecto al orden ν, de la función zeta de Hurwitz , y también de los polinomios de Euler , con las relaciones explícitas dadas en esos artículos.

La función chi de Legendre es un caso especial de la función trascendente de Lerch , y está dada por $${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).}$$

Identidades

$${\displaystyle \chi _{2}(x)+\chi _{2}(1/x)={\frac {\pi ^{2}}{4}}-{\frac {i\pi }{2}}\ln |x|.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\chi _{2}(x)={\frac {{\rm {arctanh\,}}x}{x}}.}$$

Relaciones integrales

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arcsin(r\sin \theta )d\theta =\chi _{2}\left(r\right)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(r\sin \theta )d\theta =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {r\theta \cos \theta }{1+r^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =2\chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+r^{2}}}-1}{r}}\right)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\arctan(p\sin \theta )\arctan(q\sin \theta )d\theta =\pi \chi _{2}\left({\frac {{\sqrt {1+p^{2}}}-1}{p}}\cdot {\frac {{\sqrt {1+q^{2}}}-1}{q}}\right)}$$ $${\displaystyle \int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{\beta }{\frac {dxdy}{1-x^{2}y^{2}}}=\chi _{2}(\alpha \beta )\qquad {\rm {if}}~~|\alpha \beta |\leq 1}$$

Referencias

• Weisstein, Eric W. "Función Chi de Legendre". MundoMatemático .
• Djurdje Cvijović, Jacek Klinowski (1999). "Valores de las funciones chi de Legendre y zeta de Hurwitz en argumentos racionales". Matemáticas de la computación . 68 (228): 1623–1630. doi : 10.1090/S0025-5718-99-01091-1 .
• Djurdje Cvijović (2007). "Representaciones integrales de la función chi de Legendre". Revista de análisis matemático y aplicaciones . 332 (2): 1056–1062. arXiv : 0911.4731 . doi :10.1016/j.jmaa.2006.10.083. S2CID  115155704.