Álgebra espacio-temporal

Marco de la física relativista en álgebra geométrica.

En física matemática , el álgebra espacio-temporal ( STA ) es la aplicación del álgebra de Clifford Cl _1,3 ( R ), o equivalentemente el álgebra geométrica G( M 4 ) a la física. El álgebra del espacio-tiempo proporciona una "formulación unificada y sin coordenadas para toda la física relativista , incluidas la ecuación de Dirac , la ecuación de Maxwell y la relatividad general " y "reduce la división matemática entre la física clásica , la cuántica y la relativista ". ^{[1] : ix}

El álgebra del espacio-tiempo es un espacio vectorial que permite combinar no solo vectores , sino también bivectores (cantidades dirigidas que describen rotaciones asociadas con rotaciones o planos particulares, como áreas o rotaciones) o cuchillas (cantidades asociadas con hipervolúmenes particulares), como así como rotado , reflejado o potenciado por Lorentz . ^{[2] : 40, 43, 97, 113} También es el álgebra madre natural de los espinores en la relatividad especial. ^{[2] : 333} Estas propiedades permiten que muchas de las ecuaciones más importantes de la física se expresen en formas particularmente simples y pueden ser muy útiles para una comprensión más geométrica de sus significados. ^{[1] :v}

En comparación con métodos relacionados, STA y el álgebra de Dirac son álgebras de Clifford Cl _1,3 , pero STA usa escalares de números reales mientras que el álgebra de Dirac usa escalares de números complejos . La división del espacio-tiempo de STA es similar al enfoque del álgebra del espacio físico (APS, álgebra de Pauli) . APS representa el espacio-tiempo como un paravector , un espacio vectorial tridimensional combinado y un escalar unidimensional. ^{[3] : 225–266}

Estructura

Para cualquier par de vectores STA, hay un producto vectorial (geométrico) , un producto interno (punto) y un producto externo (exterior, cuña) . El producto vectorial es la suma de un producto interno y externo: ^{[1] : 6} ${\textstyle a,b}$ ${\textstyle ab}$ ${\textstyle a\cdot b}$ ${\textstyle a\wedge b}$

${\displaystyle a\cdot b={\frac {ab+ba}{2}}=b\cdot a,\quad a\wedge b={\frac {ab-ba}{2}}=-b\wedge a,\quad ab=a\cdot b+a\wedge b}$

El producto interno genera un número real (escalar) y el producto externo genera un bivector. Los vectores y son ortogonales si su producto interno es cero; vectores y son paralelos si su producto exterior es cero. ^{[2] : 22-23} ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

Los vectores de base ortonormal son un vector temporal y 3 vectores espaciales . Los términos distintos de cero del tensor métrico de Minkowski son los términos diagonales . Para : ${\textstyle \gamma _{0}}$ ${\textstyle \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$ ${\textstyle (\eta _{00},\eta _{11},\eta _{22},\eta _{33})=(1,-1,-1,-1)}$ ${\textstyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma _{\nu }={\frac {\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}{2}}=\eta _{\mu \nu },\quad \gamma _{0}\cdot \gamma _{0}=1,\ \gamma _{1}\cdot \gamma _{1}=\gamma _{2}\cdot \gamma _{2}=\gamma _{3}\cdot \gamma _{3}=-1,\quad {\text{ otherwise }}\ \gamma _{\mu }\gamma _{\nu }=-\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }}$

Las matrices de Dirac comparten estas propiedades y STA es equivalente al álgebra generada por las matrices de Dirac sobre el campo de números reales; ^{[1] : x} la representación matricial explícita no es necesaria para STA.

