Electromagnetismo clásico y relatividad especial.

Relación entre relatividad y electromagnetismo precuántico

La teoría de la relatividad especial juega un papel importante en la teoría moderna del electromagnetismo clásico . Proporciona fórmulas sobre cómo los objetos electromagnéticos, en particular los campos eléctricos y magnéticos , se alteran bajo una transformación de Lorentz de un marco de referencia inercial a otro. Arroja luz sobre la relación entre la electricidad y el magnetismo, mostrando que el marco de referencia determina si una observación sigue leyes eléctricas o magnéticas. Motiva una notación compacta y conveniente para las leyes del electromagnetismo, a saber, la forma tensor "manifiestamente covariante".

Las ecuaciones de Maxwell, cuando se formularon por primera vez en su forma completa en 1865, resultaron compatibles con la relatividad especial. ^[1] Además, la relatividad especial demostraría que las aparentes coincidencias en las que el mismo efecto fue observado debido a diferentes fenómenos físicos por dos observadores diferentes no son coincidencias en lo más mínimo. De hecho, la mitad del primer artículo de Einstein sobre la relatividad especial de 1905, " Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento ", explica cómo transformar las ecuaciones de Maxwell.

Transformación de los campos entre marcos inerciales.

Los campos E y B

Impulso de Lorentz de una carga eléctrica.

Arriba: la carga está en reposo en el cuadro F, por lo que este observador ve un campo eléctrico estático. Un observador en otro cuadro F′ se mueve con velocidad v con respecto a F, y ve la carga moverse con velocidad − v con un campo eléctrico alterado E debido a la contracción de la longitud y un campo magnético B debido al movimiento de la carga.

Abajo: Configuración similar, con la carga en reposo en el cuadro F′.

Esta ecuación considera dos marcos inerciales . El marco preparado se mueve con respecto al marco no preparado a una velocidad v . Los campos definidos en el marco preparado se indican mediante números primos, y los campos definidos en el marco no preparado carecen de primos. Los componentes del campo paralelos a la velocidad v se denotan por y mientras que los componentes del campo perpendiculares a v se denotan como y . En estos dos cuadros que se mueven a velocidad relativa v , los campos E y B están relacionados por: ^[2] ${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{\parallel }}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{\perp }}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{\perp }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

se llama factor de Lorentz y c es la velocidad de la luz en el espacio libre . Las ecuaciones anteriores están en SI . En CGS, estas ecuaciones se pueden derivar reemplazando con y con , excepto . El factor de Lorentz ( ) es el mismo en ambos sistemas . Las transformaciones inversas son las mismas excepto v → − v . ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{c}}}$ ${\displaystyle v\times B}$ ${\displaystyle {\frac {1}{c}}v\times B}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Una expresión alternativa equivalente es: ^[3]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

¿Dónde está el vector unitario de velocidad ? Con notaciones anteriores, en realidad se tiene y . ${\displaystyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}}$ ${\displaystyle (\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\parallel }}$ ${\displaystyle (\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }}$

Componente por componente, para el movimiento relativo a lo largo del eje x , esto resulta ser lo siguiente: ${\displaystyle \mathbf {v} =(v,0,0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}}$

Si uno de los campos es cero en un marco de referencia, eso no significa necesariamente que sea cero en todos los demás marcos de referencia. Esto se puede ver, por ejemplo, haciendo que el campo eléctrico no cebado sea cero en la transformación al campo eléctrico cebado. En este caso, dependiendo de la orientación del campo magnético, el sistema cebado podría ver un campo eléctrico, aunque no haya ninguno en el sistema no cebado.

Esto no significa que se vean dos conjuntos de eventos completamente diferentes en los dos cuadros, sino que la misma secuencia de eventos se describe de dos maneras diferentes (consulte el problema del conductor e imán en movimiento a continuación).

Si una partícula de carga q se mueve con velocidad u con respecto al marco S, entonces la fuerza de Lorentz en el marco S es:

${\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B} }$

En el cuadro S', la fuerza de Lorentz es:

${\displaystyle \mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'} }$

Aquí se proporciona una derivación de la transformación de la fuerza de Lorentz para el caso particular u = 0 . ^[4] Aquí se puede ver uno más general. ^[5]

Las transformaciones de esta forma se pueden hacer más compactas introduciendo el tensor electromagnético (definido a continuación), que es un tensor covariante .

Los campos D y H

Para el desplazamiento eléctrico D y la intensidad magnética H , utilizando las relaciones constitutivas y el resultado para c ² :

${\displaystyle \mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,}$

da

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}}$

De manera análoga a E y B , D y H forman el tensor de desplazamiento electromagnético .

