En matemáticas , la media de Riesz es una determinada media de los términos de una serie . Fueron introducidos por Marcel Riesz en 1911 como una mejora con respecto a la media de Cesàro [1] [2] . La media de Riesz no debe confundirse con la media de Bochner-Riesz o la media de Strong-Riesz.
Definición
Dada una serie , la media Riesz de la serie se define por![{\displaystyle \{s_{n}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle s^{\delta }(\lambda )=\sum _ {n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{ norte}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A veces, una media de Riesz generalizada se define como
![{\displaystyle R_{n}={\frac {1}{\lambda _ {n}}}\sum _ {k=0}^{n}(\lambda _ {k}-\lambda _ {k-1 })^{\delta }s_{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí, son una secuencia con y con as . Aparte de esto, se consideran arbitrarios.![{\displaystyle \lambda _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda _ {n}\to \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda _ {n+1}/\lambda _ {n}\a 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n\to \infty }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lambda _ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Las medias de Riesz se utilizan a menudo para explorar la sumabilidad de secuencias; Los teoremas de sumabilidad típicos analizan el caso de alguna secuencia . Normalmente, una secuencia es sumable cuando existe el límite, o el límite existe, aunque los teoremas de sumabilidad precisos en cuestión a menudo imponen condiciones adicionales.![{\ Displaystyle s_ {n} = \ suma _ {k = 0} ^ {n} a_ {k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{a_{k}\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }R_ {n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \lim _{\delta \to 1,\lambda \to \infty }s^{\delta }(\lambda )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Casos especiales
Vamos para todos . Entonces![{\displaystyle a_{n}=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle n}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i} }\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _ {n}b_{n}\lambda ^{-n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aquí hay que tomar ; es la función Gamma y es la función zeta de Riemann . La serie de potencias![{\displaystyle c>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma(s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \zeta(s)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Se puede demostrar que es convergente para . Tenga en cuenta que la integral tiene la forma de una transformada de Mellin inversa .![{\displaystyle \lambda >1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Otro caso interesante relacionado con la teoría de números surge al tomar dónde está la función de Von Mangoldt . Entonces![{\displaystyle a_{n}=\Lambda (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Lambda (n)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1} {2\pi i}}\int _{ci\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta + s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta } }+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_ {n}\lambda^{-n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Nuevamente, se debe tomar c > 1. La suma sobre ρ es la suma sobre los ceros de la función zeta de Riemann, y
![{\displaystyle \sum _ {n}c_ {n}\lambda ^{-n}\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es convergente para λ > 1.
Las integrales que aparecen aquí son similares a la integral de Nörlund-Rice ; De manera muy aproximada, se pueden conectar a esa integral mediante la fórmula de Perron .
Referencias
- ^ M. Riesz, Comptes Rendus , 12 de junio de 1911
- ^ Hardy, GH y Littlewood, JE (1916). "Contribuciones a la teoría de la función Zeta de Riemann y la teoría de la distribución de números primos". Acta Matemática . 41 : 119-196. doi : 10.1007/BF02422942 .
- Volkov, II (2001) [1994], "Método de suma de Riesz", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press