Integral completa de Fermi-Dirac

Integral matemática

En matemáticas , la integral completa de Fermi-Dirac , llamada así en honor a Enrico Fermi y Paul Dirac , para un índice j  se define como

${\displaystyle F_{j}(x)={\frac {1}{\Gamma (j+1)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{j}}{e^{t-x}+1}}\,dt,\qquad (j>-1)}$

Esto es igual a

${\displaystyle -\operatorname {Li} _{j+1}(-e^{x}),}$

¿Dónde está el polilogaritmo ? ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$

Su derivada es

${\displaystyle {\frac {dF_{j}(x)}{dx}}=F_{j-1}(x),}$

y esta relación derivada se utiliza para definir la integral de Fermi-Dirac para índices no positivos j . En la literatura aparecen notaciones diferentes para , por ejemplo, algunos autores omiten el factor . La definición utilizada aquí coincide con la del DLMF del NIST. ${\displaystyle F_{j}}$ ${\displaystyle 1/\Gamma (j+1)}$

Valores especiales

La forma cerrada de la función existe para j  = 0:

${\displaystyle F_{0}(x)=\ln(1+\exp(x)).}$

Para x = 0 , el resultado se reduce a

${\displaystyle F_{j}(0)=\eta (j+1),}$

¿Dónde está la función eta de Dirichlet ? ${\displaystyle \eta }$

Véase también

• Integral incompleta de Fermi-Dirac
• Función gamma
• Polilogaritmo

Referencias

• Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "3.411.3". En Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Tabla de integrales, series y productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8.ª ed.). Academic Press, Inc. pág. 355. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276. ISBN 978-0-12-384933-5 . 
• RBDingle (1957). Integrales de Fermi-Dirac . Appl.Sci.Res. B6. págs. 225–239.

Enlaces externos

• Manual de referencia de la biblioteca científica GNU
• Calculadora integral de Fermi-Dirac para iPhone/iPad
• Notas sobre las integrales de Fermi-Dirac
• Sección de la Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas del NIST
• npplus: paquete de Python que proporciona (entre otras) integrales e inversas de Fermi-Dirac para varios órdenes comunes.
• Wolfram's MathWorld: Definición dada por Wolfram's MathWorld.