función gamma

Ampliación de la función factorial.

En matemáticas , la función gamma (representada por Γ , la letra mayúscula gamma del alfabeto griego ) es una extensión comúnmente utilizada de la función factorial para números complejos . La función gamma está definida para todos los números complejos excepto los enteros no positivos. Para cada entero positivo n ,

$${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,.}$$

Derivada por Daniel Bernoulli , para números complejos con parte real positiva, la función gamma se define mediante una integral impropia convergente :

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\text{ d}}t,\ \qquad \Re (z)>0\,.}$$

La función gamma entonces se define como la continuación analítica de esta función integral a una función meromorfa que es holomorfa en todo el plano complejo excepto cero y los enteros negativos, donde la función tiene polos simples . ^{[ se necesita aclaración ]}

La función gamma no tiene ceros, por lo que la función gamma recíproca 1/Γ( z )es una función completa . De hecho, la función gamma corresponde a la transformada de Mellin de la función exponencial negativa :

$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

Existen otras extensiones de la función factorial, pero la función gamma es la más popular y útil. Es un componente de varias funciones de distribución de probabilidad y, como tal, es aplicable en los campos de la probabilidad y la estadística , así como en la combinatoria .

Motivación

${\displaystyle \Gamma (x+1)}$interpola la función factorial a valores no enteros.

La función gamma puede verse como una solución al siguiente problema de interpolación :

"Encuentre una curva suave que conecte los puntos  ( x , y ) dados por y = ( x − 1)! en los valores enteros positivos para  x ".

Un gráfico de los primeros factoriales sugiere que se puede trazar dicha curva, pero sería preferible tener una fórmula que la describa con precisión. La fórmula simple para el factorial, x ! = 1 × 2 × ⋯ × x , no se puede usar directamente para valores no enteros de x ya que solo es válido cuando x es un número natural (o un entero positivo). En términos relativos, no existen soluciones tan simples para los factoriales; ¡ninguna combinación finita de sumas, productos, potencias, funciones exponenciales o logaritmos será suficiente para expresar  x ! ; pero es posible encontrar una fórmula general para factoriales utilizando herramientas como integrales y límites del cálculo . Una buena solución para esto es la función gamma. ^[1]

Hay infinitas extensiones continuas del factorial a números no enteros: se pueden dibujar infinitas curvas a través de cualquier conjunto de puntos aislados. La función gamma es la solución más útil en la práctica, ya que es analítica (excepto en los números enteros no positivos) y puede definirse de varias formas equivalentes. Sin embargo, no es la única función analítica que extiende el factorial, ya que agregarle cualquier función analítica que sea cero en los números enteros positivos, como k sen mπx para un número entero m , dará otra función con esa propiedad. ^[1] Esta función se conoce como función pseudogamma , siendo la más famosa la función de Hadamard . ^[2]

La función gamma, Γ( z ) en azul, representada junto con Γ( z ) + sin(π z ) en verde. Observe la intersección en números enteros positivos. Ambas son extensiones válidas de los factoriales a una función meromórfica en el plano complejo.

Una propiedad más restrictiva que satisfacer la interpolación anterior es satisfacer la relación de recurrencia que define una versión traducida de la función factorial, ^{[3] [4]}

$${\displaystyle f(1)=1,}$$

$${\displaystyle f(x+1)=xf(x),}$$

para cualquier número real positivo x . Pero esto permitiría la multiplicación por cualquier función g ( x ) que satisfaga tanto g ( x ) = g ( x +1 ) para todos los números reales x como g (0) = 1 , como la función g ( x ) = e ^{k pecado 2mπx} . Una de las varias formas de resolver la ambigüedad proviene del teorema de Bohr-Mollerup . Establece que cuando se agrega la condición de que f sea logarítmicamente convexo (o "superconvexo", ^[5] , lo que significa que es convexo ), determina de forma única f para entradas reales positivas. A partir de ahí, la función gamma se puede extender a todos los valores reales y complejos (excepto los enteros negativos y el cero) utilizando la continuación analítica única de f . ^[6] ${\displaystyle \ln \circ f}$

Definición

Definición principal

La notación se debe a Legendre . ^[1] Si la parte real del número complejo  z es estrictamente positiva ( ), entonces la integral ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Re (z)>0}$

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}$$

converge absolutamenteintegral de Euler de segunda clasefunción beta^[1]la integración por partes

Valor absoluto (vertical) y argumento (color) de la función gamma en el plano complejo

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt\\&={\Bigl [}-t^{z}e^{-t}{\Bigr ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zt^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=\lim _{t\to \infty }\left(-t^{z}e^{-t}\right)-\left(-0^{z}e^{-0}\right)+z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt.\end{aligned}}}$$

Reconociendo que como ${\displaystyle -t^{z}e^{-t}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty ,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}}$$

Podemos calcular : ${\displaystyle \Gamma (1)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }t^{1-1}e^{-t}\,dt\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\,dt\\&=1.\end{aligned}}}$$

Así podemos demostrar que para cualquier entero positivo n por inducción . Específicamente, el caso base es ese y el paso de inducción es que ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ ${\displaystyle \Gamma (1)=1=0!}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n(n-1)!=n!.}$

La identidad se puede usar (o, dando el mismo resultado, se puede usar la continuación analítica ) para extender de manera única la formulación integral para a una función meromórfica definida para todos los números complejos z , excepto los enteros menores o iguales a cero. ^[1] Es esta versión extendida la que comúnmente se conoce como función gamma. ^[1] ${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$

Definiciones alternativas

Hay muchas definiciones equivalentes.

La definición de Euler como producto infinito.

