fuerza de lorentz

Fuerza que actúa sobre partículas cargadas en campos eléctricos y magnéticos.

"Fuerza de Lorentz que actúa sobre partículas cargadas que se mueven rápidamente en una cámara de burbujas ". Las trayectorias de carga positiva y negativa se curvan en direcciones opuestas.

En física , específicamente en electromagnetismo , la fuerza de Lorentz (o fuerza electromagnética ) es la combinación de fuerza eléctrica y magnética sobre una carga puntual debido a campos electromagnéticos . Una partícula de carga q que se mueve con una velocidad v en un campo eléctrico E y un campo magnético B experimenta una fuerza (en unidades SI ^{[1] [2]} ) de

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

qEBv

Las variaciones de esta fórmula básica describen la fuerza magnética sobre un alambre que transporta corriente (a veces llamada fuerza de Laplace), la fuerza electromotriz en un bucle de alambre que se mueve a través de un campo magnético (un aspecto de la ley de inducción de Faraday ) y la fuerza sobre un alambre en movimiento. partícula cargada. ^[3]

Los historiadores sugieren que la ley está implícita en un artículo de James Clerk Maxwell , publicado en 1865. ^[4] Hendrik Lorentz llegó a una derivación completa en 1895, ^[5] identificando la contribución de la fuerza eléctrica unos años después de que Oliver Heaviside identificara correctamente la contribución de la fuerza magnética. ^[6]

Ley de fuerza de Lorentz como definición de E y B

Partículas cargadas que experimentan la fuerza de Lorentz.

En muchos libros de texto sobre electromagnetismo clásico, la ley de fuerza de Lorentz se utiliza como definición de los campos eléctrico y magnético E y B. ^{[7] [8] [9]} Para ser específicos, se entiende por fuerza de Lorentz la siguiente afirmación empírica:

La fuerza electromagnética F sobre una carga de prueba en un punto y tiempo dados es una función determinada de su carga q y velocidad v , que puede parametrizarse mediante exactamente dos vectores E y B , en la forma funcional :

$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$$

Esto es válido, incluso para partículas que se acercan a la velocidad de la luz (es decir, magnitud de v , | v | ≈ c ). ^[10] Así, los dos campos vectoriales E y B quedan definidos en todo el espacio y en el tiempo, y se denominan "campo eléctrico" y "campo magnético". Los campos se definen en todas partes en el espacio y el tiempo con respecto a la fuerza que recibiría una carga de prueba, independientemente de si hay una carga presente para experimentar la fuerza.

Como definición de E y B , la fuerza de Lorentz es sólo una definición en principio porque una partícula real (a diferencia de la hipotética "carga de prueba" de masa y carga infinitamente pequeñas) generaría sus propios campos finitos E y B , que alteraría la fuerza electromagnética que experimenta. ^[11] Además, si la carga experimenta aceleración, como si fuera forzada a seguir una trayectoria curva, emite radiación que hace que pierda energía cinética. Véase, por ejemplo , Bremsstrahlung y luz sincrotrón . Estos efectos ocurren tanto a través de un efecto directo (llamado fuerza de reacción a la radiación ) como indirectamente (al afectar el movimiento de cargas y corrientes cercanas).

Ecuación

Partícula cargada

Fuerza de Lorentz F sobre una partícula cargada (de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). El campo E y el campo B varían en el espacio y el tiempo.

La fuerza F que actúa sobre una partícula de carga eléctrica q con velocidad instantánea v , debido a un campo eléctrico externo E y un campo magnético B , viene dada por (en unidades SI ^[1] ): ^[12]

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$

donde × es el producto vectorial (todas las cantidades en negrita son vectores). En términos de componentes cartesianos, tenemos:

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=q\left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right),\\[0.5ex]F_{y}&=q\left(E_{y}+v_{z}B_{x}-v_{x}B_{z}\right),\\[0.5ex]F_{z}&=q\left(E_{z}+v_{x}B_{y}-v_{y}B_{x}\right).\end{aligned}}}$$

En general, los campos eléctrico y magnético son funciones de la posición y del tiempo. Por lo tanto, explícitamente, la fuerza de Lorentz se puede escribir como:

$${\displaystyle \mathbf {F} \left(\mathbf {r} (t),{\dot {\mathbf {r} }}(t),t,q\right)=q\left[\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+{\dot {\mathbf {r} }}(t)\times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)\right]}$$

rt

Una partícula cargada positivamente será acelerada en la misma orientación lineal que el campo E , pero se curvará perpendicularmente tanto al vector de velocidad instantánea v como al campo B de acuerdo con la regla de la mano derecha (en detalle, si los dedos de la mano derecha se extienden para apuntar en la dirección de v y luego se curvan para apuntar en la dirección de B , luego el pulgar extendido apuntará en la dirección de F ).

