Transformación de Mellin

Operacion matematica

En matemáticas , la transformada de Mellin es una transformada integral que puede considerarse como la versión multiplicativa de la transformada de Laplace bilateral . Esta transformada integral está estrechamente relacionada con la teoría de las series de Dirichlet y se utiliza a menudo en teoría de números , estadística matemática y teoría de expansiones asintóticas ; está estrechamente relacionado con la transformada de Laplace y la transformada de Fourier , y con la teoría de la función gamma y funciones especiales afines .

La transformada de Mellin de una función f es

$${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)\,dx.}$$

La transformada inversa es

$${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds.}$$

La notación implica que se trata de una integral de línea tomada sobre una línea vertical en el plano complejo, cuya parte real c sólo necesita satisfacer un límite inferior suave. Las condiciones bajo las cuales esta inversión es válida se dan en el teorema de inversión de Mellin .

La transformada lleva el nombre del matemático finlandés Hjalmar Mellin , quien la introdujo en un artículo publicado en 1897 en Acta Societatis Scientiarum Fennicæ. ^[1]

Relación con otras transformaciones

La transformada de Laplace bilateral puede definirse en términos de la transformada de Mellin mediante

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$

y a la inversa, podemos obtener la transformada de Mellin a partir de la transformada de Laplace de dos caras mediante

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).}$

Se puede considerar que la transformada de Mellin integra utilizando un núcleo x ^s con respecto a la medida multiplicativa de Haar , que es invariante bajo dilatación , de modo que la transformada de Laplace bilateral se integra con respecto a la medida aditiva de Haar , que es invariante en la traducción. , de modo que . ${\textstyle {\frac {dx}{x}}}$ ${\displaystyle x\mapsto ax}$ ${\textstyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}};}$ ${\displaystyle dx}$ ${\displaystyle d(x+a)=dx}$

También podemos definir la transformada de Fourier en términos de la transformada de Mellin y viceversa; en términos de la transformada de Mellin y de la transformada de Laplace bilateral definida anteriormente

${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\ .}$

También podemos revertir el proceso y obtener

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)\ .}$

La transformada de Mellin también conecta la serie de Newton o transformada binomial junto con la función generadora de Poisson , mediante el ciclo de Poisson-Mellin-Newton .

La transformada de Mellin también puede verse como la transformada de Gelfand para el álgebra de convolución del grupo abeliano localmente compacto de números reales positivos con multiplicación.

Ejemplos

Integral de Cahen-Mellin

La transformada de Mellin de la función es ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x}dx}$

¿Dónde está la función gamma ? es una función meromórfica con polos simples en . ^[2] Por lo tanto, es analítico para . Por lo tanto, dejando y en la rama principal , la transformada inversa da ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle z=0,-1,-2,\dots }$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0}$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle z^{-s}}$

${\displaystyle e^{-z}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)z^{-s}\;ds}$.

Esta integral se conoce como integral de Cahen-Mellin. ^[3]

Funciones polinómicas

Como no es convergente para ningún valor de , la transformada de Mellin no está definida para funciones polinómicas definidas en todo el eje real positivo. Sin embargo, al definirlo como cero en diferentes secciones del eje real, es posible tomar la transformada de Mellin. Por ejemplo, si ${\textstyle \int _{0}^{\infty }x^{a}dx}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\0&x>1,\end{cases}}}$

entonces

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{1}x^{s-1}x^{a}dx=\int _{0}^{1}x^{s+a-1}dx={\frac {1}{s+a}}.}$

Por tanto, tiene un polo simple en y, por tanto, está definido para . De manera similar, si ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle s=-a}$ ${\displaystyle \Re (s)>-a}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}}$

entonces

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{1}^{\infty }x^{s-1}x^{b}dx=\int _{1}^{\infty }x^{s+b-1}dx=-{\frac {1}{s+b}}.}$

Por tanto, tiene un polo simple en y, por tanto, está definido para . ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle s=-b}$ ${\displaystyle \Re (s)<-b}$

