Función eta de Dirichlet

Función en la teoría analítica de números

Representación en color de la función eta de Dirichlet. Se genera como un gráfico de Matplotlib utilizando una versión del método de coloración de dominio . ^[1]

En matemáticas , en el área de la teoría analítica de números , la función eta de Dirichlet se define mediante la siguiente serie de Dirichlet , que converge para cualquier número complejo que tenga parte real > 0: $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots .}$$

Esta serie de Dirichlet es la suma alternada correspondiente a la expansión en serie de Dirichlet de la función zeta de Riemann , ζ ( s ) —y por esta razón la función eta de Dirichlet también se conoce como la función zeta alternada , también denotada ζ *( s ). Se cumple la siguiente relación: $${\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}$$

Tanto la función eta de Dirichlet como la función zeta de Riemann son casos especiales de polilogaritmos .

Si bien la expansión en serie de Dirichlet para la función eta es convergente solo para cualquier número complejo s con parte real > 0, es sumable por Abel para cualquier número complejo. Esto sirve para definir la función eta como una función entera . (La relación anterior y los hechos de que la función eta es entera y en conjunto muestran que la función zeta es meromórfica con un polo simple en s = 1, y posiblemente polos adicionales en los otros ceros del factor , aunque de hecho estos polos adicionales hipotéticos no existen). ${\displaystyle \eta (1)\neq 0}$ ${\displaystyle 1-2^{1-s}}$

De manera equivalente, podemos comenzar definiendo que también está definida en la región de la parte real positiva ( representa la función gamma ). Esto da la función eta como una transformada de Mellin . $${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{dx}}$$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$

Hardy dio una prueba simple de la ecuación funcional para la función eta, ^[2] que es $${\displaystyle \eta (-s)=2{\frac {1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}}}\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}$$

De esto se obtiene inmediatamente también la ecuación funcional de la función zeta, así como otro medio para extender la definición de eta a todo el plano complejo.

Ceros

Los ceros de la función eta incluyen todos los ceros de la función zeta: los enteros pares negativos (ceros simples reales equidistantes); los ceros a lo largo de la línea crítica, ninguno de los cuales se sabe que sea múltiple y más del 40% de los cuales se ha demostrado que son simples, y los ceros hipotéticos en la franja crítica pero no en la línea crítica, que si existen deben ocurrir en los vértices de rectángulos simétricos alrededor del eje x y la línea crítica y cuya multiplicidad es desconocida. ^{[ cita requerida ]} Además, el factor agrega un número infinito de ceros simples complejos, ubicados en puntos equidistantes en la línea , en donde n es cualquier entero distinto de cero. ${\displaystyle 1-2^{1-s}}$ ${\displaystyle \Re (s)=1}$ ${\displaystyle s_{n}=1+2n\pi i/\ln(2)}$

Bajo la hipótesis de Riemann , los ceros de la función eta estarían ubicados simétricamente respecto del eje real en dos rectas paralelas , y en la semirrecta perpendicular formada por el eje real negativo. ${\displaystyle \Re (s)=1/2,\Re (s)=1}$

El problema de Landau cono(s) =η(s)/0 y soluciones

En la ecuación η ( s ) = (1 − 2 ^{1− s} ) ζ ( s ) , "el polo de ζ ( s ) en s = 1 se cancela por el cero del otro factor" (Titchmarsh, 1986, p. 17), y como resultado η (1) no es ni infinito ni cero (véase § Valores particulares). Sin embargo, en la ecuación η debe ser cero en todos los puntos , donde el denominador es cero, si la función zeta de Riemann es analítica y finita allí. El problema de probar esto sin definir primero la función zeta fue señalado y dejado abierto por E. Landau en su tratado de 1909 sobre teoría de números: "Si la serie eta es diferente de cero o no en los puntos , es decir, si estos son polos de zeta o no, no es fácilmente evidente aquí". $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-2^{1-s}}},}$$ ${\displaystyle s_{n}=1+n{\frac {2\pi }{\ln {2}}}i,n\neq 0,n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$

Una primera solución para el problema de Landau fue publicada casi 40 años después por DV Widder en su libro The Laplace Transform. Utiliza el primo siguiente 3 en lugar de 2 para definir una serie de Dirichlet similar a la función eta, que llamaremos la función, definida para y con algunos ceros también en , pero no iguales a los de eta. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle \Re (s)=1}$

Prueba indirecta de η ( s _n ) = 0 siguiendo a Widder

$${\displaystyle \lambda (s)=\left(1-{\frac {3}{3^{s}}}\right)\zeta (s)=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}\right)-{\frac {2}{3^{s}}}+\left({\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}\right)-{\frac {2}{6^{s}}}+\cdots }$$