Los productos de los vectores de base generan una base tensor que contiene un escalar , cuatro vectores , seis bivectores , cuatro pseudovectores ( trivectores ) y un pseudoescalar con . ^{[1] : 11} El pseudoescalar conmuta con todos los elementos STA de grado par , pero anticonmuta con todos los elementos STA de grado impar . ^{[4] : 6} ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma _{0}\gamma _{1},\,\gamma _{0}\gamma _{2},\,\gamma _{0}\gamma _{3},\,\gamma _{1}\gamma _{2},\,\gamma _{2}\gamma _{3},\,\gamma _{3}\gamma _{1}\}}$ ${\displaystyle \{I\gamma _{0},I\gamma _{1},I\gamma _{2},I\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{I\}}$ ${\textstyle I=\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$

subálgebra

Los elementos pares de STA (escalares, bivectores, pseudoescalar) forman una subálgebra par de Clifford Cl _3,0 ( R ) equivalente a la APS o al álgebra de Pauli. ^{[1] : 12} Los bivectores STA son equivalentes a los vectores y pseudovectores APS. La subálgebra de STA se vuelve más explícita al cambiar el nombre de los bivectores de STA como y los bivectores de STA como . ^{[1] : 22  [2] : 37} Las matrices de Pauli, , son una representación matricial para . ^{[2] : 37} Para cualquier par de , los productos internos distintos de cero son y los productos externos distintos de cero son: ^{[2] : 37  [1] : 16} ${\textstyle (\gamma _{1}\gamma _{0},\gamma _{2}\gamma _{0},\gamma _{3}\gamma _{0})}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle (\gamma _{3}\gamma _{2},\gamma _{1}\gamma _{3},\gamma _{2}\gamma _{1})}$ ${\textstyle (I\sigma _{1},I\sigma _{2},I\sigma _{3})}$ ${\textstyle {\hat {\sigma }}_{1},{\hat {\sigma }}_{2},{\hat {\sigma }}_{3}}$ ${\textstyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}}$ ${\textstyle (\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3})}$ ${\textstyle \sigma _{1}\cdot \sigma _{1}=\sigma _{2}\cdot \sigma _{2}=\sigma _{3}\cdot \sigma _{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}\wedge \sigma _{2}&=I\sigma _{3}\\\sigma _{2}\wedge \sigma _{3}&=I\sigma _{1}\\\sigma _{3}\wedge \sigma _{1}&=I\sigma _{2}\\\end{aligned}}}$

La secuencia del álgebra hasta la subálgebra par continúa como álgebra del espacio físico, álgebra de cuaterniones, números complejos y números reales. ^{[1] : 12}

División

Un vector distinto de cero es un vector nulo ( nilpotente de grado 2 ) si . ^{[5] : 2} Un ejemplo es . Los vectores nulos son tangentes al cono de luz (cono nulo). ^{[5] : 4} Un elemento es idempotente si . ^{[6] : 103} Dos idempotentes y son idempotentes ortogonales si . ^{[6] : 103} Un ejemplo de un par idempotente ortogonal es y con . Los divisores de cero propios son elementos distintos de cero cuyo producto es cero, como vectores nulos o idempotentes ortogonales. ^{[7] : 191} Un álgebra de división es un álgebra que contiene elementos multiplicativos inversos (recíprocos) para cada elemento, pero esto ocurre si no hay divisores de cero adecuados y si el único idempotente es 1. ^{[6] : 103  [8] : 211  [a]} Las únicas álgebras de división asociativa son los números reales, los números complejos y los cuaterniones. ^{[9] : 366} Como STA no es un álgebra de división, algunos elementos de STA pueden carecer de una inversa; sin embargo, la división por el vector no nulo puede ser posible multiplicando por su inverso, definido como . ^{[10] : 14} ${\textstyle a}$ ${\textstyle a^{2}=0}$ ${\textstyle a=\gamma ^{0}+\gamma ^{1}}$ ${\textstyle b}$ ${\textstyle b^{2}=b}$ ${\textstyle b_{1}}$ ${\textstyle b_{2}}$ ${\textstyle b_{1}b_{2}=0}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0}\gamma _{k})}$ ${\textstyle k=1,2,3}$ ${\textstyle c}$ ${\displaystyle c^{-1}=(c\cdot c)^{-1}c}$

Marco recíproco

Asociado con la base ortogonal está el conjunto de bases recíprocas que satisfacen estas ecuaciones: ^{[1] : 63} ${\displaystyle \{\gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}\}}$ ${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$