Para un número entero fijo , a medida que el número entero aumenta, tenemos que ^[7] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$$

Si no es un número entero, entonces no es posible decir si esta ecuación es verdadera porque todavía no hemos definido (en esta sección) la función factorial para números no enteros. Sin embargo, obtenemos una extensión única de la función factorial a los números no enteros al insistir en que esta ecuación continúe siendo válida cuando el número entero arbitrario se reemplaza por un número complejo arbitrario . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle z}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\,\left(n+1\right)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$$

${\displaystyle (z-1)!}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=(z-1)!\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\lim _{n\to \infty }(1\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left({\frac {2}{1}}\cdot {\frac {3}{2}}\cdots {\frac {n+1}{n}}\right)^{z}\\[8pt]&={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$$

producto infinito^[8] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (n+1)^{z}}$ ${\displaystyle \Gamma (n+z+1)}$ ${\displaystyle \Gamma (x+1)=x\Gamma (x)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle n}$

Definición de Weierstrass

La definición de la función gamma de Weierstrass también es válida para todos los números complejos  z excepto los enteros no positivos:

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$$

constante de Euler-Mascheroni^[1]producto^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$ ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$

Propiedades

General

Además de la propiedad fundamental discutida anteriormente:

$${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$$

la fórmula de reflexión de Euler.

$${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$$

$${\displaystyle \Gamma (z-n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-z)\Gamma (1+z)}{\Gamma (n+1-z)}},\qquad n\in \mathbb {Z} }$$

fórmula de duplicación de Legendre

$${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$$

La fórmula de duplicación es un caso especial del teorema de la multiplicación (ver  ^[9] Ec. 5.5.6):

$${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$$

Una propiedad simple pero útil, que puede verse en la definición del límite, es:

$${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$$

En particular, con z = a + bi , este producto es

$${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$$

Si la parte real es un número entero o un semientero, esto se puede expresar de forma finita en forma cerrada :

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\[1ex]\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\[1ex]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \\[-1ex]&\end{aligned}}}$$

Quizás el valor más conocido de la función gamma en un argumento no entero sea

$${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$$

función betaintegral gaussiana ${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle z_{1}=z_{2}={\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle u={\sqrt {z}}}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}$$

doble factorialValores particulares de la función gamma ${\displaystyle (2n-1)!!=(2n-1)(2n-3)\cdots (3)(1)}$

Podría resultar tentador generalizar el resultado de que al buscar una fórmula para otros valores individuales donde sea racional, especialmente porque según el teorema digamma de Gauss , es posible hacerlo para la función digamma estrechamente relacionada en cada valor racional. Sin embargo, no se sabe que estos números sean expresables por sí mismos en términos de funciones elementales. Se ha demostrado que es un número trascendental y algebraicamente independiente de cualquier número entero y de cada una de las fracciones . ^[10] En general, al calcular los valores de la función gamma, debemos conformarnos con aproximaciones numéricas. ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Gamma (r)}$ ${\displaystyle \Gamma (n+r)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$

Las derivadas de la función gamma se describen en términos de la función poligamma ,  ψ ⁽⁰⁾ ( z ) :

$${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi ^{(0)}(z).}$$

m,

Colores que muestran el argumento de la función gamma en el plano complejo desde −2 − 2 i hasta 6 + 2 i

$${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)=m!\left(-\gamma +H(m)\right)\,,}$$

número armónicoγconstante de Euler-Mascheroni

Para la derivada enésima de la función gamma es: ${\displaystyle \Re (z)>0}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.}$$

diferenciación bajo el signo integral ${\displaystyle z}$

Usando la identidad

$${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \limits _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}}$$

función zeta de Riemannpartición ${\displaystyle \zeta (z)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ terms}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ terms}}},}$$

en serie de Laurent^[11]

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$$

Desigualdades

Cuando se restringe a los números reales positivos, la función gamma es una función estrictamente logarítmicamente convexa . Esta propiedad podrá expresarse de cualquiera de las tres formas equivalentes siguientes:

• Para dos números reales positivos cualesquiera y , y para cualquiera , ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$
  $${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$$
• Para dos números reales positivos cualesquiera y , y > ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$
  $${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (x_{2})}{\Gamma (x_{1})}}\right)^{\frac {1}{x_{2}-x_{1}}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x_{1})}{\Gamma (x_{1})}}\right).}$$
• Para cualquier número real positivo , ${\displaystyle x}$
  $${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$$

La última de estas afirmaciones es, esencialmente por definición, la misma que la afirmación de que , donde está la función poligamma de orden 1. Para demostrar la convexidad logarítmica de la función gamma, basta observar que tiene una representación en serie que, por positivo real x , consta únicamente de términos positivos. ${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$ ${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

La convexidad logarítmica y la desigualdad de Jensen juntas implican, para cualquier número real positivo y , ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

$${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$$

También existen límites en las proporciones de funciones gamma. La más conocida es la desigualdad de Gautschi , que dice que para cualquier número real positivo x y cualquier s ∈ (0, 1) ,

$${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<\left(x+1\right)^{1-s}.}$$

La fórmula de Stirling.

Representación de la función gamma en el plano complejo. Cada punto está coloreado según el argumento de . También se muestra el gráfico de contorno del módulo . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle |\Gamma (z)|}$

Gráfico tridimensional del valor absoluto de la función gamma compleja

El comportamiento de para una variable real positiva creciente viene dado por la fórmula de Stirling ${\displaystyle \Gamma (x)}$

$${\displaystyle \Gamma (x+1)\sim {\sqrt {2\pi x}}\left({\frac {x}{e}}\right)^{x},}$$

. ^[1] ${\displaystyle \sim }$ ${\textstyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle \exp(\beta x)}$ ${\displaystyle \beta }$

Otro límite útil para aproximaciones asintóticas es : ${\displaystyle x\to +\infty }$

$${\displaystyle {\Gamma (x+\alpha )}\sim {\Gamma (x)x^{\alpha }},\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$$

Al escribir el término de error como un producto infinito, se puede utilizar la fórmula de Stirling para definir la función gamma: ^[12]

$${\displaystyle \Gamma \left(x\right)={\sqrt {\frac {2\pi }{x}}}{\frac {x}{e}}^{x}\prod _{n=0}^{\infty }e^{-1}\left(1+{\frac {1}{x+n}}\right)^{{\frac {1}{2}}+x+n}}$$

Residuos

El comportamiento de los no positivos es más complejo. La integral de Euler no converge para , pero la función que define en el semiplano complejo positivo tiene una continuación analítica única en el semiplano negativo. Una forma de encontrar esa continuación analítica es utilizar la integral de Euler para argumentos positivos y extender el dominio a números negativos mediante la aplicación repetida de la fórmula de recurrencia, ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Re (z)\leq 0}$

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$$

la división por cerofunción meromórficapolos simples^[1] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z+n}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle 0,-1,-2,\ldots }$

