Media de Bochner-Riesz

La media de Bochner-Riesz es un método de sumabilidad que se utiliza a menudo en el análisis armónico al considerar la convergencia de series de Fourier e integrales de Fourier . Fue introducido por Salomon Bochner como una modificación de la media de Riesz .

Definición

Definir

${\displaystyle (\xi )_{+}={\begin{cases}\xi ,&{\mbox{if }}\xi >0\\0,&{\mbox{otherwise}}.\end{cases}}}$

Sea una función periódica, que se considera que está en el toro n , y que tiene coeficientes de Fourier para . Entonces las medias de orden complejo de Bochner-Riesz , de (donde y ) se definen como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}(k)}$ ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle B_{R}^{\delta }f}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}$

${\displaystyle B_{R}^{\delta }f(\theta )={\underset {|k|\leq R}{\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}}}\left(1-{\frac {|k|^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(k)e^{2\pi ik\cdot \theta }.}$

De manera análoga, para una función con transformada de Fourier , las medias de orden complejo de Bochner-Riesz , (donde y ) se definen como ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle S_{R}^{\delta }f}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle {\mbox{Re}}(\delta )>0}$

${\displaystyle S_{R}^{\delta }f(x)=\int _{|\xi |\leq R}\left(1-{\frac {|\xi |^{2}}{R^{2}}}\right)_{+}^{\delta }{\hat {f}}(\xi )e^{2\pi ix\cdot \xi }\,d\xi .}$

Aplicación a operadores de convolución

For y y pueden escribirse como operadores de convolución , donde el núcleo de convolución es una identidad aproximada . Como tal, en estos casos, considerar la convergencia casi en todas partes de las medias de Bochner-Riesz para funciones en espacios es mucho más simple que el problema de la convergencia "regular" en casi todas partes de series/integrales de Fourier (correspondiente a ). ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle S_{R}^{\delta }}$ ${\displaystyle B_{R}^{\delta }}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \delta =0}$

En dimensiones superiores, los núcleos de convolución se "comportan peor": específicamente, para

${\displaystyle \delta \leq {\tfrac {n-1}{2}}}$

el núcleo ya no es integrable. En este caso, establecer una convergencia en casi todas partes se vuelve, en consecuencia, más difícil.

Conjetura de Bochner-Riesz

Otra cuestión es la de para qué y para qué convergen en norma las medias de Bochner-Riesz de una función. Esta cuestión es de fundamental importancia para , ya que la convergencia de normas esféricas regulares (nuevamente correspondientes a ) falla en cuando . Esto fue demostrado en un artículo de 1971 por Charles Fefferman . ^[1] ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle \delta =0}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p\neq 2}$

Por un resultado de transferencia, los problemas y son equivalentes entre sí y, como tales, por un argumento que utiliza el principio de acotación uniforme , para cualquier particular , se sigue la convergencia de normas en ambos casos exactamente para aquellos donde es el símbolo de un operador multiplicador de Fourier acotado. . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$ ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle (1-|\xi |^{2})_{+}^{\delta }}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Para , esa pregunta ha sido completamente resuelta, pero para , sólo ha sido parcialmente respondida. El caso de no es interesante aquí ya que la convergencia se produce en el caso más difícil como consecuencia de la acotación de la transformada de Hilbert y un argumento de Marcel Riesz . ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle p\in (1,\infty )}$ ${\displaystyle \delta =0}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Defina el "índice crítico", como ${\displaystyle \delta (p)}$

${\displaystyle \max(n|1/p-1/2|-1/2,0)}$.

Entonces la conjetura de Bochner-Riesz establece que

${\displaystyle \delta >\delta (p)}$

es la condición necesaria y suficiente para un operador multiplicador de Fourier acotado. Se sabe que la condición es necesaria. ^[2] ${\displaystyle L^{p}}$

Referencias

1. Fefferman, Charles (1971). "El problema del multiplicador de la pelota". Anales de Matemáticas . 94 (2): 330–336. doi :10.2307/1970864. JSTOR  1970864.
2. Ciatti, Paolo (2008). Temas de análisis matemático. Científico mundial. pag. 347.ISBN​ 9789812811066.

Otras lecturas

• Lu, Shanzhen (2013). Medios de Bochner-Riesz sobre los espacios euclidianos (Primera ed.). Científico mundial. ISBN 978-981-4458-76-4.
• Grafakos, Loukás (2008). Análisis clásico de Fourier (Segunda ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-09431-1.
• Grafakos, Loukás (2009). Análisis de Fourier moderno (Segunda ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-0-387-09433-5.
• Stein, Elias M. y Murphy, Timothy S. (1993). Análisis armónico: métodos de variables reales, ortogonalidad e integrales oscilatorias . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-03216-5.