${\displaystyle \gamma _{\mu }\cdot \gamma ^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3}$

Estos vectores de marco recíprocos difieren sólo por un signo, con , pero . ${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma ^{1}=-\gamma _{1},\ \ \gamma ^{2}=-\gamma _{2},\ \ \gamma ^{3}=-\gamma _{3}}$

Un vector se puede representar utilizando vectores base o vectores base recíprocos con suma , según la notación de Einstein . El producto interno de los vectores vector y base o vectores de base recíprocos genera los componentes del vector. ${\textstyle a}$ ${\displaystyle a=a^{\mu }\gamma _{\mu }=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mu =0,1,2,3}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot \gamma ^{\nu }&=a^{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\\a\cdot \gamma _{\nu }&=a_{\nu },\quad \nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

La gimnasia métrica e indexada sube o baja los índices:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{\mu }&=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\\\gamma ^{\mu }&=\eta ^{\mu \nu }\gamma _{\nu },\quad \mu ,\nu =0,1,2,3\end{aligned}}}$

gradiente de espacio-tiempo

El gradiente espacio-temporal, al igual que el gradiente en un espacio euclidiano, se define de manera que se satisface la relación derivada direccional : ^{[11] : 45}

${\displaystyle a\cdot \nabla F(x)=\lim _{\tau \rightarrow 0}{\frac {F(x+a\tau )-F(x)}{\tau }}.}$

Esto requiere que la definición del gradiente sea

${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }.}$

Escritos explícitamente con , estos parciales son ${\displaystyle x=ct\gamma _{0}+x^{k}\gamma _{k}}$

${\displaystyle \partial _{0}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\quad \partial _{k}={\frac {\partial }{\partial {x^{k}}}}}$

División del espacio-tiempo

En STA, una división del espacio-tiempo es una proyección desde un espacio de cuatro dimensiones a un espacio de (3+1) dimensiones en un marco de referencia elegido mediante las dos operaciones siguientes:

• un colapso del eje de tiempo elegido, produciendo un espacio tridimensional abarcado por bivectores, equivalente a los vectores básicos tridimensionales estándar en el álgebra del espacio físico y
• una proyección del espacio 4D sobre el eje de tiempo elegido, produciendo un espacio unidimensional de escalares, que representa el tiempo escalar. ^{[13] : 180}

Esto se logra mediante la multiplicación previa o posterior de un vector de base temporal , que sirve para dividir un vector de cuatro en un componente escalar temporal y bivector espacial, en el marco de referencia que se mueve conjuntamente con . con tenemos ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle x=x^{\mu }\gamma _{\mu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\gamma _{k}\gamma _{0}\end{aligned}}}$

La división del espacio-tiempo es un método para representar un vector de espacio-tiempo de grado par como un vector en el álgebra de Pauli, un álgebra donde el tiempo es un escalar separado de los vectores que ocurren en el espacio tridimensional. El método reemplaza estos vectores espacio-temporales ^{[1] : 22–24} ${\textstyle (\gamma )}$

Como estos bivectores cuadran con la unidad, sirven como base espacial. Utilizando la notación matricial de Pauli , estos se escriben . Los vectores espaciales en STA se indican en negrita; luego con y , la división -espacio-tiempo y su reverso son: ${\displaystyle \gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =x^{k}\sigma _{k}}$ ${\displaystyle x^{0}=ct}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle x\gamma _{0}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}x}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x\gamma _{0}&=x^{0}+x^{k}\sigma _{k}=ct+\mathbf {x} \\\gamma _{0}x&=x^{0}-x^{k}\sigma _{k}=ct-\mathbf {x} \end{aligned}}}$

Sin embargo, las fórmulas anteriores sólo funcionan en la métrica de Minkowski con firma (+ - - -). Para las formas de división del espacio-tiempo que funcionan en cualquiera de las firmas, se deben usar definiciones alternativas en las que y . ${\displaystyle \sigma _{k}=\gamma _{k}\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \sigma ^{k}=\gamma _{0}\gamma ^{k}}$

