lo cual es nuevamente válido para todos los valores complejos de s .
La función beta de Dirichlet también se puede escribir en términos de la función polilogaritmo :
También la representación en serie de la función beta de Dirichlet se puede formar en términos de la función poligamma
pero esta fórmula sólo es válida para valores enteros positivos de .
Fórmula del producto de Euler
También es el ejemplo más simple de una serie no directamente relacionada con la cual también se puede factorizar como un producto de Euler , lo que conduce a la idea del carácter de Dirichlet que define el conjunto exacto de series de Dirichlet que tienen una factorización sobre los números primos .
Al menos para Re( s ) ≥ 1:
donde p ≡1 mod 4 son los primos de la forma 4 n + 1 (5,13,17,...) y p ≡3 mod 4 son los primos de la forma 4 n + 3 (3,7,11,...). Esto se puede escribir de forma compacta como
donde Γ( s ) es la función gamma . Fue conjeturada por Euler en 1749 y demostrada por Malmsten en 1842 (véase Blagouchine, 2014).
Valores específicos
Para cada entero impar positivo , se cumple la siguiente ecuación: [2]
donde es el n-ésimo número de Euler . Esto da como resultado:
Para números enteros impares negativos, la función es cero:
Para cada entero par negativo se cumple: [2]
.
Además es:
.
No se sabe mucho sobre los valores de la función beta de Dirichlet para números enteros pares positivos (de manera similar a la función zeta de Riemann para números enteros impares mayores que 3). El número se conoce como constante de Catalan .
Se ha demostrado que hay infinitos números de la forma y al menos uno de los números son irracionales. [3] [4]
^ Relación beta de Dirichlet – zeta de Hurwitz, Matemáticas de ingeniería
^ ab Weisstein, Eric W. "Función Beta de Dirichlet". mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de agosto de 2024 .
^ Zudilin, Wadim (31 de mayo de 2019). "Aritmética de la constante catalana y sus familiares". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg . 89 (1): 45–53. doi : 10.1007/s12188-019-00203-w . ISSN 0025-5858.
^ Rivoal, T.; Zudilin, W. (1 de agosto de 2003). "Propiedades diofánticas de los números relacionadas con la constante de Catalan". Mathematische Annalen . 326 (4): 705–721. doi :10.1007/s00208-003-0420-2. ISSN 1432-1807.
Blagouchine, IV (2014). "Redescubrimiento de las integrales de Malmsten, su evaluación mediante métodos de integración de contornos y algunos resultados relacionados". Ramanujan J . 35 (1): 21–110. doi :10.1007/s11139-013-9528-5.
Glasser, ML (1972). "La evaluación de sumas reticulares. I. Procedimientos analíticos". J. Math. Phys . 14 (3): 409. Bibcode :1973JMP....14..409G. doi :10.1063/1.1666331.
J. Spanier y KB Oldham, Un Atlas de Funciones , (1987) Hemisphere, Nueva York.