Funciones exponenciales

Para , deja . Entonces ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-px}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-px}{\frac {dx}{x}}=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {u}{p}}\right)^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\int _{0}^{\infty }u^{s}e^{-u}{\frac {du}{u}}={\frac {1}{p^{s}}}\Gamma (s).}$

función zeta

Es posible utilizar la transformada de Mellin para producir una de las fórmulas fundamentales de la función zeta de Riemann . Dejar . Entonces ${\displaystyle \zeta (s)}$ ${\textstyle f(x)={\frac {1}{e^{x}-1}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {e^{-x}}{1-e^{-x}}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nx}dx=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-nx}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\Gamma (s)=\Gamma (s)\zeta (s).}$

De este modo,

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }x^{s-1}{\frac {1}{e^{x}-1}}dx.}$

Gaussiano generalizado

Para , sea (es decir , una distribución gaussiana generalizada sin el factor de escala). Entonces ${\displaystyle p>0}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-x^{p}}}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}x^{s-p}e^{-x^{p}}dx=\int _{0}^{\infty }x^{p-1}(x^{p})^{s/p-1}e^{-x^{p}}dx={\frac {1}{p}}\int _{0}^{\infty }u^{s/p-1}e^{-u}du={\frac {\Gamma (s/p)}{p}}.}$

En particular, la configuración recupera la siguiente forma de la función gamma ${\displaystyle s=1}$

${\displaystyle \Gamma \left(1+{\frac {1}{p}}\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-x^{p}}dx.}$

Serie de potencia y serie de Dirichlet

Generalmente, suponiendo la convergencia necesaria, podemos conectar las series de Dirichlet y las series de potencias relacionadas.

${\displaystyle F(s)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}},\quad f(z)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

por la identidad formal que involucra la transformada de Mellin: ^[4]

${\displaystyle \Gamma (s)F(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s-1}f(e^{-x})dx}$

franja fundamental

Para , definamos la franja abierta para que sea tal que con La franja fundamental de se define como la franja abierta más grande en la que se define. Por ejemplo, para la franja fundamental de ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle }$ ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle s=\sigma +it}$ ${\displaystyle \alpha <\sigma <\beta .}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle a>b}$

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}x^{a}&x<1,\\x^{b}&x>1,\end{cases}}}$

Como se ve en este ejemplo, las asintóticas de la función as definen el punto final izquierdo de su franja fundamental, y las asintóticas de la función as definen su punto final derecho. Para resumir usando la notación O grande , si es como y como entonces se define en la tira ^[5] ${\displaystyle \langle -a,-b\rangle .}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle x\to +\infty }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O(x^{a})}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle O(x^{b})}$ ${\displaystyle x\to +\infty ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle \langle -a,-b\rangle .}$

Se puede ver una aplicación de esto en la función gamma. Dado que es como y para todos , debe definirse en la tira que confirma que es analítica para ${\displaystyle \Gamma (s).}$ ${\displaystyle f(x)=e^{-x}}$ ${\displaystyle O(x^{0})}$ ${\displaystyle x\to 0^{+}}$ ${\displaystyle O(x^{k})}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \Gamma (s)={\mathcal {M}}f(s)}$ ${\displaystyle \langle 0,+\infty \rangle ,}$ ${\displaystyle \Gamma (s)}$ ${\displaystyle \Re (s)>0.}$

Propiedades

Las propiedades de esta tabla se pueden encontrar en Bracewell (2000) y Erdélyi (1954).

Teorema de Parseval y teorema de Plancherel

Funciones let y be con transformadas de Mellin bien definidas en las franjas fundamentales . Deja con . Si las funciones y también son integrables al cuadrado en el intervalo , entonces se cumple la fórmula de Parseval : ^[6] ${\displaystyle f_{1}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \max(\alpha _{1},1-\beta _{2})<c<\min(\beta _{1},1-\alpha _{2})}$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x^{1/2-c}\,f_{2}(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(1-s)\,ds}$

La integración en el lado derecho se realiza a lo largo de la línea vertical que se encuentra completamente dentro de la superposición de las franjas fundamentales (transformadas adecuadamente). ${\displaystyle \Re r=c}$