Si es real y estrictamente positiva, la serie converge ya que los términos reagrupados se alternan en signo y decrecen en valor absoluto hasta cero. Según un teorema sobre convergencia uniforme de series de Dirichlet demostrado por primera vez por Cahen en 1894, la función es entonces analítica para , una región que incluye la recta . Ahora podemos definir correctamente, donde los denominadores no son cero, o ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \lambda (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle \Re (s)=1}$ $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}}$$ $${\displaystyle \zeta (s)={\frac {\lambda (s)}{1-{\frac {3}{3^{s}}}}}}$$

Como es irracional, los denominadores en las dos definiciones no son cero al mismo tiempo excepto para , y la función está bien definida y es analítica para excepto en . Finalmente obtenemos indirectamente que cuando : ${\displaystyle {\frac {\log 3}{\log 2}}}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle \eta (s_{n})=0}$ ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ $${\displaystyle \eta (s_{n})=\left(1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}\right)\zeta (s_{n})={\frac {1-{\frac {2}{2^{s_{n}}}}}{1-{\frac {3}{3^{s_{n}}}}}}\lambda (s_{n})=0.}$$

En 2003, J. Sondow publicó una prueba directa e independiente elemental de la desaparición de la función eta en . Expresa el valor de la función eta como el límite de sumas de Riemann especiales asociadas a una integral que se sabe que es cero, utilizando una relación entre las sumas parciales de la serie de Dirichlet que define las funciones eta y zeta para . ${\displaystyle \zeta \,}$ ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ ${\displaystyle \Re (s)>1}$

Prueba directa de η ( s _n ) = 0 por Sondow

Con un poco de álgebra simple realizada sobre sumas finitas, podemos escribir para cualquier complejo s $${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{2n}(s)&=\sum _{k=1}^{2n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k^{s}}}\\&=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {(-1)^{2n-1}}{{(2n)}^{s}}}\\[2pt]&=1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}-2\left({\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)\\[2pt]&=\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2}{2^{s}}}\left({\frac {1}{{(n+1)}^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(2n)}^{s}}}\right)\\[2pt]&=\left(1-{\frac {2}{2^{s}}}\right)\zeta _{2n}(s)+{\frac {2n}{{(2n)}^{s}}}\,{\frac {1}{n}}\,\left({\frac {1}{{(1+1/n)}^{s}}}+\dots +{\frac {1}{{(1+n/n)}^{s}}}\right).\end{aligned}}}$$

Ahora bien, si y , el factor que se multiplica es cero, y donde Rn( f ( x ), a , b ) denota una suma especial de Riemann que aproxima la integral de f ( x ) sobre [ a , b ] . Para t = 0 , es decir, s = 1 , obtenemos ${\displaystyle s=1+it}$ ${\displaystyle 2^{s}=2}$ ${\displaystyle \zeta _{2n}(s)}$ $${\displaystyle \eta _{2n}(s)={\frac {1}{n^{it}}}R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right),}$$ $${\displaystyle \eta (1)=\lim _{n\to \infty }\eta _{2n}(1)=\lim _{n\to \infty }R_{n}\left({\frac {1}{1+x}},0,1\right)=\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\log 2\neq 0.}$$

De lo contrario, si , entonces , lo que da como resultado ${\displaystyle t\neq 0}$ ${\displaystyle |n^{1-s}|=|n^{-it}|=1}$ $${\displaystyle |\eta (s)|=\lim _{n\to \infty }|\eta _{2n}(s)|=\lim _{n\to \infty }\left|R_{n}\left({\frac {1}{{(1+x)}^{s}}},0,1\right)\right|=\left|\int _{0}^{1}{\frac {dx}{{(1+x)}^{s}}}\right|=\left|{\frac {2^{1-s}-1}{1-s}}\right|=\left|{\frac {1-1}{-it}}\right|=0.}$$

Suponiendo , para cada punto donde , ahora podemos definir por continuidad lo siguiente, ${\displaystyle \eta (s_{n})=0}$ ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ ${\displaystyle 2^{s_{n}}=2}$ ${\displaystyle \zeta (s_{n})\,}$ $${\displaystyle \zeta (s_{n})=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)}{1-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}=\lim _{s\to s_{n}}{\frac {\eta (s)-\eta (s_{n})}{s-s_{n}}}\,{\frac {s-s_{n}}{{\frac {2}{2^{s_{n}}}}-{\frac {2}{2^{s}}}}}={\frac {\eta '(s_{n})}{\log(2)}}.}$$

