Función zeta de Lerch

En matemáticas , la función zeta de Lerch , a veces llamada función zeta de Hurwitz-Lerch , es una función especial que generaliza la función zeta de Hurwitz y el polilogaritmo . Lleva el nombre del matemático checo Mathias Lerch , quien publicó un artículo sobre la función en 1887. ^[1]

Definición

La función zeta de Lerch viene dada por

${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}.}$

Una función relacionada, la trascendente de Lerch , viene dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}$.

La trascendente sólo converge para cualquier número real , donde: ${\displaystyle \alpha >0}$

${\displaystyle |z|<1}$, o

${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$, y . ^[2] ${\displaystyle |z|=1}$

Los dos están relacionados, como

${\displaystyle \,\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,s,\alpha ).}$

Representaciones integrales

El trascendente de Lerch tiene una representación integral:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

La prueba se basa en el uso de la definición integral de la función Gamma para escribir

${\displaystyle \Phi (z,s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }t^{s}z^{n}e^{-(n+a)t}{\frac {dt}{t}}}$

y luego intercambiando la suma y la integral. La representación integral resultante converge para Re( s ) > 0 y Re( a ) > 0. Esto continúa analíticamente hasta z fuera del disco unitario. La fórmula integral también es válida si z = 1, Re( s ) > 1 y Re( a ) > 0; ver función zeta de Hurwitz . ^{[3] [4]} ${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),}$ ${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$

Una representación integral de contorno está dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

donde C es un contorno de Hankel en sentido antihorario alrededor del eje real positivo, que no encierra ninguno de los puntos (para el entero k ) que son polos del integrando. La integral supone Re( a ) > 0. ^[5] ${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i}$

Otras representaciones integrales

Una representación integral tipo Hermite está dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

para

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}$

y

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

para

${\displaystyle \Re (a)>0.}$

Representaciones similares incluyen

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt,}$

y

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt,}$

manteniendo z positivo (y más generalmente dondequiera que converjan las integrales). Además,

${\displaystyle \Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},s,a{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,}$

La última fórmula también se conoce como fórmula de Lipschitz .

Casos especiales

La función Lerch zeta y el trascendente de Lerch generalizan varias funciones especiales.

La función zeta de Hurwitz es el caso especial ^[6]

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=L(0,s,\alpha )=\Phi (1,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}.}$

El polilogaritmo es otro caso especial: ^[6]

${\displaystyle {\textrm {Li}}_{s}(z)=z\Phi (z,s,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}.}$

La función zeta de Riemann es un caso especial de los dos anteriores: ^[6]

${\displaystyle \zeta (s)=\Phi (1,s,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

Otros casos especiales incluyen:

• La función Dirichlet eta : ^[6]

${\displaystyle \eta (s)=\Phi (-1,s,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}}$

• La función beta de Dirichlet : ^[6]

${\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi (-1,s,1/2)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{s}}}}$

• La función chi de Legendre : ^[6]

${\displaystyle \chi _{s}(z)=2^{-s}z\Phi (z^{2},s,1/2)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}}$

• La función poligamma : ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle \psi ^{(n)}(\alpha )=(-1)^{n+1}n!\Phi (1,n+1,\alpha )}$

Identidades

Para λ racional, el sumando es una raíz de la unidad y, por tanto, puede expresarse como una suma finita sobre la función zeta de Hurwitz. Supongamos con y . Entonces y . ${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )}$ ${\textstyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$ ${\displaystyle \omega ^{q}=1}$

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta \left(s,{\frac {m+\alpha }{q}}\right)}$

Varias identidades incluyen:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

y

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

y

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}$

Representaciones en serie

Una representación en serie para el trascendente de Lerch viene dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}$

(Tenga en cuenta que es un coeficiente binomial ). ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

La serie es válida para todos los s y para z complejos con Re( z )<1/2. Nótese un parecido general con una representación en serie similar para la función zeta de Hurwitz. ^[7]

Arthur Erdélyi proporcionó una serie de Taylor en el primer parámetro . Puede escribirse como la siguiente serie, que es válida para ^[8]

${\displaystyle \left|\log(z)\right|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}$

Si n es un entero positivo, entonces

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}$

¿Dónde está la función digamma ? ${\displaystyle \psi (n)}$

Una serie de Taylor en la tercera variable viene dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

¿Dónde está el símbolo de Pochhammer ? ${\displaystyle (s)_{k}}$

La serie en a = − n está dada por

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}$

Un caso especial para n = 0 tiene la siguiente serie

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}$

¿Dónde está el polilogaritmo ? ${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$

Una serie asintótica para ${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}$

Para y ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}$

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}$

para ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).}$

Una serie asintótica en la función gamma incompleta.