El término q E se llama fuerza eléctrica , mientras que el término q ( v × B ) se llama fuerza magnética . ^[13] Según algunas definiciones, el término "fuerza de Lorentz" se refiere específicamente a la fórmula de la fuerza magnética, ^[14] y a la fuerza electromagnética total (incluida la fuerza eléctrica) se le da algún otro nombre (no estándar). Este artículo no seguirá esta nomenclatura: en lo que sigue, el término "fuerza de Lorentz" se referirá a la expresión de la fuerza total.

La componente de fuerza magnética de la fuerza de Lorentz se manifiesta como la fuerza que actúa sobre un cable por el que circula corriente en un campo magnético. En ese contexto, también se le llama fuerza de Laplace.

La fuerza de Lorentz es una fuerza ejercida por el campo electromagnético sobre la partícula cargada, es decir, es la velocidad a la que se transfiere impulso lineal del campo electromagnético a la partícula. Asociado a él está el poder, que es la velocidad a la que se transfiere energía del campo electromagnético a la partícula. ese poder es

$${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {F} =q\,\mathbf {v} \cdot \mathbf {E} .}$$

Distribución continua de carga

Fuerza de Lorentz (por unidad de 3 volúmenes) f sobre una distribución de carga continua ( densidad de carga ρ ) en movimiento. La densidad de corriente J corresponde al movimiento del elemento de carga dq en el elemento de volumen dV y varía a lo largo del continuo.

Para una distribución de carga continua en movimiento, la ecuación de fuerza de Lorentz se convierte en:

$${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} =\mathrm {d} q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathrm {d} q}$ ${\displaystyle \mathrm {d} V}$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)}$$

densidad de fuerzadensidad de cargadensidad de corriente ${\displaystyle \mathbf {f} }$ ${\displaystyle \rho }$

$${\displaystyle \mathbf {J} =\rho \mathbf {v} }$$

^[15]

${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$

La fuerza total es la integral de volumen sobre la distribución de carga:

$${\displaystyle \mathbf {F} =\int \left(\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} \right)\mathrm {d} V.}$$

Eliminando y , usando las ecuaciones de Maxwell , y manipulando usando los teoremas del cálculo vectorial , esta forma de ecuación se puede usar para derivar el tensor de tensión de Maxwell , a su vez, esto se puede combinar con el vector de Poynting para obtener el tensor de tensión-energía electromagnética. T usado en relatividad general . ^[15] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

En términos de y , otra forma de escribir la fuerza de Lorentz (por unidad de volumen) es ^[15] ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

$${\displaystyle \mathbf {f} =\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}-{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}}$$

velocidad de la luz∇campo tensorialflujo de energíaenergíala formulación covariante del electromagnetismo clásico ${\displaystyle c}$

La densidad de potencia asociada con la fuerza de Lorentz en un medio material es

$${\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} .}$$

Si separamos la carga total y la corriente total en sus partes libres y ligadas, obtenemos que la densidad de la fuerza de Lorentz es

$${\displaystyle \mathbf {f} =\left(\rho _{f}-\nabla \cdot \mathbf {P} \right)\mathbf {E} +\left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\times \mathbf {B} .}$$

donde: es la densidad de carga libre; es la densidad de polarización ; es la densidad de la corriente libre; y es la densidad de magnetización . De esta forma, la fuerza de Lorentz puede explicar el par aplicado a un imán permanente por el campo magnético. La densidad de la potencia asociada es ${\displaystyle \rho _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} _{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {M} }$

$${\displaystyle \left(\mathbf {J} _{f}+\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\right)\cdot \mathbf {E} .}$$

Ecuaciones con convención de unidades cgs

Las fórmulas mencionadas anteriormente utilizan las convenciones para la definición del campo eléctrico y magnético utilizadas con las unidades SI . Estos son los mas comunes. Sin embargo, son posibles y utilizadas otras convenciones con la misma física (es decir, fuerzas sobre, por ejemplo, un electrón). En las convenciones utilizadas con las unidades CGS-Gaussianas más antiguas , que son algo más comunes entre algunos físicos teóricos y experimentadores de materia condensada, se tiene en cambio

$${\displaystyle \mathbf {F} =q_{\mathrm {G} }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {G} }+{\frac {\mathbf {v} }{c}}\times \mathbf {B} _{\mathrm {G} }\right).}$$

cvelocidad de la luz^[1]

$${\displaystyle q_{\mathrm {G} }={\frac {q_{\mathrm {SI} }}{\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}},\quad \mathbf {E} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi \varepsilon _{0}}}\,\mathbf {E} _{\mathrm {SI} },\quad \mathbf {B} _{\mathrm {G} }={\sqrt {4\pi /\mu _{0}}}\,{\mathbf {B} _{\mathrm {SI} }},\quad c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon _{0}\mu _{0}}}}.}$$

ε ₀permitividad del vacíoμ ₀permeabilidad al vacío

Historia

Teoría de los electrones de Lorentz. Fórmulas para la fuerza de Lorentz (I, fuerza ponderomotriz) y las ecuaciones de Maxwell para la divergencia del campo eléctrico E (II) y el campo magnético B (III), La théorie electromagnétique de Maxwell et son application aux corps mouvants , 1892, p. . 451. V es la velocidad de la luz.