Transformaciones

Para rotar un vector en álgebra geométrica, se utiliza la siguiente fórmula: ^{[14] : 50–51} ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v'=e^{-\beta {\frac {\theta }{2}}}\ v\ e^{\beta {\frac {\theta }{2}}}}$,

donde es el ángulo a rotar y es el bivector normalizado que representa el plano de rotación de modo que . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta {\tilde {\beta }}=1}$

Para un bivector espacial dado, se aplica la fórmula de Euler , ^{[2] : 401} dando la rotación ${\displaystyle \beta ^{2}=-1}$

${\displaystyle v'=\left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

Para un bivector temporal dado, una "rotación en el tiempo" utiliza la ecuación análoga para los números complejos divididos : ${\displaystyle \beta ^{2}=1}$

${\displaystyle v'=\left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)-\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)\ v\ \left(\cosh \left({\frac {\theta }{2}}\right)+\beta \sinh \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right)}$.

Al interpretar esta ecuación, estas rotaciones a lo largo de la dirección del tiempo son simplemente rotaciones hiperbólicas . Estos son equivalentes a los aumentos de Lorentz en la relatividad especial.

Ambas transformaciones se conocen como transformaciones de Lorentz , y el conjunto combinado de todas ellas es el grupo de Lorentz . Para transformar un objeto en STA desde cualquier base (correspondiente a un marco de referencia) a otra, se deben utilizar una o más de estas transformaciones. ^{[1] : 47–62}

Cualquier elemento del espacio-tiempo se transforma mediante multiplicación con el pseudoescalar para formar su elemento dual . ^{[11] : 114} La rotación de dualidad transforma un elemento de espacio-tiempo en elemento a través de un ángulo con pseudoescalar es: ^{[1] : 13} ${\textstyle A}$ ${\textstyle AI}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle A^{\prime }}$ ${\textstyle \phi }$ ${\textstyle I}$

${\displaystyle A^{\prime }=e^{I\phi }A}$

La rotación de dualidad ocurre solo para el álgebra de Clifford no singular , lo que significa que no singular es un álgebra de Clifford que contiene pseudoescalares con un cuadrado distinto de cero. ^{[1] : 13}

La involución de grado (involución principal, inversión) transforma cada r-vector en : ^{[1] : 13  [15]} ${\textstyle A_{r}}$ ${\textstyle A_{r}^{\ast }}$

${\displaystyle A_{r}^{\ast }=(-1)^{r}\ A_{r}}$

La transformación de reversión se produce descomponiendo cualquier elemento del espacio-tiempo como una suma de productos de vectores y luego invirtiendo el orden de cada producto. ^{[1] : 13  [16]} Para multivectores que surgen de un producto de vectores, la reversión es : ${\textstyle A}$ ${\textstyle a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r}}$ ${\textstyle A^{\dagger }}$

${\displaystyle A=a_{1}a_{2}\ldots a_{r-1}a_{r},\quad A^{\dagger }=a_{r}a_{r-1}\ldots a_{2}a_{1}}$

La conjugación de Clifford de un elemento de espacio-tiempo combina transformaciones de reversión y de involución de grado, indicadas como : ^[17] ${\textstyle A}$ ${\textstyle {\tilde {A}}}$

${\displaystyle {\tilde {A}}=A^{\ast \dagger }}$

Las transformaciones de involución de grado, reversión y conjugación de Clifford son involuciones . ^[18]

Electromagnetismo clásico

El bivector de Faraday

En STA, el campo eléctrico y el campo magnético se pueden unificar en un único campo bivector, conocido como bivector de Faraday, equivalente al tensor de Faraday . ^{[2] : 230} Se define como:

${\displaystyle F={\vec {E}}+Ic{\vec {B}},}$

donde y son los campos eléctricos y magnéticos habituales, y es el pseudoescalar de STA. ^{[2] : 230} Alternativamente, expandiendo en términos de componentes, se define que ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=E^{i}\sigma _{i}+IcB^{i}\sigma _{i}=E^{1}\gamma _{1}\gamma _{0}+E^{2}\gamma _{2}\gamma _{0}+E^{3}\gamma _{3}\gamma _{0}-cB^{1}\gamma _{2}\gamma _{3}-cB^{2}\gamma _{3}\gamma _{1}-cB^{3}\gamma _{1}\gamma _{2}.}$