Los campos φ y A

Una transformación alternativa más simple del campo EM utiliza los potenciales electromagnéticos : el potencial eléctrico φ y el potencial magnético A : ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi '&=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right)\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{aligned}}}$

donde es la componente paralela de A a la dirección de la velocidad relativa entre marcos v , y es la componente perpendicular. Estas se asemejan transparentemente a la forma característica de otras transformaciones de Lorentz (como posición-tiempo y momento-energía), mientras que las transformaciones de E y B anteriores son un poco más complicadas. Los componentes se pueden agrupar como: ${\displaystyle \scriptstyle A_{\parallel }}$ ${\displaystyle \scriptstyle A_{\bot }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}}$

Los campos ρ y J

De manera análoga a la densidad de carga ρ y la densidad de corriente J , ^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{\parallel }'&=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\right)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}}$

Recolectando componentes juntos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

Aproximaciones no relativistas

Para velocidades v ≪ c , el factor relativista γ ≈ 1, que produce:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}}$

de modo que no hay necesidad de distinguir entre las coordenadas espaciales y temporales en las ecuaciones de Maxwell .

Relación entre electricidad y magnetismo.

A una parte de la fuerza entre cargas en movimiento la llamamos fuerza magnética. En realidad, es un aspecto de un efecto eléctrico.

—Richard  Feynman ^[7]

Derivando el magnetismo a partir de leyes eléctricas.

El marco de referencia elegido determina si un fenómeno electromagnético se considera un efecto eléctrico o magnético o una combinación de ambos. Los autores suelen derivar el magnetismo de la electrostática cuando se tienen en cuenta la relatividad especial y la invariancia de carga . Las Conferencias de Física Feynman (vol. 2, cap. 13-6) utilizan este método para derivar la fuerza magnética sobre una carga en movimiento paralelo junto a un cable por el que circula corriente. Véase también Haskell ^[8] y Landau. ^[9]

Si, en cambio, la carga se mueve perpendicular a un cable que transporta corriente, la electrostática no se puede utilizar para derivar la fuerza magnética. En este caso, se puede derivar considerando la compresión relativista del campo eléctrico debido al movimiento de las cargas en el cable. ^[10]

Los campos se entremezclan en diferentes marcos.

Las reglas de transformación anteriores muestran que el campo eléctrico en un marco contribuye al campo magnético en otro marco, y viceversa. ^[11] Esto a menudo se describe diciendo que el campo eléctrico y el campo magnético son dos aspectos interrelacionados de un solo objeto, llamado campo electromagnético . De hecho, todo el campo electromagnético se puede representar en un único tensor de rango 2 llamado tensor electromagnético ; vea abajo.

Problema con el imán en movimiento y el conductor

Un ejemplo famoso de la mezcla de fenómenos eléctricos y magnéticos en diferentes marcos de referencia es el llamado "problema del imán y del conductor en movimiento", citado por Einstein en su artículo de 1905 sobre la Relatividad Especial.

Si un conductor se mueve con velocidad constante a través del campo de un imán estacionario, se producirán corrientes parásitas debido a una fuerza magnética sobre los electrones del conductor. En cambio, en el marco de reposo del conductor, el imán estará en movimiento y el conductor estacionario. La teoría electromagnética clásica predice que se producirán precisamente las mismas corrientes parásitas microscópicas, pero serán debidas a una fuerza eléctrica . ^[12]

Formulación covariante al vacío.

Las leyes y los objetos matemáticos del electromagnetismo clásico se pueden escribir en una forma manifiestamente covariante . Aquí, esto sólo se hace para el vacío (o para las ecuaciones microscópicas de Maxwell, sin utilizar descripciones macroscópicas de materiales como la permitividad eléctrica ), y utiliza unidades SI .

Esta sección utiliza la notación de Einstein , incluida la convención de suma de Einstein . Consulte también Cálculo de Ricci para obtener un resumen de las notaciones de índices tensoriales y subir y bajar índices para definir índices de superíndice y subíndice, y cómo cambiar entre ellos. El tensor métrico de Minkowski η aquí tiene firma métrica (+ − − −).

Tensor de campo y 4 corrientes.

Las transformaciones relativistas anteriores sugieren que los campos eléctrico y magnético están acoplados en un objeto matemático con 6 componentes: un tensor antisimétrico de segundo rango o un bivector . Esto se llama tensor de campo electromagnético , generalmente escrito como F ^μν . En forma matricial: ^[13]

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

donde c la velocidad de la luz - en unidades naturales c = 1.

Hay otra forma de fusionar los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico, reemplazando E / c → B y B → − E / c , para obtener el tensor dual G ^μν .

${\displaystyle G^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{pmatrix}}}$

En el contexto de la relatividad especial , ambos se transforman según la transformación de Lorentz según

${\displaystyle F'^{\alpha \beta }=\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }F^{\mu \nu }}$,

donde Λ ^α _ν es el tensor de transformación de Lorentz para un cambio de un sistema de referencia a otro. El mismo tensor se utiliza dos veces en la suma.

La carga y la densidad de corriente, las fuentes de los campos, también se combinan en los cuatro vectores.

${\displaystyle J^{\alpha }=\left(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$

llamado las cuatro corrientes .

Las ecuaciones de Maxwell en forma tensorial.