Los primeros intentos de describir cuantitativamente la fuerza electromagnética se realizaron a mediados del siglo XVIII. Se propuso que la fuerza sobre los polos magnéticos, por Johann Tobias Mayer y otros en 1760, ^[16] y los objetos cargados eléctricamente, por Henry Cavendish en 1762, ^[17] obedecían una ley del cuadrado inverso . Sin embargo, en ambos casos la prueba experimental no fue completa ni concluyente. No fue hasta 1784 cuando Charles-Augustin de Coulomb , utilizando una balanza de torsión , pudo demostrar definitivamente mediante experimentos que esto era cierto. ^[18] Poco después del descubrimiento en 1820 por Hans Christian Ørsted de que una corriente voltaica actúa sobre una aguja magnética, André-Marie Ampère ese mismo año pudo idear mediante experimentación la fórmula para la dependencia angular de la fuerza entre dos corrientes. elementos. ^{[19] [20]} En todas estas descripciones, la fuerza siempre se describió en términos de las propiedades de la materia involucrada y las distancias entre dos masas o cargas en lugar de en términos de campos eléctricos y magnéticos. ^[21]

El concepto moderno de campos eléctricos y magnéticos surgió por primera vez en las teorías de Michael Faraday , en particular su idea de líneas de fuerza , que más tarde recibió una descripción matemática completa de Lord Kelvin y James Clerk Maxwell . ^[22] Desde una perspectiva moderna es posible identificar en la formulación de Maxwell de 1865 de sus ecuaciones de campo una forma de la ecuación de fuerza de Lorentz en relación con las corrientes eléctricas, ^[4] aunque en la época de Maxwell no era evidente cómo se relacionaban sus ecuaciones a las fuerzas sobre objetos cargados en movimiento. JJ Thomson fue el primero en intentar derivar de las ecuaciones de campo de Maxwell las fuerzas electromagnéticas sobre un objeto cargado en movimiento en términos de las propiedades del objeto y los campos externos. Interesado en determinar el comportamiento electromagnético de las partículas cargadas en los rayos catódicos , Thomson publicó un artículo en 1881 en el que describió la fuerza sobre las partículas debida a un campo magnético externo como ^{[6] [23]}

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {q}{2}}\mathbf {v} \times \mathbf {B} .}$$

corriente de desplazamientoOliver Heaviside^{[6] [24] [25][5] [26]} Hendrik Lorentzéter luminíferola mecánica lagrangiana^{[27] [28]}

Trayectorias de partículas debidas a la fuerza de Lorentz

Las partículas cargadas se desplazan en un campo magnético homogéneo. (A) Sin fuerza perturbadora (B) Con un campo eléctrico, E (C) Con una fuerza independiente, F (por ejemplo, gravedad) (D) En un campo magnético no homogéneo, grad H

En muchos casos de interés práctico, el movimiento en un campo magnético de una partícula cargada eléctricamente (como un electrón o un ion en un plasma ) puede tratarse como la superposición de un movimiento circular relativamente rápido alrededor de un punto llamado centro guía y un deriva relativamente lenta de este punto. Las velocidades de deriva pueden diferir para varias especies dependiendo de sus estados de carga, masas o temperaturas, lo que posiblemente resulte en corrientes eléctricas o separación química.

Importancia de la fuerza de Lorentz

Mientras que las ecuaciones modernas de Maxwell describen cómo las partículas cargadas eléctricamente y las corrientes o partículas cargadas en movimiento dan lugar a campos eléctricos y magnéticos, la ley de fuerza de Lorentz completa ese cuadro al describir la fuerza que actúa sobre una carga puntual en movimiento q en presencia de campos electromagnéticos. ^{[12] [29]} La ley de fuerzas de Lorentz describe el efecto de E y B sobre una carga puntual, pero tales fuerzas electromagnéticas no representan el panorama completo. Las partículas cargadas posiblemente estén acopladas a otras fuerzas, en particular la gravedad y las fuerzas nucleares. Por tanto, las ecuaciones de Maxwell no están separadas de otras leyes físicas, sino que están acopladas a ellas a través de las densidades de carga y corriente. La respuesta de una carga puntual a la ley de Lorentz es un aspecto; la generación de E y B por corrientes y cargas es otra.