Para una función de una variable compleja , en un polo simple , el residuo de viene dado por: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$$

Para el polo simple reescribimos la fórmula de recurrencia como: ${\displaystyle z=-n,}$

$${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$$

${\displaystyle z=-n,}$

$${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$$

$${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$$

^[13]

$${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$$

z → −∞función gamma recíprocafunción entera^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \Gamma (z)=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\ldots }$

Mínimos y máximos

En la línea real, la función gamma tiene un mínimo local en z _min ≈ +1.46163 21449 68362 34126 ^[14] donde alcanza el valor Γ( z _min ) ≈ +0.88560 31944 10888 70027 . ^[15] La función gamma se eleva a ambos lados de este mínimo. La solución a Γ( z − 0,5) = Γ( z + 0,5) es z = +1,5 y el valor común es Γ(1) = Γ(2) = +1 . La solución positiva a Γ( z − 1) = Γ( z + 1) es z = φ ≈ +1.618 , la proporción áurea , y el valor común es Γ( φ − 1) = Γ( φ + 1) = φ . ≈ +1,44922 96022 69896 60037 . ^[dieciséis]

La función gamma debe alternar el signo entre sus polos en los enteros no positivos porque el producto en la recurrencia directa contiene un número impar de factores negativos si el número de polos entre y es impar, y un número par si el número de polos es par. . ^[13] Los valores en los extremos locales de la función gamma a lo largo del eje real entre los números enteros no positivos son: ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z+n}$

Γ( −0,50408 30082 64455 40925... ^[17] ) = −3,54464 36111 55005 08912... ,

Γ( −1,57349 84731 62390 45877... ^[18] ) = 2,30240 72583 39680 13582... ,

Γ( −2,61072 08684 44144 65000... ^[19] ) = −0,88813 63584 01241 92009... ,

Γ( −3,63529 33664 36901 09783... ^[20] ) = 0,24512 75398 34366 25043... ,

Γ( −4,65323 77617 43142 44171... ^[21] ) = −0,05277 96395 87319 40076... , etc.

Representaciones integrales

Hay muchas fórmulas, además de la integral de Euler de segundo tipo, que expresan la función gamma como una integral. Por ejemplo, cuando la parte real de z es positiva, ^[22]

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{zt-e^{t}}\,dt}$$

^[23]

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt,}$$

$${\displaystyle \Gamma (z)=2\int _{0}^{\infty }t^{2z-1}e^{-t^{2}}\,dt}$$

^[24][25]integral gaussiana ${\displaystyle t=e^{-x}}$ ${\displaystyle t=-\log x}$ ${\displaystyle t=x^{2}}$ ${\displaystyle z=1/2}$ ${\textstyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}=2\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt}$

La primera fórmula integral de Binet para la función gamma establece que, cuando la parte real de z es positiva, entonces: ^[26]

$${\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$$

transformada de Laplace

$${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$$

La segunda fórmula integral de Binet establece que, nuevamente, cuando la parte real de z es positiva, entonces: ^[27]

$${\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$$

Sea C un contorno de Hankel , es decir, un camino que comienza y termina en el punto ∞ de la esfera de Riemann , cuyo vector unitario tangente converge a −1 al inicio del camino y a 1 al final, que tiene el devanado número 1 alrededor 0 , y que no cruza [0, ∞) . Fije una rama de tomando una rama cortada a lo largo de [0, ∞) y tomando como real cuando t está en el eje real negativo. Supongamos que z no es un número entero. Entonces la fórmula de Hankel para la función gamma es: ^[28] ${\displaystyle \log(-t)}$ ${\displaystyle \log(-t)}$

$${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$$

${\displaystyle (-t)^{z-1}}$ ${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$

$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$$

z

Representación de fracción continua

La función gamma también se puede representar mediante la suma de dos fracciones continuas : ^{[29] [30]}

$${\displaystyle \Gamma (z)={\cfrac {e^{-1}}{2+0-z+1{\cfrac {z-1}{2+2-z+2{\cfrac {z-2}{2+4-z+3{\cfrac {z-3}{2+6-z+4{\cfrac {z-4}{2+8-z+5{\cfrac {z-5}{2+10-z+\ddots }}}}}}}}}}}}+{\cfrac {e^{-1}}{z+0-{\cfrac {z+0}{z+1+{\cfrac {1}{z+2-{\cfrac {z+1}{z+3+{\cfrac {2}{z+4-{\cfrac {z+2}{z+5+{\cfrac {3}{z+6-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$$

${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

Expansión en serie de Fourier

El logaritmo de la función gamma tiene la siguiente expansión en serie de Fourier para ${\displaystyle 0<z<1:}$

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}$$

Ernst Kummer^{[31] [32]}Carl Johan Malmsten^{[33] [34]}

La fórmula de Raabe

En 1840 Joseph Ludwig Raabe demostró que

$${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad a>0.}$$

${\displaystyle a=0}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .}$$

Este último se puede derivar tomando el logaritmo en la fórmula de multiplicación anterior, que da una expresión para la suma de Riemann del integrando. Tomando el límite para da la fórmula. ${\displaystyle a\to \infty }$

función pi

Una notación alternativa que fue introducida originalmente por Gauss es la función -, que, en términos de la función gamma, es ${\displaystyle \Pi }$

$${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$$

${\displaystyle \Pi (n)=n!}$ ${\displaystyle n}$

Usando la función pi, la fórmula de reflexión toma la forma

$${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$$

sincfunción sinc

$${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$$

A veces también encontramos

$${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}$$

función completafunción gamma recíprocaceros ${\displaystyle \pi (z)}$ ${\displaystyle \Pi \left(z\right)}$ ${\displaystyle \Gamma \left(z\right)}$