Podemos reemplazar por . Esto da la siguiente forma alternativa del teorema: Let y be funciones con transformadas de Mellin bien definidas en las franjas fundamentales . Deja con y elige con . Si las funciones y también son integrables al cuadrado en el intervalo , entonces tenemos ^[6] ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}}$ ${\displaystyle f_{1}(x)}$ ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}_{1,2}(s)={\mathcal {M}}\{f_{1,2}\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}}$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha _{1}<c<\beta _{1}}$ ${\displaystyle s_{0}\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \alpha _{2}<\Re s_{0}-c<\beta _{2}}$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f_{1}(x)}$ ${\displaystyle x^{s_{0}-c-1/2}\,f_{2}(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f_{1}(x)\,f_{2}(x)\,x^{s_{0}-1}\,dx={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\tilde {f_{1}}}(s)\,{\tilde {f_{2}}}(s_{0}-s)\,ds}$

Podemos reemplazar por . Esto da el siguiente teorema: Sea una función con transformada de Mellin bien definida en la franja fundamental . Deja con . Si la función también es integrable al cuadrado en el intervalo , entonces se cumple el teorema de Plancherel : ^[7] ${\displaystyle f_{2}(x)}$ ${\displaystyle {\overline {f_{1}(x)}}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\mathcal {M}}\{f\}(s)}$ ${\displaystyle \alpha <\Re s<\beta }$ ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \alpha <c<\beta }$ ${\displaystyle x^{c-1/2}\,f(x)}$ ${\displaystyle (0,\infty )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|^{2}\,x^{2c-1}dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|{\tilde {f}}(c+it)|^{2}\,dt}$

Como isometría en espacios L 2

En el estudio de los espacios de Hilbert , la transformada de Mellin suele plantearse de una manera ligeramente diferente. Para funciones en (ver espacio Lp ) la franja fundamental siempre incluye , por lo que podemos definir un operador lineal como ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),}$

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.}$

En otras palabras, hemos establecido

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}+is).}$

Este operador generalmente se indica simplemente y se denomina "transformación de Mellin", pero se usa aquí para distinguirlo de la definición utilizada en otras partes de este artículo. El teorema de inversión de Mellin muestra entonces que es invertible con inversa ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),}$

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}$

Además, este operador es una isometría , es decir para todos (esto explica por qué se utilizó el factor de ). ${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(0,\infty )}$ ${\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

En la teoría de la probabilidad

En teoría de la probabilidad, la transformada de Mellin es una herramienta esencial para estudiar las distribuciones de productos de variables aleatorias. ^[8] Si X es una variable aleatoria, y X ⁺ = max{ X ,0 } denota su parte positiva, mientras que X ⁻ = max{− X ,0 } es su parte negativa, entonces la transformada de Mellin de X se define como ^[9]

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+\gamma \int _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$

donde γ es un indeterminado formal con γ ² = 1 . Esta transformación existe para todos los s en alguna franja compleja D = { s  : a ≤ Re( s ) ≤ b } , donde a ≤ 0 ≤ b . ^[9]

La transformada de Mellin de una variable aleatoria X determina de forma única su función de _{distribución} FX . ^[9] La importancia de la transformada de Mellin en la teoría de la probabilidad radica en el hecho de que si X e Y son dos variables aleatorias independientes, entonces la transformada de Mellin de su producto es igual al producto de las transformadas de Mellin de X e Y : ^{[10 ]} ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{XY}(s)={\mathcal {M}}_{X}(s){\mathcal {M}}_{Y}(s)}$

Problemas con el laplaciano en un sistema de coordenadas cilíndrico

En el laplaciano en coordenadas cilíndricas en dimensión genérica (coordenadas ortogonales con un ángulo y un radio, y el resto de longitudes) siempre hay un término:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)=f_{rr}+{\frac {f_{r}}{r}}}$

Por ejemplo, en coordenadas polares 2-D, el laplaciano es:

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}}$

y en coordenadas cilíndricas tridimensionales el laplaciano es,

${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$

Este término puede ser tratado con la transformada de Mellin, ^[11] ya que:

${\displaystyle {\mathcal {M}}\left(r^{2}f_{rr}+rf_{r},r\to s\right)=s^{2}{\mathcal {M}}\left(f,r\to s\right)=s^{2}F}$