Ahora se elimina la aparente singularidad de zeta en , y se demuestra que la función zeta es analítica en todas partes en , excepto en donde ${\displaystyle s_{n}\neq 1}$ ${\displaystyle \Re {s}>0}$ ${\displaystyle s=1}$ $${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=\lim _{s\to 1}{\frac {\eta (s)}{\frac {1-2^{1-s}}{s-1}}}={\frac {\eta (1)}{\log 2}}=1.}$$

Representaciones integrales

Se pueden enumerar varias fórmulas integrales que involucran la función eta. La primera se deriva de un cambio de variable de la representación integral de la función Gamma (Abel, 1823), lo que da una transformada de Mellin que se puede expresar de diferentes maneras como una integral doble (Sondow, 2005). Esto es válido para ${\displaystyle \Re s>0.}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (s)\eta (s)&=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{x}{\frac {x^{s-2}}{e^{x}+1}}\,dy\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }{\frac {(t+r)^{s-2}}{e^{t+r}+1}}dr\,dt=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\left(-\log(xy)\right)^{s-2}}{1+xy}}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$$

La transformación de Cauchy–Schlömilch (Amdeberhan, Moll et al., 2010) se puede utilizar para demostrar esta otra representación, válida para . La integración por partes de la primera integral anterior en esta sección produce otra derivación. ${\displaystyle \Re s>-1}$

$${\displaystyle 2^{1-s}\,\Gamma (s+1)\,\eta (s)=2\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2s+1}}{\cosh ^{2}(x^{2})}}\,dx=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{\cosh ^{2}(t)}}\,dt.}$$

La siguiente fórmula, de Lindelöf (1905), es válida en todo el plano complejo, cuando se toma el valor principal del logaritmo implícito en la exponencial. Esto corresponde a una fórmula de Jensen (1895) para toda la función , válida en todo el plano complejo y también demostrada por Lindelöf. "Esta fórmula, notable por su simplicidad, puede demostrarse fácilmente con la ayuda del teorema de Cauchy, tan importante para la suma de series", escribió Jensen (1895). De manera similar, al convertir las trayectorias de integración en integrales de contorno, se pueden obtener otras fórmulas para la función eta, como esta generalización (Milgram, 2013) válida para y todos : Los ceros en el eje real negativo se factorizan limpiamente haciendo (Milgram, 2013) para obtener una fórmula válida para : $${\displaystyle \eta (s)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{-s}}{e^{\pi t}+e^{-\pi t}}}\,dt.}$$ ${\displaystyle (s-1)\,\zeta (s)}$ $${\displaystyle (s-1)\zeta (s)=2\pi \,\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(1/2+it)^{1-s}}{(e^{\pi t}+e^{-\pi t})^{2}}}\,dt.}$$ ${\displaystyle 0<c<1}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{2}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(c+it)^{-s}}{\sin {(\pi (c+it))}}}\,dt.}$$ ${\displaystyle c\to 0^{+}}$ ${\displaystyle \Re s<0}$ $${\displaystyle \eta (s)=-\sin \left({\frac {s\pi }{2}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{-s}}{\sinh {(\pi t)}}}\,dt.}$$

Algoritmos numéricos

La mayoría de las técnicas de aceleración de series desarrolladas para series alternadas se pueden aplicar de forma rentable a la evaluación de la función eta. Un método particularmente simple, pero razonable, es aplicar la transformación de Euler de series alternadas para obtener $${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.}$$

Tenga en cuenta que la segunda suma interna es una diferencia hacia adelante .

El método de Borwein

Peter Borwein utilizó aproximaciones que involucraban polinomios de Chebyshev para producir un método para la evaluación eficiente de la función eta. ^[3] Si entonces donde para el término de error γ _n está acotado por $${\displaystyle d_{k}=n\sum _{\ell =0}^{k}{\frac {(n+\ell -1)!4^{\ell }}{(n-\ell )!(2\ell )!}}}$$ $${\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d_{n}}}\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d_{k}-d_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma _{n}(s),}$$ ${\displaystyle \Re (s)\geq {\frac {1}{2}}}$ $${\displaystyle |\gamma _{n}(s)|\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|\Im (s)|)\exp \left({\frac {\pi }{2}}|\Im (s)|\right).}$$

El factor de en el límite de error indica que la serie de Borwein converge bastante rápidamente a medida que n aumenta. ${\displaystyle 3+{\sqrt {8}}\approx 5.8}$