El volumen de un n -elipsoide con radios r ₁ ,…, r _n se puede expresar como

$${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$$

Relación con otras funciones

• En la primera integral anterior, que define la función gamma, los límites de integración están fijos. Las funciones gamma incompletas superior e inferior son las funciones que se obtienen al permitir que varíe el límite de integración inferior o superior (respectivamente).
• La función gamma está relacionada con la función beta mediante la fórmula
  $${\displaystyle \mathrm {B} (z_{1},z_{2})=\int _{0}^{1}t^{z_{1}-1}(1-t)^{z_{2}-1}\,dt={\frac {\Gamma (z_{1})\,\Gamma (z_{2})}{\Gamma (z_{1}+z_{2})}}.}$$
• La derivada logarítmica de la función gamma se llama función digamma ; Las derivadas superiores son las funciones poligamma .
• El análogo de la función gamma sobre un campo finito o un anillo finito son las sumas gaussianas , un tipo de suma exponencial .
• La función gamma recíproca es una función completa y se ha estudiado como un tema específico.
• La función gamma también aparece en una relación importante con la función zeta de Riemann . ${\displaystyle \zeta (z)}$
  $${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$$
  También aparece en la siguiente fórmula:
  $${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$$
  que es válido sólo para . ${\displaystyle \Re (z)>1}$
  El logaritmo de la función gamma satisface la siguiente fórmula de Lerch:
  $${\displaystyle \log \Gamma (z)=\zeta _{H}'(0,z)-\zeta '(0),}$$
  donde está la función zeta de Hurwitz , es la función zeta de Riemann y el primo ( ′ ) denota diferenciación en la primera variable. ${\displaystyle \zeta _{H}}$ ${\displaystyle \zeta }$
• La función gamma está relacionada con la función exponencial estirada . Por ejemplo, los momentos de esa función son
  $${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}\,\mathrm {d} t={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$$

Valores particulares

Incluyendo hasta los primeros 20 dígitos después del punto decimal, algunos valores particulares de la función gamma son:

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$$

OEISesfera de Riemann∞función gamma recíprocabien definidaes analíticatodo el plano complejo

$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$$

Función log-gamma

La función analítica log Γ( z )

Debido a que las funciones gamma y factorial crecen tan rápidamente para argumentos moderadamente grandes, muchos entornos informáticos incluyen una función que devuelve el logaritmo natural de la función gamma (a menudo se le da el nombre lgammaen lngammaentornos de programación o gammalnen hojas de cálculo); esto crece mucho más lentamente y, para cálculos combinatorios, permite sumar y restar registros en lugar de multiplicar y dividir valores muy grandes. A menudo se define como ^[35]

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}$$

La función digamma , que es la derivada de esta función, también se ve comúnmente. En el contexto de aplicaciones técnicas y físicas, por ejemplo, con la propagación de ondas, la ecuación funcional

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\ln \Gamma (z+1)-\ln z}$$

Función gamma logarítmica en el plano complejo desde −2 − 2i hasta 2 + 2i con colores

se utiliza a menudo ya que permite determinar valores de función en una franja de ancho 1 en z de la franja vecina. En particular, comenzando con una buena aproximación para az  con una parte real grande, se puede ir paso a paso hasta la  z deseada . Siguiendo una indicación de Carl Friedrich Gauss , Rocktaeschel (1922) propuso una aproximación para Re( z ) grande : ${\displaystyle \ln(\Gamma (z))}$

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi ).}$$

Esto se puede utilizar para aproximar con precisión ln(Γ( z )) para z con un Re( z ) más pequeño mediante (PEBöhmer, 1939)

$${\displaystyle \ln \Gamma (z-m)=\ln \Gamma (z)-\sum _{k=1}^{m}\ln(z-k).}$$

Se puede obtener una aproximación más precisa utilizando más términos de las expansiones asintóticas de ln(Γ( z )) y Γ( z ) , que se basan en la aproximación de Stirling.

$${\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)}$$

como | z | → ∞ en constante | arg( z ) | < π . (Ver secuencias A001163 y A001164 en OEIS ).

En una presentación más "natural":

$${\displaystyle \ln \Gamma (z)=z\ln z-z-{\tfrac {1}{2}}\ln z+{\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}+o\left({\frac {1}{z^{5}}}\right)}$$

como | z | → ∞ en constante | arg( z ) | < π . (Ver secuencias A046968 y A046969 en OEIS ).

Los coeficientes de los términos con k > 1 de z ^{1− k} en la última expansión son simplemente

$${\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}}}$$

B _knúmeros de Bernoulli

La función gamma también tiene una Serie de Stirling (derivada por Charles Hermite en 1900) igual a ^[36]

$${\displaystyle \log \Gamma (1+x)={\frac {x(x-1)}{2!}}\log(2)+{\frac {x(x-1)(x-2)}{3!}}(\log(3)-2\log(2))+\cdots ,\quad \Re (x)>0.}$$

Propiedades

El teorema de Bohr-Mollerup establece que entre todas las funciones que extienden las funciones factoriales a los números reales positivos, sólo la función gamma es log-convexa , es decir, su logaritmo natural es convexo en el eje real positivo. Otra caracterización viene dada por el teorema de Wielandt .

La función gamma es la única función que satisface simultáneamente

1. ${\displaystyle \Gamma (1)=1}$,
2. ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$para todos los números complejos excepto los enteros no positivos, y, ${\displaystyle z}$
3. para entero n , para todos los números complejos . ^[1] ${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$ ${\displaystyle z}$

En cierto sentido, la función ln(Γ) es la forma más natural; aclara algunos atributos intrínsecos de la función. Un ejemplo sorprendente es la serie de Taylor de ln(Γ) alrededor de 1:

$${\displaystyle \ln \Gamma (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$$

ζ ( k )función zeta de Riemannk

Entonces, usando la siguiente propiedad:

$${\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}}$$

ln(Γ)

$${\displaystyle \ln \Gamma (z+1)=-\gamma z+\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-1+zt}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt}$$

z = 1γγ

$${\displaystyle \ln \Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}-ze^{-t}-1+z}{t\left(e^{t}-1\right)}}\,dt\,.}$$

También existen fórmulas especiales para el logaritmo de la función gamma para z racional . Por ejemplo, si y son números enteros con y entonces ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle k\neq n/2\,,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Gamma \left({\frac {k}{n}}\right)={}&{\frac {\,(n-2k)\ln 2\pi \,}{2n}}+{\frac {1}{2}}\left\{\,\ln \pi -\ln \sin {\frac {\pi k}{n}}\,\right\}+{\frac {1}{\pi }}\!\sum _{r=1}^{n-1}{\frac {\,\gamma +\ln r\,}{r}}\cdot \sin {\frac {\,2\pi rk\,}{n}}\\&{}-{\frac {1}{2\pi }}\sin {\frac {2\pi k}{n}}\cdot \!\int _{0}^{\infty }\!\!{\frac {\,e^{-nx}\!\cdot \ln x\,}{\,\cosh x-\cos(2\pi k/n)\,}}\,{\mathrm {d} }x\end{aligned}}}$$