Usando estos tensores, las ecuaciones de Maxwell se reducen a: ^[13]

Ecuaciones de Maxwell (formulación covariante)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=\mu _{0}J^{\beta }\\[3pt]{\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=0\end{aligned}}}$

donde las derivadas parciales se pueden escribir de varias maneras, consulte 4-gradiente . La primera ecuación enumerada anteriormente corresponde tanto a la Ley de Gauss (para β = 0) como a la Ley de Ampère-Maxwell (para β = 1, 2, 3). La segunda ecuación corresponde a las dos ecuaciones restantes, la ley de Gauss para el magnetismo (para β = 0) y la Ley de Faraday (para β = 1, 2, 3).

Estas ecuaciones tensoriales son manifiestamente covariantes , lo que significa que pueden verse como covariantes según las posiciones del índice. Esta forma breve de las ecuaciones de Maxwell ilustra una idea compartida entre algunos físicos, a saber, que las leyes de la física adquieren una forma más simple cuando se escriben utilizando tensores .

Reduciendo los índices de F ^αβ para obtener F _αβ :

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \mu }F^{\lambda \mu }}$

la segunda ecuación se puede escribir en términos de F _αβ como:

${\displaystyle \epsilon ^{\delta \alpha \beta \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}=0}$

¿Dónde está el símbolo contravariante de Levi-Civita ? Observe la permutación cíclica de índices en esta ecuación: . ${\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle {\begin{array}{rc}&\scriptstyle {\alpha \,\,\longrightarrow \,\,\beta }\\&\nwarrow _{\gamma }\swarrow \end{array}}}$

Otro objeto electromagnético covariante es el tensor de tensión-energía electromagnética , un tensor covariante de rango 2 que incluye el vector de Poynting , el tensor de tensión de Maxwell y la densidad de energía electromagnética.

4-potencial

El tensor de campo EM también se puede escribir ^[14]

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\,,}$

dónde

${\displaystyle A^{\alpha }=\left({\frac {\varphi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,,}$

es el cuatro potencial y

${\displaystyle x_{\alpha }=(ct,-x,-y,-z)}$

es el de cuatro posiciones .

Utilizando el potencial 4 en el calibre de Lorenz, se puede encontrar una formulación alternativa manifiestamente covariante en una sola ecuación (una generalización de una ecuación debida a Bernhard Riemann por Arnold Sommerfeld , conocida como ecuación de Riemann-Sommerfeld, ^[15] o la forma covariante de las ecuaciones de Maxwell ^[16] ):

Ecuaciones de Maxwell (formulación covariante del calibre de Lorenz )

${\displaystyle \Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }}$

¿Dónde está el operador d'alembertiano o cuatro laplaciano? ${\displaystyle \Box }$

Ver también

• Descripciones matemáticas del campo electromagnético.
• Electromagnetismo relativista

Referencias

1. Haskell. "Quedan dudas sobre el tratamiento de las cargas aceleradas: la relatividad especial y las ecuaciones de Maxwell". Archivado desde el original el 1 de enero de 2008.
2. Tai L. Chow (2006). "10.21". Teoría electromagnética. Sudbury MA: Jones y Bartlett. págs. 402–403 y siguientes. ISBN 0-7637-3827-1.
3. Daniel, Herbert (1997), "4.5.1", Physik: Elektrodynamik, relativistische Physik, Walter de Gruyter, págs. 360–361, ISBN 3-11-015777-2, Extracto de las páginas 360-361
4. "Leyes de fuerza y ​​ecuaciones de Maxwell". Páginas de matemáticas .
5. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de febrero de 2009 . Consultado el 6 de noviembre de 2008 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
6. G. Woan (2010). El manual de fórmulas físicas de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2.
7. "1: Electromagnetismo". Las conferencias Feynman sobre física | Conferencias Feynman]]. vol. II.
8. "Nueva página 2". Archivado desde el original el 1 de enero de 2008 . Consultado el 10 de abril de 2008 .
9. LD Landau; EM Lifshitz (1980). La teoría clásica de los campos. Curso de Física Teórica . vol. 2 (Cuarta ed.). Oxford Reino Unido: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9.
10. Purcell, EM; Morin, DJ (2013). Electricidad y Magnetismo (Cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 265–267. ISBN 978-1-107-01402-2.Extracto de la página 265
11. Tai L. Chow (2006). Teoría electromagnética. Sudbury MA: Jones y Bartlett. pag. 395.ISBN​ 0-7637-3827-1.
12. David J. Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica (Tercera ed.). Prentice Hall. págs. 478–479. ISBN 0-13-805326-X.
13. Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. pag. 557.ISBN​ 0-13-805326-X.
14. DJ Griffiths (1999). Introducción a la electrodinámica. Saddle River Nueva Jersey: Pearson/Addison-Wesley. pag. 541.ISBN​ 0-13-805326-X.
15. Carver A. Mead (7 de agosto de 2002). Electrodinámica colectiva: fundamentos cuánticos del electromagnetismo. Prensa del MIT. págs. 37–38. ISBN 978-0-262-63260-7.
16. Federico V. Hartemann (2002). Electrodinámica de alto campo. Prensa CRC. pag. 102.ISBN​ 978-0-8493-2378-2.