En materiales reales, la fuerza de Lorentz es inadecuada para describir el comportamiento colectivo de las partículas cargadas, tanto en principio como como cuestión de cálculo. Las partículas cargadas en un medio material no sólo responden a los campos E y B sino que también generan estos campos. Se deben resolver ecuaciones de transporte complejas para determinar la respuesta temporal y espacial de las cargas, por ejemplo, la ecuación de Boltzmann o la ecuación de Fokker-Planck o las ecuaciones de Navier-Stokes . Por ejemplo, véase magnetohidrodinámica , dinámica de fluidos , electrohidrodinámica , superconductividad , evolución estelar . Se ha desarrollado todo un aparato físico para tratar estos asuntos. Véase, por ejemplo, las relaciones Green-Kubo y la función de Green (teoría de muchos cuerpos) .

Fuerza sobre un cable por el que circula corriente

Regla de la mano derecha para un cable portador de corriente en un campo magnético B

Cuando un cable que transporta una corriente eléctrica se coloca en un campo magnético, cada una de las cargas en movimiento, que componen la corriente, experimenta la fuerza de Lorentz y juntas pueden crear una fuerza macroscópica sobre el cable (a veces llamada fuerza de Laplace ). Al combinar la ley de fuerza de Lorentz anterior con la definición de corriente eléctrica, se obtiene la siguiente ecuación, en el caso de un cable estacionario recto en un campo homogéneo: ^[30]

$${\displaystyle \mathbf {F} =I{\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} ,}$$

ℓconvencional I.

Si el alambre no es recto, la fuerza sobre él se puede calcular aplicando esta fórmula a cada segmento infinitesimal de alambre y luego sumando todas estas fuerzas por integración . Esto da como resultado la misma expresión formal, pero ℓ ahora debe entenderse como el vector que conecta los puntos finales del cable curvo con la dirección desde el punto inicial hasta el final de la corriente convencional. Por lo general, también habrá un par neto . ${\displaystyle \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$

Si, además, el campo magnético no es homogéneo, la fuerza neta sobre un alambre rígido estacionario que transporta una corriente constante I viene dada por la integración a lo largo del alambre,

$${\displaystyle \mathbf {F} =I\int \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\times \mathbf {B} .}$$

Una aplicación de esto es la ley de fuerza de Ampère , que describe cómo dos cables portadores de corriente pueden atraerse o repelerse, ya que cada uno experimenta una fuerza de Lorentz proveniente del campo magnético del otro.

CEM

El componente de fuerza magnética ( q v × B ) de la fuerza de Lorentz es responsable de la fuerza electromotriz en movimiento (o EMF en movimiento ), el fenómeno subyacente a muchos generadores eléctricos. Cuando un conductor se mueve a través de un campo magnético, el campo magnético ejerce fuerzas opuestas sobre los electrones y los núcleos del cable, y esto crea la FEM. El término "CEM de movimiento" se aplica a este fenómeno, ya que el CEM se debe al movimiento del cable.

En otros generadores eléctricos, los imanes se mueven, mientras que los conductores no. En este caso, la FEM se debe al término de fuerza eléctrica ( q E ) en la ecuación de la fuerza de Lorentz. El campo eléctrico en cuestión se crea mediante el campo magnético cambiante, lo que da como resultado un campo electromagnético inducido , como se describe en la ecuación de Maxwell-Faraday (una de las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell ). ^[31]

Ambos EMF, a pesar de sus orígenes aparentemente distintos, se describen mediante la misma ecuación, es decir, el EMF es la tasa de cambio del flujo magnético a través del cable. (Esta es la ley de inducción de Faraday, ver más abajo). La teoría especial de la relatividad de Einstein fue motivada en parte por el deseo de comprender mejor este vínculo entre los dos efectos. ^[31] De hecho, los campos eléctrico y magnético son facetas diferentes del mismo campo electromagnético, y al pasar de un marco inercial a otro, la porción del campo vectorial solenoidal del campo E puede cambiar total o parcialmente a un campo B. -campo o viceversa . ^[32]

Fuerza de Lorentz y ley de inducción de Faraday

Fuerza de Lorentz -imagen en una pared en Leiden

Dada una espira de alambre en un campo magnético , la ley de inducción de Faraday establece que la fuerza electromotriz inducida (EMF) en el alambre es:

$${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {\mathrm {d} \Phi _{B}}{\mathrm {d} t}}}$$

$${\displaystyle \Phi _{B}=\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$$

flujo magnéticoBΣ( t )∂Σ( t )td Aárea vectorialΣ( t )ortogonal

El signo de la FEM está determinado por la ley de Lenz . Tenga en cuenta que esto es válido no sólo para un cable estacionario , sino también para un cable en movimiento .

A partir de la ley de inducción de Faraday (que es válida para un cable en movimiento, por ejemplo en un motor) y las ecuaciones de Maxwell , se puede deducir la fuerza de Lorentz. Lo contrario también es cierto: la fuerza de Lorentz y las ecuaciones de Maxwell se pueden utilizar para derivar la ley de Faraday .