^[37]

Integración sobre log-gamma

la integral

$${\displaystyle \int _{0}^{z}\ln \Gamma (x)\,dx}$$

función Barnes G ^{[38] [39]}la función Barnes G

$${\displaystyle \int _{0}^{z}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {z}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}+z\ln \Gamma (z)-\ln G(z+1)}$$

Re( z ) > −1

También se puede escribir en términos de la función zeta de Hurwitz : ^{[40] [41]}

$${\displaystyle \int _{0}^{z}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {z}{2}}\ln(2\pi )+{\frac {z(1-z)}{2}}-\zeta '(-1)+\zeta '(-1,z).}$$

Cuando se sigue que ${\displaystyle z=1}$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (x)\,dx={\frac {1}{2}}\ln(2\pi ),}$$

la fórmula de Raabe . ^[42] ${\displaystyle \ln \Gamma }$

$${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln ^{2}\Gamma (x)dx={\frac {\gamma ^{2}}{12}}+{\frac {\pi ^{2}}{48}}+{\frac {1}{3}}\gamma L_{1}+{\frac {4}{3}}L_{1}^{2}-\left(\gamma +2L_{1}\right){\frac {\zeta ^{\prime }(2)}{\pi ^{2}}}+{\frac {\zeta ^{\prime \prime }(2)}{2\pi ^{2}}},}$$

${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln(2\pi )}$

DH Bailey y sus coautores ^[43] dieron una evaluación de

$${\displaystyle L_{n}:=\int _{0}^{1}\ln ^{n}\Gamma (x)\,dx}$$

${\displaystyle n=1,2}$

Además, también se sabe que ^[44]

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{n!}}=1.}$$

Aproximaciones

Comparación gamma (línea azul) con el factorial (puntos azules) y la aproximación de Stirling (línea roja)

Los valores complejos de la función gamma se pueden aproximar utilizando la aproximación de Stirling o la aproximación de Lanczos .

$${\displaystyle \Gamma (z)\sim {\sqrt {2\pi }}z^{z-1/2}e^{-z}\quad {\hbox{as }}z\to \infty {\hbox{ in }}\left|\arg(z)\right|<\pi .}$$

| z |

La función gamma se puede calcular con una precisión fija aplicando la integración por partes a la integral de Euler. Para cualquier número positivo  x la función gamma se puede escribir ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)\in [1,2]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}\\&=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{z(z+1)\cdots (z+n)}}+\int _{x}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,{\frac {dt}{t}}.\end{aligned}}}$$

Cuando Re( z ) ∈ [1,2] y , el valor absoluto de la última integral es menor que . Al elegir un valor lo suficientemente grande , esta última expresión se puede hacer más pequeña que cualquier valor deseado . Por lo tanto, la función gamma se puede evaluar con precisión con la serie anterior. ${\displaystyle x\geq 1}$ ${\displaystyle (x+1)e^{-x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2^{-N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

EA Karatsuba construyó un algoritmo rápido para calcular la función gamma de Euler para cualquier argumento algebraico (incluido el racional). ^{[45] [46] [47]}

Para argumentos que son múltiplos enteros de1/24, la función gamma también se puede evaluar rápidamente utilizando iteraciones de medias aritméticas-geométricas (ver valores particulares de la función gamma ). ^[48]

Implementaciones prácticas

A diferencia de muchas otras funciones, como la Distribución Normal , no se encuentra fácilmente una implementación obvia, rápida y precisa que sea fácil de implementar para la Función Gamma . Por lo tanto, vale la pena investigar posibles soluciones. Si la velocidad es importante pero la precisión no, las tablas publicadas se encuentran fácilmente en una búsqueda en Internet, como la Biblioteca Wiley en línea que se puede utilizar con interpolación lineal . Se puede obtener una mayor precisión con el uso de la interpolación cúbica a costa de una mayor sobrecarga computacional. Dado que las tablas generalmente se publican para valores de argumento entre 1 y 2, la propiedad se puede usar para traducir rápida y fácilmente todos los z <1 y z>2 al rango 1<=z<=2, de modo que solo los valores tabulados de z entre Es necesario utilizar 1 y 2. ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\ \Gamma (z)}$

Si las tablas de interpolación no son deseables, entonces la aproximación de Lanczos mencionada anteriormente funciona bien para obtener una precisión de 1 a 2 dígitos para valores pequeños y comúnmente utilizados de z. Si la aproximación de Lanczos no es lo suficientemente precisa, se puede utilizar la fórmula de Sterling para la función gamma . Se puede encontrar una solución más completa y precisa a la aproximación de Sterling en Math2.org, y se reproduce a continuación en términos de ^[49] para los primeros 8 ( ) términos. Basada en hallazgos experimentales con valores conocidos de para 1, 1,5 y 2 (1, y 1 respectivamente), esta solución tiene una precisión de 9 dígitos para valores de z superiores a 5 y 16 dígitos para z superiores a 20. Los valores más pequeños de z son menos preciso, pero la traducción simple de puede usarse para traducir fácilmente valores más altos y precisos de a valores más bajos cuando sea necesario. También se pueden satisfacer necesidades menos precisas simplemente utilizando menos términos de la serie infinita. ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle z^{0}{\text{ to }}z^{-7}}$ ${\displaystyle \Gamma (z)}$ ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}/2}$ ${\displaystyle \Gamma (z)=\Gamma (z+1)/z}$

Serie asintótica de Stirling para usar los primeros 8 términos: ${\displaystyle \Gamma (z)}$

${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {2\pi /z}}{\Bigl (}z/e{\Big )}^{z}{\Bigl (}1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51840z^{3}}}-{\frac {571}{2488320z^{4}}}+{\frac {163879}{209018880z^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800z^{6}}}-{\frac {534703531}{902961561600z^{7}}}-...{\Bigl )}}$