Por ejemplo, la ecuación de Laplace 2-D en coordenadas polares es la PDE en dos variables:

${\displaystyle r^{2}f_{rr}+rf_{r}+f_{\theta \theta }=0}$

y por multiplicación:

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}=0}$

con una transformada de Mellin en el radio se convierte en el oscilador armónico simple :

${\displaystyle F_{\theta \theta }+s^{2}F=0}$

con solución general:

${\displaystyle F(s,\theta )=C_{1}(s)\cos(s\theta )+C_{2}(s)\sin(s\theta )}$

Ahora impongamos, por ejemplo, algunas condiciones de contorno de cuña simples a la ecuación de Laplace original:

${\displaystyle f(r,-\theta _{0})=a(r),\quad f(r,\theta _{0})=b(r)}$

estos son particularmente simples para la transformación de Mellin, convirtiéndose en:

${\displaystyle F(s,-\theta _{0})=A(s),\quad F(s,\theta _{0})=B(s)}$

Estas condiciones impuestas a la solución la particularizan a:

${\displaystyle F(s,\theta )=A(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}-\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}+B(s){\frac {\sin(s(\theta _{0}+\theta ))}{\sin(2\theta _{0}s)}}}$

Ahora, según el teorema de convolución para la transformada de Mellin, la solución en el dominio de Mellin se puede invertir:

${\displaystyle f(r,\theta )={\frac {r^{m}\cos(m\theta )}{2\theta _{0}}}\int _{0}^{\infty }\left({\frac {a(x)}{x^{2m}+2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}+{\frac {b(x)}{x^{2m}-2r^{m}x^{m}\sin(m\theta )+r^{2m}}}\right)x^{m-1}\,dx}$

donde se empleó la siguiente relación de transformación inversa:

${\displaystyle {\mathcal {M}}^{-1}\left({\frac {\sin(s\varphi )}{\sin(2\theta _{0}s)}};s\to r\right)={\frac {1}{2\theta _{0}}}{\frac {r^{m}\sin(m\varphi )}{1+2r^{m}\cos(m\varphi )+r^{2m}}}}$

dónde . ${\displaystyle m={\frac {\pi }{2\theta _{0}}}}$

Aplicaciones

La Transformada de Mellin se usa ampliamente en informática para el análisis de algoritmos ^[12] debido a su propiedad de invariancia de escala . La magnitud de la Transformada de Mellin de una función escalada es idéntica a la magnitud de la función original para entradas puramente imaginarias. Esta propiedad de invariancia de escala es análoga a la propiedad de invariancia de desplazamiento de la Transformada de Fourier. La magnitud de una transformada de Fourier de una función desplazada en el tiempo es idéntica a la magnitud de la transformada de Fourier de la función original.

Esta propiedad es útil en el reconocimiento de imágenes . La imagen de un objeto se escala fácilmente cuando el objeto se acerca o se aleja de la cámara.

En mecánica cuántica y especialmente en teoría cuántica de campos , el espacio de Fourier es enormemente útil y se utiliza ampliamente porque el impulso y la posición son transformadas de Fourier entre sí (por ejemplo, los diagramas de Feynman se calculan mucho más fácilmente en el espacio de impulso). En 2011, A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan, João Penedones , Suvrat Raju y Balt C. van Rees demostraron que el espacio Mellin desempeña un papel análogo en el contexto de la correspondencia AdS/CFT . ^{[13] [14] [15]}

Ejemplos

• La fórmula de Perron describe la transformada inversa de Mellin aplicada a una serie de Dirichlet .
• La transformada de Mellin se utiliza en el análisis de la función de conteo de primos y ocurre en las discusiones sobre la función zeta de Riemann .
• Las transformadas inversas de Mellin ocurren comúnmente en medios Riesz .
• La transformada de Mellin se puede utilizar en la modificación del tono de la escala de tiempo de audio ^{[ cita necesaria ]} .