Sea Σ( t ) el alambre en movimiento, moviéndose juntos sin rotación y con velocidad constante v y Σ( t ) sea la superficie interna del alambre. La FEM alrededor del camino cerrado ∂Σ( t ) viene dada por: ^[33]

$${\displaystyle {\mathcal {E}}=\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q}$$

$${\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {F} /q}$$

d ℓinfinitesimal∂Σ( t )

NB: Tanto d ℓ como d A tienen un signo de ambigüedad; para obtener el signo correcto se utiliza la regla de la mano derecha , como se explica en el artículo Teorema de Kelvin-Stokes .

El resultado anterior se puede comparar con la versión de la ley de inducción de Faraday que aparece en las ecuaciones modernas de Maxwell, denominada aquí ecuación de Maxwell-Faraday :

$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,.}$$

La ecuación de Maxwell-Faraday también se puede escribir en forma integral utilizando el teorema de Kelvin-Stokes . ^[34]

Entonces tenemos la ecuación de Maxwell Faraday:

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)=-\ \int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\mathrm {d} \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t)}{\mathrm {d} t}}}$$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t).}$$

Los dos son equivalentes si el cable no se mueve. Usando la regla integral de Leibniz y que div B = 0 , se obtiene,

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,t)=-\int _{\Sigma (t)}\mathrm {d} \mathbf {A} \cdot {\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} \,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$

$${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {F} /q(\mathbf {r} ,\ t)=\oint _{\partial \Sigma (t)}\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,\ t)+\oint _{\partial \Sigma (t)}\!\!\!\!\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\,\mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}}$$

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ,\,t)+q\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\,t).}$$

La ley de inducción de Faraday se cumple tanto si la espira de alambre es rígida y estacionaria, como si está en movimiento o en proceso de deformación, y se aplica tanto si el campo magnético es constante en el tiempo como si cambia. Sin embargo, hay casos en los que la ley de Faraday es inadecuada o difícil de utilizar, y es necesaria la aplicación de la ley de fuerza subyacente de Lorentz. Véase inaplicabilidad de la ley de Faraday .

Si el campo magnético se fija en el tiempo y la espira conductora se mueve a través del campo, el flujo magnético Φ _B que une la espira puede cambiar de varias maneras. Por ejemplo, si el campo B varía con la posición y el bucle se mueve a una ubicación con un campo B diferente , Φ _B cambiará. Alternativamente, si el bucle cambia de orientación con respecto al campo B , el elemento diferencial B ⋅ d A cambiará debido al ángulo diferente entre B y d A , cambiando también Φ _B. Como tercer ejemplo, si una parte del circuito se barre a través de un campo B uniforme e independiente del tiempo , y otra parte del circuito se mantiene estacionaria, el flujo que une todo el circuito cerrado puede cambiar debido al cambio en la posición relativa. de los componentes del circuito con el tiempo (superficie ∂Σ( t ) dependiente del tiempo). En los tres casos, la ley de inducción de Faraday predice la FEM generada por el cambio en Φ _B .

Tenga en cuenta que la ecuación de Maxwell Faraday implica que el campo eléctrico E no es conservador cuando el campo magnético B varía en el tiempo y no se puede expresar como el gradiente de un campo escalar y no está sujeto al teorema del gradiente ya que su curvatura no es cero. ^{[33] [35]}

Fuerza de Lorentz en términos de potenciales.

Los campos E y B pueden ser reemplazados por el potencial vectorial magnético A y el potencial electrostático ( escalar ) ϕ por

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\[1ex]\mathbf {B} &=\nabla \times \mathbf {A} \end{aligned}}}$$

∇∇⋅∇×rizo

La fuerza se convierte

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )\right].}$$

Usando una identidad para el producto triple, esto se puede reescribir como,

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\nabla \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} \right)-\left(\mathbf {v} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right],}$$

(Observe que las coordenadas y los componentes de la velocidad deben tratarse como variables independientes, por lo que el operador del actúa sólo sobre , no sobre ; por lo tanto, no es necesario utilizar la notación de subíndice de Feynman en la ecuación anterior). Usando la regla de la cadena, la derivada total de es: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {A} }$$

de modo que la expresión anterior queda:

$${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla (\phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\right].}$$

Con v = ẋ , podemos poner la ecuación en la conveniente forma de Euler-Lagrange

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left[-\nabla _{\mathbf {x} }(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\nabla _{\dot {\mathbf {x} }}(\phi -{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )\right]}$

dónde

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {x} }={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial x}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial y}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial z}}}$$

$${\displaystyle \nabla _{\dot {\mathbf {x} }}={\hat {x}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {x}}}}+{\hat {y}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {y}}}}+{\hat {z}}{\dfrac {\partial }{\partial {\dot {z}}}}.}$$

Fuerza de Lorentz y mecánica analítica.