Aplicaciones

Un autor describe la función gamma como "Posiblemente, la función especial más común, o la menos 'especial' de ellas. Las otras funciones trascendentales [...] se llaman 'especiales' porque es posible evitar algunas de ellas al mantenerse alejado de muchas temas matemáticos especializados. Por otro lado, la función gamma Γ( z ) es la más difícil de evitar." ^[50]

Problemas de integración

La función gamma encuentra aplicación en campos tan diversos como la física cuántica , la astrofísica y la dinámica de fluidos . ^[51] La distribución gamma , que se formula en términos de la función gamma, se utiliza en estadística para modelar una amplia gama de procesos; por ejemplo, el tiempo entre ocurrencias de terremotos. ^[52]

La razón principal de la utilidad de la función gamma en tales contextos es la prevalencia de expresiones del tipo que describen procesos que decaen exponencialmente en el tiempo o el espacio. En ocasiones, las integrales de tales expresiones se pueden resolver en términos de la función gamma cuando no existe una solución elemental. Por ejemplo, si f es una función potencia y g es una función lineal, un simple cambio de variables da la evaluación ${\displaystyle f(t)e^{-g(t)}}$ ${\displaystyle u:=a\cdot t}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }t^{b}e^{-at}\,dt={\frac {1}{a^{b}}}\int _{0}^{\infty }u^{b}e^{-u}d\left({\frac {u}{a}}\right)={\frac {\Gamma (b+1)}{a^{b+1}}}.}$$

El hecho de que la integración se realice a lo largo de toda la línea real positiva podría significar que la función gamma describe la acumulación de un proceso dependiente del tiempo que continúa indefinidamente, o que el valor podría ser el total de una distribución en un espacio infinito.

Por supuesto, con frecuencia es útil tomar límites de integración distintos de 0 y ∞ para describir la acumulación de un proceso finito, en cuyo caso la función gamma ordinaria ya no es una solución; la solución entonces se llama función gamma incompleta . (La función gamma ordinaria, obtenida integrando toda la línea real positiva, a veces se denomina función gamma completa para contrastar).

Una categoría importante de funciones que decaen exponencialmente es la de funciones gaussianas.

$${\displaystyle ae^{-{\frac {(x-b)^{2}}{c^{2}}}}}$$

función de errordistribución normal ${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$ ${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$

Las integrales que hemos comentado hasta ahora involucran funciones trascendentales , pero la función gamma también surge de integrales de funciones puramente algebraicas. En particular, las longitudes de arco de las elipses y de la lemniscata , que son curvas definidas por ecuaciones algebraicas, vienen dadas por integrales elípticas que en casos especiales pueden evaluarse en términos de la función gamma. La función gamma también se puede utilizar para calcular el "volumen" y el "área" de hiperesferas de n dimensiones .

Calcular productos

La capacidad de la función gamma para generalizar productos factoriales conduce inmediatamente a aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas; en combinatoria , y por extensión en áreas como la teoría de la probabilidad y el cálculo de series de potencias . Muchas expresiones que involucran productos de números enteros sucesivos se pueden escribir como alguna combinación de factoriales, siendo quizás el ejemplo más importante el del coeficiente binomial . Por ejemplo, para cualquier número complejo z y n , con | z | < 1 , podemos escribir

$${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+1)}{k!\Gamma (n-k+1)}}z^{k},}$$

n

$${\displaystyle (1+z)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}z^{k}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{k}.}$$

El ejemplo de los coeficientes binomiales motiva por qué las propiedades de la función gamma cuando se extiende a números negativos son naturales. Un coeficiente binomial indica el número de formas de elegir k elementos de un conjunto de n elementos; Si k > n , por supuesto no hay formas. Si k > n , ( n − k )! es el factorial de un entero negativo y, por tanto, infinito si utilizamos la definición de factoriales de la función gamma: dividir por infinito da el valor esperado de 0.

Podemos reemplazar el factorial por una función gamma para extender cualquier fórmula de este tipo a los números complejos. Generalmente, esto funciona para cualquier producto en el que cada factor sea una función racional de la variable índice, factorizando la función racional en expresiones lineales. Si P y Q son polinomios mónicos de grado myn con raíces respectivas p ₁ , …, p _m y q ₁ , …, q _n , tenemos

$${\displaystyle \prod _{i=a}^{b}{\frac {P(i)}{Q(i)}}=\left(\prod _{j=1}^{m}{\frac {\Gamma (b-p_{j}+1)}{\Gamma (a-p_{j})}}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {\Gamma (a-q_{k})}{\Gamma (b-q_{k}+1)}}\right).}$$

Si tenemos una forma de calcular numéricamente la función gamma, es muy sencillo calcular los valores numéricos de dichos productos. El número de funciones gamma en el lado derecho depende sólo del grado de los polinomios, por lo que no importa si b − a es igual a 5 o 10 ⁵ . Al tomar los límites apropiados, también se puede hacer que la ecuación se cumpla incluso cuando el producto de la izquierda contenga ceros o polos.

Al tomar límites, ciertos productos racionales con infinitos factores también pueden evaluarse en términos de la función gamma. Debido al teorema de factorización de Weierstrass , las funciones analíticas se pueden escribir como productos infinitos y, a veces, se pueden representar como productos finitos o cocientes de la función gamma. Ya hemos visto un ejemplo sorprendente: la fórmula de reflexión esencialmente representa la función seno como el producto de dos funciones gamma. A partir de esta fórmula, la función exponencial, así como todas las funciones trigonométricas e hiperbólicas, se pueden expresar en términos de la función gamma.

Se pueden representar más funciones aún, incluida la función hipergeométrica y sus casos especiales, mediante integrales de contorno complejas de productos y cocientes de la función gamma, llamadas integrales de Mellin-Barnes .