Los campos separados y se recuperan del uso ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E={\frac {1}{2}}\left(F-\gamma _{0}F\gamma _{0}\right),\\IcB={\frac {1}{2}}\left(F+\gamma _{0}F\gamma _{0}\right).\end{aligned}}}$

El término representa un marco de referencia dado y, como tal, el uso de diferentes marcos de referencia dará como resultado campos relativos aparentemente diferentes, exactamente como en la relatividad especial estándar. ^{[2] : 233} ${\displaystyle \gamma _{0}}$

Dado que el bivector de Faraday es un invariante relativista, se puede encontrar más información en su cuadrado, dando dos nuevas cantidades invariantes de Lorentz, una escalar y una pseudoescalar:

${\displaystyle F^{2}=E^{2}-c^{2}B^{2}+2Ic{\vec {E}}\cdot {\vec {B}}.}$

La parte escalar corresponde a la densidad lagrangiana del campo electromagnético, y la parte pseudoescalar es una invariante de Lorentz que se ve con menos frecuencia. ^{[2] : 234}

ecuación de maxwell

STA formula las ecuaciones de Maxwell en una forma más simple como una ecuación, ^{[19] : 230} en lugar de las 4 ecuaciones del cálculo vectorial . ^{[20] : 2–3} De manera similar al bivector de campo anterior, la densidad de carga eléctrica y la densidad de corriente se pueden unificar en un único vector de espacio-tiempo, equivalente a un cuatro vectores . Como tal, la corriente espacio-temporal viene dada por ^{[21] : 26} ${\displaystyle {\vec {J}}}$

${\displaystyle {\vec {J}}=c\rho \gamma _{0}+J^{i}\gamma _{i},}$

donde los componentes son los componentes de la densidad de corriente tridimensional clásica. Al combinar estas cantidades de esta manera, queda particularmente claro que la densidad de carga clásica no es más que una corriente que viaja en la dirección temporal dada por . ${\displaystyle J^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$

Combinando el campo electromagnético y la densidad de corriente junto con el gradiente de espacio-tiempo como se definió anteriormente, podemos combinar las cuatro ecuaciones de Maxwell en una sola ecuación en STA.^{[19] : 230}

La ecuación de Maxwell:

${\displaystyle \nabla F=\mu _{0}cJ}$

El hecho de que todas estas cantidades sean objetos covariantes en la STA garantiza automáticamente la covarianza de Lorentz de la ecuación, que es mucho más fácil de mostrar que cuando se separa en cuatro ecuaciones separadas.

De esta forma, también es mucho más sencillo demostrar ciertas propiedades de las ecuaciones de Maxwell, como la conservación de la carga . Utilizando el hecho de que para cualquier campo bivectorial, la divergencia de su gradiente espacio-temporal es , se puede realizar la siguiente manipulación: ^{[22] : 231} ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left[\nabla F\right]&=\nabla \cdot \left[\mu _{0}cJ\right]\\0&=\nabla \cdot J.\end{aligned}}}$

Esta ecuación tiene el claro significado de que la divergencia de la densidad de corriente es cero, es decir, la carga total y la densidad de corriente se conservan a lo largo del tiempo.