El lagrangiano para una partícula cargada de masa m y carga q en un campo electromagnético describe de manera equivalente la dinámica de la partícula en términos de su energía , en lugar de la fuerza ejercida sobre ella. La expresión clásica viene dada por: ^[36]

$${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$

Aϕ^[37]las ecuaciones de Lagrange ${\displaystyle V=q(\phi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} )}$

Derivación de la fuerza de Lorentz a partir del lagrangiano clásico (unidades SI)

Para un campo A , una partícula que se mueve con velocidad v = ṙ tiene momento potencial , por lo que su energía potencial es . Para un campo ϕ , la energía potencial de la partícula es . ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle q\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {\dot {r}} }$ ${\displaystyle q\phi (\mathbf {r} ,t)}$

La energía potencial total es entonces:

$${\displaystyle V=q\phi -q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$$

y la energía cinética es:

$${\displaystyle T={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} }$$

de ahí el lagrangiano:

$${\displaystyle L=T-V={\frac {m}{2}}\mathbf {\dot {r}} \cdot \mathbf {\dot {r}} +q\mathbf {A} \cdot \mathbf {\dot {r}} -q\phi }$$

$${\displaystyle L={\frac {m}{2}}\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)+q\left({\dot {x}}A_{x}+{\dot {y}}A_{y}+{\dot {z}}A_{z}\right)-q\phi }$$

Las ecuaciones de Lagrange son

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\partial L}{\partial x}}}$$

(lo mismo para y y z ). Entonces calculando las derivadas parciales:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\ddot {x}}+q{\frac {\mathrm {d} A_{x}}{\mathrm {d} t}}&=m{\ddot {x}}+{\frac {q}{\mathrm {d} t}}\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}dt+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}dz\right]\\[1ex]&=m{\ddot {x}}+q\left[{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right]\\\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$$

igualando y simplificando:

$${\displaystyle m{\ddot {x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}{\dot {z}}\right)=-q{\frac {\partial \phi }{\partial x}}+q\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}{\dot {x}}+{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}{\dot {z}}\right)}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-q\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}+{\frac {\partial A_{x}}{\partial t}}\right)+q\left[{\dot {y}}\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)+{\dot {z}}\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\right)\right]\\[1ex]&=qE_{x}+q[{\dot {y}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{z}-{\dot {z}}(\nabla \times \mathbf {A} )_{y}]\\[1ex]&=qE_{x}+q[\mathbf {\dot {r}} \times (\nabla \times \mathbf {A} )]_{x}\\[1ex]&=qE_{x}+q(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )_{x}\end{aligned}}}$$

y lo mismo para las direcciones y y z . Por tanto la ecuación de fuerza es:

$${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {B} )}$$

La energía potencial depende de la velocidad de la partícula, por lo que la fuerza depende de la velocidad, por lo que no es conservativa.

El lagrangiano relativista es

$${\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}+q\mathbf {A} (\mathbf {r} )\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q\phi (\mathbf {r} )}$$

La acción es la longitud de arco relativista de la trayectoria de la partícula en el espacio-tiempo , menos la contribución de energía potencial, más una contribución adicional que mecánicamente cuánticamente es una fase adicional que obtiene una partícula cargada cuando se mueve a lo largo de un potencial vectorial.

Derivación de la fuerza de Lorentz a partir del lagrangiano relativista (unidades SI)

Las ecuaciones de movimiento derivadas de la extremación de la acción (ver cálculo matricial para la notación):

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {P} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=q{\partial \mathbf {A} \over \partial \mathbf {r} }\cdot {\dot {\mathbf {r} }}-q{\partial \phi \over \partial \mathbf {r} }}$$

$${\displaystyle \mathbf {P} -q\mathbf {A} ={\frac {m{\dot {\mathbf {r} }}}{\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}}$$

son las mismas que las ecuaciones de movimiento de Hamilton :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial }{\partial \mathbf {p} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\left({\sqrt {(\mathbf {P} -q\mathbf {A} )^{2}+(mc^{2})^{2}}}+q\phi \right)}$$

ambos son equivalentes a la forma no canónica:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{m{\dot {\mathbf {r} }} \over {\sqrt {1-\left({\frac {\dot {\mathbf {r} }}{c}}\right)^{2}}}}=q\left(\mathbf {E} +{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} \right).}$$

Esta fórmula es la fuerza de Lorentz, que representa la velocidad a la que el campo EM añade impulso relativista a la partícula.

