Integral de tangente inversa

Función especial relacionada con el dilogaritmo

La integral tangente inversa es una función especial , definida por:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}$

De manera equivalente, puede definirse mediante una serie de potencias , o en términos del dilogaritmo , una función especial estrechamente relacionada.

Definición

La integral tangente inversa se define por:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}$

Se considera que la arcotangente es la rama principal , es decir, − π /2 < arctan( t ) < π /2 para todo t real . ^[1]

Su representación en serie de potencias es

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=x-{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}-{\frac {x^{7}}{7^{2}}}+\cdots }$

que es absolutamente convergente para ^[1] ${\displaystyle |x|\leq 1.}$

La integral de la tangente inversa está estrechamente relacionada con el dilogaritmo y se puede expresar simplemente en términos de él: ${\textstyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Li} _{2}(iz)-\operatorname {Li} _{2}(-iz)\right)}$

Eso es,

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(ix))}$

para todo x real . ^[1]

Propiedades

La integral tangente inversa es una función impar : ^[1]

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(-x)=-\operatorname {Ti} _{2}(x)}$

Los valores de Ti ₂ ( x ) y Ti ₂ (1/ x ) están relacionados por la identidad

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{2}}\log x}$

válido para todo x > 0 (o, más generalmente, para Re( x ) > 0). Esto se puede demostrar derivando y utilizando la identidad . ^{[2] [3]} ${\displaystyle \arctan(t)+\arctan(1/t)=\pi /2}$

El valor especial Ti ₂ (1) es la constante de Catalan . ^[3] ${\textstyle 1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots \approx 0.915966}$

Generalizaciones

Similar al polilogaritmo , la función ${\textstyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)^{n}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{n}}}+{\frac {x^{5}}{5^{n}}}-{\frac {x^{7}}{7^{n}}}+\cdots }$

se define de forma análoga. Esto satisface la relación de recurrencia: ^[4]

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {Ti} _{n-1}(t)}{t}}\,dt}$

Mediante esta representación de la serie se puede ver que los valores especiales , donde representa la función beta de Dirichlet . ${\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(1)=\beta (n)}$ ${\displaystyle \beta (s)}$

Relación con otras funciones especiales

La integral tangente inversa está relacionada con la función chi de Legendre por: ^[1] ${\textstyle \chi _{2}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}}}+\cdots }$

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=-i\chi _{2}(ix)}$

Tenga en cuenta que se puede expresar como , similar a la integral de tangente inversa pero con la tangente hiperbólica inversa en su lugar. ${\displaystyle \chi _{2}(x)}$ ${\textstyle \int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {artanh} t}{t}}\,dt}$

La integral tangente inversa también puede escribirse en términos de la trascendente de Lerch ^[5] ${\textstyle \Phi (z,s,a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}:}$

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)={\frac {1}{4}}x\Phi (-x^{2},2,1/2)}$

Historia

La notación Ti ₂ y Ti _n se debe a Lewin. Spence (1809) ^[6] estudió la función, utilizando la notación . La función también fue estudiada por Ramanujan . ^[2] ${\displaystyle {\overset {n}{\operatorname {C} }}(x)}$

Referencias

1. Lewin 1981, págs. 38-39, Sección 2.1
2. Ramanujan, S. (1915). "Sobre la integral ". Revista de la Sociedad Matemática de la India . 7 : 93–96. ${\displaystyle \int _{0}^{x}{\frac {\tan ^{-1}t}{t}}\,dt}$Aparece en: Hardy, GH ; Seshu Aiyar, PV; Wilson, BM , eds. (1927). Documentos recopilados de Srinivasa Ramanujan . págs. 40–43.
3. Lewin 1981, págs. 39-40, Sección 2.2
4. Lewin 1981, pág. 190, Sección 7.1.2
5. Weisstein, Eric W. "Integral tangente inversa". MundoMatemático .
6. Spence, William (1809). Un ensayo sobre la teoría de los diversos órdenes de trascendentes logarítmicos; con una investigación sobre sus aplicaciones al cálculo integral y la suma de series. Londres.

• Lewin, L. (1958). Dilogaritmos y funciones asociadas . Londres: Macdonald. MR  0105524. Zbl  0083.35904.
• Lewin, L. (1981). Polilogaritmos y funciones asociadas . Nueva York: North-Holland. ISBN 978-0-444-00550-2.