Teoría analítica de números

Una aplicación de la función gamma es el estudio de la función zeta de Riemann . Una propiedad fundamental de la función zeta de Riemann es su ecuación funcional :

$${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}=\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}.}$$

Esto proporciona, entre otras cosas, una forma explícita para la continuación analítica de la función zeta a una función meromorfa en el plano complejo y conduce a una prueba inmediata de que la función zeta tiene infinitos ceros llamados "triviales" en la recta real. Borwein et al. llama a esta fórmula "uno de los hallazgos más bellos de las matemáticas". ^[53] Otro contendiente por ese título podría ser

$${\displaystyle \zeta (s)\;\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s}}{e^{t}-1}}\,{\frac {dt}{t}}.}$$

Ambas fórmulas fueron derivadas por Bernhard Riemann en su artículo fundamental de 1859 " Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe " ("Sobre el número de primos menores que una magnitud dada"), uno de los hitos en el desarrollo de la teoría analítica de números . Rama de las matemáticas que estudia los números primos utilizando las herramientas del análisis matemático.

Historia

La función gamma ha despertado el interés de algunos de los matemáticos más destacados de todos los tiempos. Su historia, documentada notablemente por Philip J. Davis en un artículo que le valió el Premio Chauvenet en 1963 , refleja muchos de los principales avances ocurridos en las matemáticas desde el siglo XVIII. En palabras de Davis, "cada generación ha encontrado algo interesante que decir sobre la función gamma. Quizás la próxima generación también lo haga". ^[1]

Siglo XVIII: Euler y Stirling

Carta de Daniel Bernoulli a Christian Goldbach , 6 de octubre de 1729

El problema de extender el factorial a argumentos no enteros aparentemente fue considerado por primera vez por Daniel Bernoulli y Christian Goldbach en la década de 1720. En particular, en una carta de Bernoulli a Goldbach del 6 de octubre de 1729, Bernoulli presentó la representación del producto ^[54]

$${\displaystyle x!=\lim _{n\to \infty }\left(n+1+{\frac {x}{2}}\right)^{x-1}\prod _{k=1}^{n}{\frac {k+1}{k+x}}}$$

x

Leonard Euler dio más tarde dos definiciones diferentes: la primera no era su integral sino un producto infinito que está bien definido para todos los números complejos n distintos de los enteros negativos,

$${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{n}}{1+{\frac {n}{k}}}}\,,}$$

$${\displaystyle n!=\int _{0}^{1}(-\ln s)^{n}\,ds\,,}$$

n−1t = −ln sAcademia de San Petersburgo^[55] ${\displaystyle \Re (n)>-1}$

James Stirling , contemporáneo de Euler, también intentó encontrar una expresión continua para el factorial y ideó lo que hoy se conoce como fórmula de Stirling . Aunque la fórmula de Stirling da una buena estimación de n ! , además, para números no enteros, no proporciona el valor exacto. Extensiones de su fórmula que corrigen el error fueron dadas por el propio Stirling y por Jacques Philippe Marie Binet .

Siglo XIX: Gauss, Weierstrass y Legendre

La primera página del artículo de Euler.

Carl Friedrich Gauss reescribió el producto de Euler como

$${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{m\to \infty }{\frac {m^{z}m!}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+m)}}}$$

^[56]teorema de multiplicaciónintegrales elípticas

Karl Weierstrass estableció además el papel de la función gamma en el análisis complejo , partiendo de otra representación del producto,

$${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{k}},}$$

γconstante de Euler-Mascheroni1/Γteorema de factorización de Weierstrassteorema fundamental del álgebra

El nombre función gamma y el símbolo Γ fueron introducidos por Adrien-Marie Legendre alrededor de 1811; Legendre también reescribió la definición integral de Euler en su forma moderna. Aunque el símbolo es una gamma griega en mayúsculas, no existe un estándar aceptado sobre si el nombre de la función debe escribirse "función gamma" o "función gamma" (algunos autores simplemente escriben " Γ -función"). La notación alternativa de "función pi" Π( z ) = z ! debida a Gauss se encuentra a veces en la literatura más antigua, pero la notación de Legendre es dominante en las obras modernas.

Está justificado preguntar por qué distinguimos entre el "factorial ordinario" y la función gamma mediante el uso de símbolos distintos, y particularmente por qué la función gamma debería normalizarse a Γ( n + 1) = n . en lugar de simplemente usar " Γ( n ) = n ! ". Considere que la notación para exponentes, x ⁿ , se ha generalizado desde números enteros hasta números complejos x ^z sin ningún cambio. La motivación de Legendre para la normalización no parece ser conocida, y ha sido criticada como engorrosa por algunos (el matemático del siglo XX Cornelius Lanczos , por ejemplo, la llamó "desprovista de cualquier racionalidad" y en su lugar usaría z ! ). ^[57] La ​​normalización de Legendre simplifica algunas fórmulas, pero complica otras. Desde un punto de vista moderno, la normalización de Legendre de la función gamma es la integral del carácter aditivo e ^{− x} contra el carácter multiplicativo x ^z con respecto a la medida de Haar en el grupo de Lie R ⁺ . Así, esta normalización deja más claro que la función gamma es un análogo continuo de una suma de Gauss . ^[58] ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$

Siglos XIX y XX: caracterización de la función gamma

Es algo problemático que se hayan dado tantas definiciones para la función gamma. Aunque describen la misma función, no es del todo sencillo demostrar la equivalencia. Stirling nunca demostró que su fórmula extendida corresponda exactamente a la función gamma de Euler; Charles Hermite dio por primera vez una prueba en 1900. ^[59] En lugar de encontrar una prueba especializada para cada fórmula, sería deseable tener un método general para identificar la función gamma.

Una forma de demostrarlo sería encontrar una ecuación diferencial que caracterice la función gamma. La mayoría de las funciones especiales en matemáticas aplicadas surgen como soluciones de ecuaciones diferenciales, cuyas soluciones son únicas. Sin embargo, la función gamma no parece satisfacer ninguna ecuación diferencial simple. Otto Hölder demostró en 1887 que la función gamma al menos no satisface ninguna ecuación diferencial algebraica al mostrar que una solución a tal ecuación no podría satisfacer la fórmula de recurrencia de la función gamma, convirtiéndola en una función trascendentalmente trascendental . Este resultado se conoce como teorema de Hölder .

Hasta 1922 no se dio una caracterización definitiva y generalmente aplicable de la función gamma. Harald Bohr y Johannes Mollerup demostraron entonces lo que se conoce como teorema de Bohr-Mollerup : que la función gamma es la única solución a la relación de recurrencia factorial que es positiva y logarítmicamente convexa para z positiva y cuyo valor en 1 es 1 (una función es logarítmicamente convexa si su logaritmo es convexo). Otra caracterización viene dada por el teorema de Wielandt .