Valores particulares

• η (0) = 1 ⁄ 2 , la suma de Abel de la serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
• η (−1) = 1 ⁄ 4 , la suma de Abel de 1 − 2 + 3 − 4 + · · · .
• Para k un entero > 1, si B _k es el k - ésimo número de Bernoulli entonces $${\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}.}$$

También:

• ${\displaystyle \eta (1)=\ln 2}$, esta es la serie armónica alterna
• ${\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}$ Norma OEIS : A072691
• ${\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}\approx 0.94703283}$
• ${\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}\approx 0.98555109}$
• ${\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}\approx 0.99623300}$
• ${\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}\approx 0.99903951}$
• ${\displaystyle \eta (12)={{1414477\pi ^{12}} \over {1307674368000}}\approx 0.99975769}$

La forma general para números enteros positivos pares es: $${\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi ^{2n}\left(2^{2n-1}-1\right)} \over {(2n)!}}.}$$

Tomando el límite , se obtiene . ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \eta (\infty )=1}$

Derivados

La derivada con respecto al parámetro s es para ${\displaystyle s\neq 1}$ $${\displaystyle \eta '(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\ln n}{n^{s}}}=2^{1-s}\ln(2)\,\zeta (s)+(1-2^{1-s})\,\zeta '(s).}$$ $${\displaystyle \eta '(1)=\ln(2)\,\gamma -\ln(2)^{2}\,2^{-1}}$$

Referencias

1. "Visor de cuadernos Jupyter".
2. Hardy, GH (1922). Una nueva prueba de la ecuación funcional para la función zeta. Matematisk Tidsskrift. B, 71–73. http://www.jstor.org/stable/24529536
3. Borwein, Peter (2000). "Un algoritmo eficiente para la función zeta de Riemann". En Théra, Michel A. (ed.). Análisis constructivo, experimental y no lineal (PDF) . Actas de congresos, Sociedad Matemática Canadiense. Vol. 27. Providence, RI: Sociedad Matemática Americana , en representación de la Sociedad Matemática Canadiense . págs. 29–34. ISBN 978-0-8218-2167-1Archivado desde el original (PDF) el 26 de julio de 2011. Consultado el 20 de septiembre de 2008 .

• Jensen, JLWV (1895). "Comentarios familiares aux réponses de MM. Franel et Kluyver". L'Intermédiaire des Mathématiciens . II : 346].
• Lindelöf, Ernst (1905). El cálculo de residuos y sus aplicaciones según la teoría de las funciones. Gauthier-Villars. pag. 103.
• Widder, David Vernon (1946). La transformada de Laplace. Princeton University Press. pág. 230.
• Landau, Edmund, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Erster Band, Berlín, 1909, p. 160. (Segunda edición de Chelsea, Nueva York, 1953, p. 160, 933)
• Titchmarsh, EC (1986). La teoría de la función zeta de Riemann, segunda edición revisada (Heath-Brown). Oxford University Press.
• Conrey, JB (1989). "Más de dos quintas partes de los ceros de la función zeta de Riemann están en la línea crítica". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1989 (399): 1–26. doi :10.1515/crll.1989.399.1. S2CID  115910600.
• Knopp, Konrad (1990) [1922]. Teoría y aplicación de series infinitas . Dover. ISBN 0-486-66165-2.
• Borwein, P., Un algoritmo eficiente para la función zeta de Riemann Archivado el 26 de julio de 2011 en Wayback Machine , Análisis experimental y no lineal constructivo, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29–34.
• Sondow, Jonathan (2005). "Integrales dobles para la constante de Euler y ln 4/π y un análogo de la fórmula de Hadjicostas". Amer. Math. Monthly . 112 : 61–65. arXiv : math.CO/0211148 .Amer. Math. Monthly 112 (2005) 61–65, fórmula 18.
• Sondow, Jonathan (2003). "Ceros de la función zeta alternada en la línea R(s)=1". Amer. Math. Monthly . 110 : 435–437. arXiv : math/0209393 .Revista de Matemáticas de Estados Unidos, 110 (2003) 435–437.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal (2003). "Evaluación numérica de la función Riemann Zeta" (PDF) .
• Amdeberhan, T.; Glasser, ML; Jones, M. C; Moll, VH; Posey, R.; Varela, D. (2010). "La transformación de Cauchy-Schlomilch". arXiv : 1004.2445 [math.CA].pág. 12.
• Milgram, Michael S. (2012). "Representaciones integrales y en serie de la función zeta de Riemann, la función eta de Dirichlet y una mezcla de resultados relacionados". Journal of Mathematics . 2013 : 1–17. arXiv : 1208.3429 . doi : 10.1155/2013/181724 ..