Función especial relacionada con el dilogaritmo.
La integral tangente inversa es una función especial , definida por:
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
De manera equivalente, puede definirse mediante una serie de potencias , o en términos del dilogaritmo , una función especial estrechamente relacionada.
Definición
La integral de tangente inversa está definida por:
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\arctan t}{t}}\,dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El arcotangente se considera la rama principal ; es decir, − π /2 < arctan( t ) < π /2 para todo t real . [1]
Su representación en series de potencias es
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=x-{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^ {2}}}-{\frac {x^{7}}{7^{2}}}+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es absolutamente convergente para [1]![{\displaystyle |x|\leq 1.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La integral de tangente inversa está estrechamente relacionada con el dilogaritmo y se puede expresar simplemente en términos de él:![{\textstyle \operatorname {Li} _{2}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)={\frac {1}{2i}}\left(\operatorname {Li} _{2}(iz)-\operatorname {Li} _{2 }(-iz)\derecha)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Eso es,
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=\operatorname {Im} (\operatorname {Li} _{2}(ix))}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para todo real x . [1]
Propiedades
La integral tangente inversa es una función impar : [1]
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(-x)=-\operatorname {Ti} _{2}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los valores de Ti 2 ( x ) y Ti 2 (1/ x ) están relacionados por la identidad
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)-\operatorname {Ti} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {\pi }{ 2}}\log x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
válido para todo x > 0 (o, más generalmente, para Re( x ) > 0). Esto se puede comprobar diferenciando y utilizando la identidad . [2] [3]![{\displaystyle \arctan(t)+\arctan(1/t)=\pi /2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El valor especial Ti 2 (1) es la constante de catalán . [3]![{\textstyle 1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+ \cdots \aproximadamente 0,915966}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Generalizaciones
Similar al polilogaritmo , la función![{\textstyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}x^{2k+1} }{\left(2k+1\right)^{n}}}=x-{\frac {x^{3}}{3^{n}}}+{\frac {x^{5}}{ 5^{n}}}-{\frac {x^{7}}{7^{n}}}+\cdots }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se define de manera análoga. Esto satisface la relación de recurrencia: [4]
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{n}(x)=\int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {Ti} _{n-1}(t)}{t}}\ ,dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Mediante esta representación en serie se puede ver que los valores especiales , donde representan la función beta de Dirichlet .![{\displaystyle \operatorname {Ti} _ {n}(1)=\beta (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta(s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Relación con otras funciones especiales
La integral de tangente inversa está relacionada con la función chi de Legendre mediante: [1]![{\textstyle \chi _{2}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3^{2}}}+{\frac {x^{5}}{5^{2}} }+\cpuntos }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)=-i\chi _{2}(ix)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Tenga en cuenta que se puede expresar como , similar a la integral tangente inversa pero con la tangente hiperbólica inversa .![{\displaystyle \chi _{2}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\textstyle \int _{0}^{x}{\frac {\operatorname {artanh} t}{t}}\,dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La integral tangente inversa también se puede escribir en términos de la trascendente de Lerch [5]![{\textstyle \Phi (z,s,a)=\sum _ {n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}:}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(x)={\frac {1}{4}}x\Phi (-x^{2},2,1/2)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Historia
La notación Ti 2 y Ti n se debe a Lewin. Spence (1809) [6] estudió la función, utilizando la notación . La función también fue estudiada por Ramanujan . [2]![{\displaystyle {\overset {n}{\operatorname {C} }}(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ abcde Lewin 1981, págs. 38-39, sección 2.1
- ^ ab Ramanujan, S. (1915). "Sobre la integral ". Revista de la Sociedad Matemática de la India . 7 : 93–96.
Aparece en: Hardy, GH ; Seshu Aiyar, PV; Wilson, BM , eds. (1927). Artículos recopilados de Srinivasa Ramanujan . págs. 40–43. - ^ ab Lewin 1981, págs. 39–40, sección 2.2
- ^ Lewin 1981, pág. 190, Sección 7.1.2
- ^ Weisstein, Eric W. "Integral tangente inversa". MundoMatemático .
- ^ Spence, William (1809). Un ensayo sobre la teoría de los distintos órdenes de trascendentes logarítmicas; con una indagación sobre sus aplicaciones al cálculo integral y a la sumatoria de series. Londres.
- Lewin, L. (1958). Dilogaritmos y funciones asociadas . Londres: Macdonald. SEÑOR 0105524. Zbl 0083.35904.
- Lewin, L. (1981). Polilogaritmos y funciones asociadas . Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-444-00550-2.