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

para ${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0.}$

La representación como función hipergeométrica generalizada es ^[9]

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right).}$

Expansión asintótica

La función polilogaritmo se define como ${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}$

Dejar

${\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}$

Para y , una expansión asintótica de para grande y fija y viene dada por ${\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z\in \Omega _{a}}$ ${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}$

para , ¿dónde está el símbolo de Pochhammer ? ^[10] ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)}$

Dejar

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}$

Sean sus coeficientes de Taylor en . Luego para fijo y , ${\displaystyle C_{n}(z,a)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}$ ${\displaystyle \Re s>0}$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}$

como . ^[11] ${\displaystyle \Re a\to \infty }$

Software

El trascendente Lerch se implementa como LerchPhi en Maple y Mathematica, y como lerchphi en mpmath y SymPy.

Referencias

1. Lerch, Mathias (1887), "Nota sobre la función K ( w , x , s ) = ∑ k = 0 ∞ e 2 k π i x ( w + k ) s {\displaystyle \scriptstyle {\mathfrak {K}} (w,x,s)=\sum _{k=0}^{\infty }{e^{2k\pi ix} \over (w+k)^{s}}} ", Acta Mathematica (en francés ), 11 (1–4): 19–24, doi : 10.1007/BF02612318 , JFM  19.0438.01, SEÑOR  1554747, S2CID  121885446
2. https://arxiv.org/pdf/math/0506319.pdf
3. Bateman y Erdélyi 1953, pág. 27
4. Guillera & Sondow 2008, Lema 2.1 y 2.2
5. Bateman y Erdélyi 1953, pág. 28
6. Guillera y Sondow 2008, p. 248–249
7. "La continuación analítica del trascendente de Lerch y la función Zeta de Riemann". 27 de abril de 2020 . Consultado el 28 de abril de 2020 .
8. BR Johnson (1974). "Función zeta de Lerch generalizada". Pacífico J. Matemáticas . 53 (1): 189-193. doi : 10.2140/pjm.1974.53.189 .
9. Gottschalk, JE; Maslen, EN (1988). "Fórmulas de reducción para funciones hipergeométricas generalizadas de una variable". J. Física. A . 21 (9): 1983–1998. Código Bib : 1988JPhA...21.1983G. doi :10.1088/0305-4470/21/9/015.
10. Ferreira, Chelo; López, José L. (octubre de 2004). "Expansiones asintóticas de la función zeta de Hurwitz-Lerch". Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . 298 (1): 210–224. doi : 10.1016/j.jmaa.2004.05.040 .
11. Cai, Xing Shi; López, José L. (10 de junio de 2019). "Una nota sobre la expansión asintótica del trascendente de Lerch". Transformadas Integrales y Funciones Especiales . 30 (10): 844–855. arXiv : 1806.01122 . doi :10.1080/10652469.2019.1627530. S2CID  119619877.

• Apostol, TM (2010), "Lerch's Transcendent", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248..
• Bateman, H .; Erdélyi, A. (1953), Funciones trascendentales superiores, vol. I (PDF) , Nueva York: McGraw-Hill. (Ver § 1.11, "La función Ψ( z , s , v ) ", p. 27)
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich ; Jeffrey, Alan (2015) [octubre de 2014]. "9,55". En Zwillinger, Daniel; Moll, Víctor Hugo (eds.). Tabla de Integrales, Series y Productos . Traducido por Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Prensa académica. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
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enlaces externos

• Aksenov, Sergej V.; Jentschura, Ulrich D. (2002), Programas C y Mathematica para el cálculo de la trascendente de Lerch.
• Ramunas Garunkstis, Home Page (2005) (Proporciona numerosas referencias y preimpresiones).
• Garunkstis, Ramunas (2004). "Aproximación de la función Zeta de Lerch" (PDF) . Revista de matemáticas de Lituania . 44 (2): 140–144. doi :10.1023/B:LIMA.0000033779.41365.a5. S2CID  123059665.
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• Weisstein, Eric W. "Lerch Trascendente". MundoMatemático .
• Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), "Lerch's Trascendente", Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.