En matemáticas , un contorno de Hankel es un camino en el plano complejo que se extiende desde (+∞,δ), alrededor del origen en sentido antihorario y de regreso a (+∞,−δ), donde δ es un número positivo arbitrariamente pequeño. El contorno permanece así arbitrariamente cerca del eje real pero sin cruzar el eje real excepto para valores negativos de x . El contorno de Hankel también puede representarse por un camino que tiene imágenes especulares justo encima y debajo del eje real, conectadas a un círculo de radio ε, centrado en el origen, donde ε es un número arbitrariamente pequeño. Se dice que las dos porciones lineales del contorno están a una distancia de δ del eje real. Por lo tanto, la distancia total entre las porciones lineales del contorno es 2δ. [1] El contorno se recorre en el sentido de orientación positiva, lo que significa que el círculo alrededor del origen se recorre en sentido antihorario.
El uso de contornos de Hankel es uno de los métodos de integración de contornos . Este tipo de ruta para las integrales de contorno fue utilizada por primera vez por Hermann Hankel en sus investigaciones sobre la función Gamma .
El contorno de Hankel se utiliza para evaluar integrales como la función Gamma, la función zeta de Riemann y otras funciones de Hankel (que son funciones de Bessel del tercer tipo). [1] [2]
El contorno de Hankel es útil para expresar y resolver la función Gamma en el plano t complejo . La función Gamma se puede definir para cualquier valor complejo en el plano si evaluamos la integral a lo largo del contorno de Hankel. El contorno de Hankel es especialmente útil para expresar la función Gamma para cualquier valor complejo porque los puntos finales del contorno se desvanecen y, por lo tanto, permite que se cumpla la propiedad fundamental de la función Gamma, que establece . [2]
Fuente: [2]
Nótese que la representación formal de la función Gamma es .
Para satisfacer la propiedad fundamental de la función Gamma, se deduce que
después de multiplicar ambos lados por z.
Por lo tanto, dado que los puntos finales del contorno de Hankel se desvanecen, los lados izquierdo y derecho se reducen a
.
Usando ecuaciones diferenciales ,
se convierte en la solución general. Mientras A es constante con respecto a t , se cumple que A puede fluctuar dependiendo del número complejo z . Como A(z) es arbitrario, una exponencial compleja en z puede ser absorbida en la definición de A(z). Sustituyendo f(t) en la integral original se obtiene .
Al integrar a lo largo del contorno de Hankel, la expresión integral del contorno de la función Gamma se convierte en . [2]
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