Forma relativista de la fuerza de Lorentz

Forma covariante de la fuerza de Lorentz

tensor de campo

Usando la firma métrica (1, −1, −1, −1) , la fuerza de Lorentz para una carga q se puede escribir en ^[38] forma covariante :

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{\alpha }}{\mathrm {d} \tau }}=qF^{\alpha \beta }U_{\beta }}$

donde p ^α es el momento de cuatro , definido como

$${\displaystyle p^{\alpha }=\left(p_{0},p_{1},p_{2},p_{3}\right)=\left(\gamma mc,p_{x},p_{y},p_{z}\right),}$$

τ el tiempo propio de la partícula, F ^αβ el tensor electromagnético contravariante

$${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$$

y U es la 4-velocidad covariante de la partícula, definida como:

$${\displaystyle U_{\beta }=\left(U_{0},U_{1},U_{2},U_{3}\right)=\gamma \left(c,-v_{x},-v_{y},-v_{z}\right),}$$

$${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}{c^{2}}}}}}}$$

factor de Lorentz

Los campos se transforman en un marco que se mueve con velocidad relativa constante mediante:

$${\displaystyle F'^{\mu \nu }={\Lambda ^{\mu }}_{\alpha }{\Lambda ^{\nu }}_{\beta }F^{\alpha \beta }\,,}$$

donde Λ ^μ _α es el tensor de transformación de Lorentz .

Traducción a notación vectorial

La componente α = 1 ( componente x ) de la fuerza es

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=qU_{\beta }F^{1\beta }=q\left(U_{0}F^{10}+U_{1}F^{11}+U_{2}F^{12}+U_{3}F^{13}\right).}$$

Sustituyendo los componentes del tensor electromagnético covariante F se obtiene

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\left[U_{0}\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+U_{2}(-B_{z})+U_{3}(B_{y})\right].}$$

Usando los componentes de los rendimientos covariantes de cuatro velocidades

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} p^{1}}{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left[c\left({\frac {E_{x}}{c}}\right)+(-v_{y})(-B_{z})+(-v_{z})(B_{y})\right]=q\gamma \left(E_{x}+v_{y}B_{z}-v_{z}B_{y}\right)=q\gamma \left[E_{x}+\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)_{x}\right]\,.}$$

El cálculo para α = 2, 3 (componentes de fuerza en las direcciones y y z ) arroja resultados similares, por lo que se reúnen las 3 ecuaciones en una:

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} \tau }}=q\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$$

dtdτ

$${\displaystyle dt=\gamma (v)\,d\tau ,}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).}$$

Esta es precisamente la ley de fuerzas de Lorentz, sin embargo, es importante señalar que p es la expresión relativista,

$${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m_{0}\mathbf {v} \,.}$$

Fuerza de Lorentz en álgebra espacio-temporal (STA)

Los campos eléctrico y magnético dependen de la velocidad de un observador , por lo que la forma relativista de la ley de fuerza de Lorentz se puede exhibir mejor a partir de una expresión independiente de las coordenadas para los campos electromagnético y magnético , y una dirección temporal arbitraria . Esto se puede resolver mediante el álgebra espacio-temporal (o álgebra geométrica del espacio-tiempo), un tipo de álgebra de Clifford definida en un espacio pseudoeuclidiano , ^[39] como ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

$${\displaystyle \mathbf {E} =\left({\mathcal {F}}\cdot \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$

$${\displaystyle i\mathbf {B} =\left({\mathcal {F}}\wedge \gamma _{0}\right)\gamma _{0}}$$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$bivectorproducto escalar, ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle v={\dot {x}}}$

$${\displaystyle v^{2}=1,}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} =cv\wedge \gamma _{0}/(v\cdot \gamma _{0}).}$$

La forma adecuada (invariante es un término inadecuado porque no se ha definido ninguna transformación) de la ley de fuerza de Lorentz es simplemente

${\displaystyle F=q{\mathcal {F}}\cdot v}$

Tenga en cuenta que el orden es importante porque entre un bivector y un vector el producto escalar es antisimétrico. Al dividir el espacio-tiempo como se puede obtener la velocidad, y los campos como arriba producen la expresión habitual.

Fuerza de Lorentz en la relatividad general

En la teoría general de la relatividad, la ecuación del movimiento de una partícula con masa y carga , que se mueve en un espacio con tensor métrico y campo electromagnético , viene dada como ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g_{ab}}$ ${\displaystyle F_{ab}}$

$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m{\frac {1}{2}}g_{ab,c}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$

,. ${\displaystyle u^{a}=dx^{a}/ds}$ ${\displaystyle dx^{a}}$ ${\displaystyle g_{ab,c}=\partial g_{ab}/\partial x^{c}}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{ab}dx^{a}dx^{b}}$

La ecuación también se puede escribir como

$${\displaystyle m{\frac {du_{c}}{ds}}-m\Gamma _{abc}u^{a}u^{b}=eF_{cb}u^{b},}$$

símbolo de Christoffel ${\displaystyle \Gamma _{abc}}$

$${\displaystyle m{\frac {Du_{c}}{ds}}=eF_{cb}u^{b},}$$

diferencial covariante ${\displaystyle D}$

Aplicaciones

La fuerza de Lorentz ocurre en muchos dispositivos, incluidos:

• Ciclotrones y otros aceleradores de partículas de trayectoria circular.
• espectrómetros de masas
• Filtros de velocidad
• Magnetrones
• Velocimetría de fuerza de Lorentz

En su manifestación como fuerza de Laplace sobre una corriente eléctrica en un conductor, esta fuerza ocurre en muchos dispositivos, incluidos:

• Motor electrico
• Cañones de riel
• Motores lineales
• Altavoces
• Propulsores magnetoplasmadinámicos
• Generadores electricos
• Generadores homopolares
• Alternadores lineales

Ver también

• efecto Hall
• Electromagnetismo
• Gravitomagnetismo
• Ley de fuerza de Ampère
• Hendrik Lorentz
• ecuaciones de maxwell
• Formulación de las ecuaciones de Maxwell en relatividad especial.
• Problema con el imán en movimiento y el conductor
• Fuerza Abraham-Lorentz
• fórmula de larmor
• Radiación ciclotrón
• Magnetorresistencia
• potencial escalar
• Descomposición de Helmholtz
• Centro de guia
• linea de campo
• ley de Coulomb
• Flotabilidad electromagnética

Notas a pie de página

1. En unidades SI, B se mide en teslas (símbolo: T). En unidades gaussianas-cgs , B se mide en gauss (símbolo: G). Consulte, por ejemplo, "Preguntas frecuentes sobre geomagnetismo". Centro Nacional de Datos Geofísicos . Consultado el 21 de octubre de 2013 .)
2. El campo H se mide en amperios por metro (A/m) en unidades SI y en oersteds (Oe) en unidades cgs. "Sistema Internacional de Unidades (SI)". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología. 12 de abril de 2010 . Consultado el 9 de mayo de 2012 .
3. Huray, Paul G. (16 de noviembre de 2009). Ecuaciones de Maxwell. John Wiley e hijos. ISBN 978-0-470-54276-7.
4. Huray, Paul G. (2010). Ecuaciones de Maxwell. Wiley-IEEE. pag. 22.ISBN _ 978-0-470-54276-7.
5. Dahl, por F. (1997). Destello de los rayos catódicos: una historia del electrón de JJ Thomson . Prensa CRC. pag. 10.
6. Paul J. Nahin, Oliver Heaviside, JHU Press, 2002.
7. Véase, por ejemplo, Jackson, págs. 777–8.
8. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 72–73. ISBN 0-7167-0344-0.. Estos autores utilizan la fuerza de Lorentz en forma tensor como definidor del tensor electromagnético F , a su vez los campos E y B.
9. Beca IS; WR Phillips; Física de Manchester (1990). Electromagnetismo (2ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 122.ISBN _ 978-0-471-92712-9.
10. Beca IS; WR Phillips; Física de Manchester (1990). Electromagnetismo (2ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 123.ISBN _ 978-0-471-92712-9.
11. "Las Conferencias Feynman sobre Física Vol. II Capítulo 1: Electromagnetismo". www.feynmanlectures.caltech.edu . Consultado el 6 de julio de 2022 .
12. Véase Jackson, página 2. El libro enumera las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell y luego dice: "También es esencial para considerar el movimiento de partículas cargadas la ecuación de fuerza de Lorentz, F = q ( E + v × B ) , que da la Fuerza que actúa sobre una carga puntual q en presencia de campos electromagnéticos."
13. Véase Griffiths, página 204.
14. Por ejemplo, consulte el sitio web del Instituto Lorentz o Griffiths.
15. Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica. reimpresión. con corr. (3ª ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey [ua]: Prentice Hall. ISBN 978-0-13-805326-0.
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29. Véase Griffiths, página 326, que afirma que las ecuaciones de Maxwell, "junto con la ley de fuerza [de Lorentz]... resumen todo el contenido teórico de la electrodinámica clásica".
30. "Experimentos de física". www.physicsexperiment.co.uk . Archivado desde el original el 8 de julio de 2018 . Consultado el 14 de agosto de 2018 .
31. Véase Griffiths, páginas 301–3.
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38. Jackson, JD Capítulo 11
39. Hestenes, David . "Cálculo del espacio-tiempo". Archivado desde el original el 9 de mayo de 2021 . Consultado el 20 de noviembre de 2011 .

Referencias

Las referencias numeradas se refieren en parte a la lista que aparece inmediatamente a continuación.

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• Griffiths, David J. (1999). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Upper Saddle River, [Nueva Jersey]: Prentice-Hall. ISBN 0-13-805326-X.
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• Srednicki, Mark A. (2007). Teoría cuántica de campos. Cambridge, [Inglaterra]; Nueva York [NY.]: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86449-7.

enlaces externos

• Fuerza de Lorentz (demostración)
• Subprograma interactivo de Java sobre la desviación magnética de un haz de partículas en un campo magnético homogéneo Archivado el 13 de agosto de 2011 en Wayback Machine por Wolfgang Bauer