El teorema de Bohr-Mollerup es útil porque es relativamente fácil demostrar la convexidad logarítmica de cualquiera de las diferentes fórmulas utilizadas para definir la función gamma. Yendo más allá, en lugar de definir la función gamma mediante una fórmula particular, podemos elegir las condiciones del teorema de Bohr-Mollerup como definición y luego elegir cualquier fórmula que nos guste que satisfaga las condiciones como punto de partida para estudiar la función gamma. . Este enfoque fue utilizado por el grupo Bourbaki .

Borwein y Corless ^[60] revisan tres siglos de trabajo sobre la función gamma.

Tablas de referencia y software.

Aunque la función gamma se puede calcular prácticamente tan fácilmente como cualquier función matemáticamente más simple con una computadora moderna (incluso con una calculadora de bolsillo programable), por supuesto, esto no siempre fue así. Hasta mediados del siglo XX, los matemáticos dependían de tablas hechas a mano; en el caso de la función gamma, en particular una tabla calculada por Gauss en 1813 y otra calculada por Legendre en 1825. ^[61]

Un gráfico dibujado a mano del valor absoluto de la función gamma compleja, de Tablas de funciones superiores de Jahnke y Emde  [Delaware] .

Las tablas de valores complejos de la función gamma, así como gráficos dibujados a mano, se dieron en Tablas de funciones con fórmulas y curvas de Jahnke y Emde  [de] , publicado por primera vez en Alemania en 1909. Según Michael Berry , "la publicación en J&E de un gráfico tridimensional que muestra los polos de la función gamma en el plano complejo adquirió un estatus casi icónico." ^[62]

De hecho, había poca necesidad práctica de algo más que valores reales de la función gamma hasta la década de 1930, cuando se descubrieron aplicaciones de la función gamma compleja en la física teórica. A medida que las computadoras electrónicas estuvieron disponibles para la producción de tablas en la década de 1950, se publicaron varias tablas extensas para la función gamma compleja para satisfacer la demanda, incluida una tabla con una precisión de 12 decimales de la Oficina Nacional de Estándares de EE. UU . ^[1]

Reproducción de un famoso diagrama complejo de Janhke y Emde (Tablas de funciones con fórmulas y curvas, 4.ª ed., Dover, 1945) de la función gamma de −4,5 − 2,5i a 4,5 + 2,5i

Las implementaciones de coma flotante de doble precisión de la función gamma y su logaritmo ahora están disponibles en la mayoría de los software de computación científica y bibliotecas de funciones especiales, por ejemplo TK Solver , Matlab , GNU Octave y la Biblioteca Científica GNU . La función gamma también se agregó a la biblioteca estándar de C ( math.h ). Las implementaciones de precisión arbitraria están disponibles en la mayoría de los sistemas de álgebra informática , como Mathematica y Maple . PARI/GP , MPFR y MPFUN contienen implementaciones gratuitas de precisión arbitraria. En algunas calculadoras de software , por ejemplo, la Calculadora de Windows y la Calculadora de GNOME , la función factorial devuelve Γ( x + 1) cuando la entrada x es un valor no entero. ^{[63] [64]}

Ver también

• factorial ascendente
• Integral de Cahen-Mellin
• Función gamma elíptica
• constante de gauss
• Función pseudogamma
• Función gamma de Hadamard
• Función gamma inversa
• Aproximación de Lanczos
• Función gamma múltiple
• Función gamma multivariante
• función gamma p -ádica
• Pochhammer k -símbolo
• función q -gamma
• El teorema maestro de Ramanujan
• La aproximación de Spouge
• La aproximación de Stirling

Notas

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• Este artículo incorpora material del artículo de Citizendium "Función Gamma", que tiene la licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported pero no la GFDL .

Otras lecturas

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). "Capítulo 6". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Nueva York: Dover.
• Andrews, GE ; Askey, R.; Roy, R. (1999). "Capítulo 1 (Funciones Gamma y Beta)". Funciones especiales . Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78988-2.
• Artín, Emil (2006). "La función gamma". En Rosen, Michael (ed.). Exposición de Emil Artin: una selección . Historia de las Matemáticas. vol. 30. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense.
• Askey, R .; Roy, R. (2010), "Función gamma", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor  2723248.
• Birkhoff, George D. (1913). "Nota sobre la función gamma". Toro. América. Matemáticas. Soc . 20 (1): 1–10. doi : 10.1090/s0002-9904-1913-02429-7 . SEÑOR  1559418.
• Böhmer, PE (1939). Differenzengleichungen und bestimmte Integrale [ Ecuaciones diferenciales e integrales definidas ]. Leipzig: Köhler Verlag.
• Davis, Philip J. (1959). "La integral de Leonhard Euler: un perfil histórico de la función gamma". Mensual Matemático Estadounidense . 66 (10): 849–869. doi :10.2307/2309786. JSTOR  2309786.
• Correo, Emil (1919). "Las funciones gamma generalizadas". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 20 (3): 202–217. doi :10.2307/1967871. JSTOR  1967871 . Consultado el 5 de marzo de 2021 .
• Prensa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 6.1. Función Gamma". Recetas numéricas: el arte de la informática científica (3ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Rocktäschel, Oregón (1922). Methoden zur Berechnung der Gammafunktion für komplexes Argument [ Métodos para calcular la función gamma para argumentos complejos ]. Dresde: Universidad Técnica de Dresde .
• Temmé, Nico M. (1996). Funciones especiales: introducción a las funciones clásicas de la física matemática . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-11313-3.
• Whittaker, et al ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-58807-2.

enlaces externos

• Biblioteca digital de funciones matemáticas del NIST: función gamma
• Pascal Sébah y Xavier Gourdon. Introducción a la Función Gamma . En formatos PostScript y HTML.
• Referencia de C++ para std::tgamma
• Se pueden encontrar ejemplos de problemas relacionados con la función gamma en exampleproblems.com.
• "Función gamma", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Evaluador de funciones gamma Wolfram (precisión arbitraria)
• "Gama". Sitio de funciones de Wolfram .
• Volumen de n-esferas y la función gamma en MathPages