Tabla de transformadas de Mellin seleccionadas

La siguiente lista de ejemplos interesantes para la transformada de Mellin se puede encontrar en Bracewell (2000) y Erdélyi (1954):

Ver también

• Teorema de inversión de Mellin
• La fórmula de Perron.
• El teorema maestro de Ramanujan

Notas

1. Mellin, Hj. "Zur Theorie zweier allgemeinen Klassen bestimmter Integrale". Acta Societatis Scientiarum Fennicæ . XXII, N:o 2: 1–75.
2. Whittaker, et al .; Watson, GN (1996). Un curso de análisis moderno . Prensa de la Universidad de Cambridge.
3. Resistente, GH ; Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de números primos". Acta Matemática . 41 (1): 119-196. doi : 10.1007/BF02422942 . (Consulte las notas allí para obtener más referencias al trabajo de Cahen y Mellin, incluida la tesis de Cahen).
4. Wintner, Aurel (1947). "Sobre la reducción de Riemann de la serie de Dirichlet a serie de potencia". Revista Estadounidense de Matemáticas . 69 (4): 769–789. doi : 10.2307/2371798 .
5. Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas" (PDF) . Informática Teórica . 144 (1–2): 3–58. doi :10.1016/0304-3975(95)00002-e.
6. Titchmarsh (1948, pág. 95).
7. Titchmarsh (1948, pág. 94).
8. Galambos y Simonelli (2004, pág.15)
9. Galambos y Simonelli (2004, p.16)
10. Galambos y Simonelli (2004, pág.23)
11. Bhimsen, Shivamoggi, Capítulo 6: La transformación de Mellin, párr. 4.3: Distribución de un potencial en una cuña, págs. 267–8
12. Philippe Flajolet y Robert Sedgewick. El análisis de casos promedio de algoritmos: asintóticas de transformada de Mellin. Informe de investigación 2956. 93 páginas. Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (INRIA), 1996.
13. A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan, Joao Penedones, Suvrat Raju, Balt C. van Rees. "Un lenguaje natural para correlacionadores de AdS/CFT".
14. A. Liam Fitzpatrick, Jared Kaplan. "Unitaridad y la S-Matrix holográfica"
15. A. Liam Fitzpatrick. "AdS/CFT y la S-Matrix holográfica", videoconferencia.
16. Jacqueline Bertrand, Pierre Bertrand, Jean-Philippe Ovarlez. La transformada de Mellin. Manual de transformaciones y aplicaciones, 1995, 978-1420066524. ffhal-03152634f

Referencias

• Lokenath Debnath; Dambaru Bhatta (19 de abril de 2016). Transformaciones integrales y sus aplicaciones. Prensa CRC. ISBN 978-1-4200-1091-6.
• Galambos, Janos; Simonelli, Italo (2004). Productos de variables aleatorias: aplicaciones a problemas de física y funciones aritméticas . Marcel Dekker, Inc. ISBN 0-8247-5402-6.
• París, RB; Kaminski, D. (2001). Asintóticas e integrales de Mellin-Barnes . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521790017.
• Polianina, AD; Manzhirov, AV (1998). Manual de ecuaciones integrales . Boca Ratón: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.
• Bracewell, Ronald N. (2000). La transformada de Fourier y sus aplicaciones (3ª ed.).
• Erdélyi, Arthur (1954). Tablas de Transformadas Integrales . vol. 1. McGraw-Hill.
• Titchmarsh, CE (1948). Introducción a la Teoría de las Integrales de Fourier (2ª ed.).
• Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). "Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas" (PDF) . Informática Teórica . 144 (1–2): 3–58. doi :10.1016/0304-3975(95)00002-e.
• Tablas de transformadas integrales en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Transformada de Mellin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Transformación de Mellin". MundoMatemático .
• Algunas aplicaciones de la transformada de Mellin en estadística (artículo)

enlaces externos

• Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, Transformadas de Mellin y asintóticas: sumas armónicas.
• Antonio Gonzáles, Marko Riedel Celebrando un clásico, grupo de noticias es.ciencia.matematicas
• Juan Sacerdoti, Funciones Eulerianas (en español).
• Métodos de transformada de Mellin, Biblioteca digital de funciones matemáticas , 29 de agosto de 2011, Instituto Nacional de Estándares y Tecnología
• Antonio De Sena y Davide Rocchesso, UNA TRANSFORMACIÓN RÁPIDA DE MELLIN CON APLICACIONES EN DAFX