Utilizando el campo electromagnético, la forma de la fuerza de Lorentz sobre una partícula cargada también se puede simplificar considerablemente mediante STA. ^{[23] : 156}

Fuerza de Lorentz sobre una partícula cargada:

${\displaystyle {\mathcal {F}}=qF\cdot v}$

Formulación potencial

En la formulación del cálculo vectorial estándar, se utilizan dos funciones potenciales: el potencial escalar eléctrico y el potencial vectorial magnético . Usando las herramientas de STA, estos dos objetos se combinan en un solo campo vectorial , análogo al cuatro potencial electromagnético en el cálculo tensorial. En STA, se define como ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\frac {\phi }{c}}\gamma _{0}+A^{k}\gamma _{k}}$

donde es el potencial escalar y son las componentes del potencial magnético. Como se define, este campo tiene unidades SI de webers por metro (V⋅s⋅m ⁻¹ ). ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle A^{k}}$

El campo electromagnético también se puede expresar en términos de este campo potencial, usando

${\displaystyle {\frac {1}{c}}F=\nabla \wedge A.}$

Sin embargo, esta definición no es única. Para cualquier función escalar dos veces diferenciable , el potencial dado por ${\displaystyle \Lambda ({\vec {x}})}$

${\displaystyle A'=A+\nabla \Lambda }$

También dará lo mismo que el original, debido a que ${\displaystyle F}$

${\displaystyle \nabla \wedge \left(A+\nabla \Lambda \right)=\nabla \wedge A+\nabla \wedge \nabla \Lambda =\nabla \wedge A.}$

Este fenómeno se llama libertad de calibre . El proceso de elegir una función adecuada para simplificar un problema determinado se conoce como fijación de calibre . Sin embargo, en electrodinámica relativista, a menudo se impone la condición de Lorenz , donde . ^{[2] : 231} ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {A}}=0}$

Para reformular la ecuación de STA Maxwell en términos del potencial , primero se reemplaza con la definición anterior. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}\nabla F&=\nabla \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla \cdot \left(\nabla \wedge A\right)+\nabla \wedge \left(\nabla \wedge A\right)\\&=\nabla ^{2}A+\left(\nabla \wedge \nabla \right)A=\nabla ^{2}A+0\\&=\nabla ^{2}A\end{aligned}}}$

Sustituyendo este resultado, se llega a la formulación potencial del electromagnetismo en STA: ^{[2] : 232}

Ecuación potencial:

${\displaystyle \nabla ^{2}A=\mu _{0}J}$

formulación lagrangiana

De manera análoga al formalismo del cálculo tensorial, la formulación potencial en STA conduce naturalmente a una densidad lagrangiana apropiada . ^{[2] : 453}

Densidad lagrangiana electromagnética:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\epsilon _{0}F^{2}-J\cdot A}$

Se pueden derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange con valores multivectoriales para el campo, y al no tener en cuenta el rigor matemático de tomar la derivada parcial con respecto a algo que no es un escalar, las ecuaciones relevantes quedan como: ^{[24] : 440}

${\displaystyle \nabla {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\nabla A\right)}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A}}=0.}$

Para comenzar a volver a derivar la ecuación de potencial de esta forma, lo más sencillo es trabajar en el calibre de Lorenz, estableciendo ^{[2] : 232}

${\displaystyle \nabla \cdot A=0.}$

Este proceso se puede realizar independientemente del calibre elegido, pero esto hace que el proceso resultante sea considerablemente más claro. Debido a la estructura del producto geométrico , el uso de esta condición da como resultado . ${\displaystyle \nabla \wedge A=\nabla A}$

Después de sustituir en , se obtiene fácilmente la misma ecuación de movimiento anterior para el campo potencial . ${\displaystyle F=c\nabla A}$ ${\displaystyle A}$

La ecuación de Pauli

STA permite la descripción de la partícula de Pauli en términos de una teoría real en lugar de una teoría matricial. La descripción de la teoría matricial de la partícula de Pauli es: ^[25]

${\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\Psi =H_{S}\Psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,{\hat {\sigma }}\cdot \mathbf {B} \Psi ,}$

donde es un espinor , es la unidad imaginaria sin interpretación geométrica, son las matrices de Pauli (con la notación 'sombrero' que indica que es un operador matricial y no un elemento en el álgebra geométrica) y es el hamiltoniano de Schrödinger. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}_{i}}$ ${\displaystyle {\hat {\sigma }}}$ ${\displaystyle H_{S}}$

El enfoque STA transforma la representación matricial del espinor en la representación STA utilizando elementos, , de la subálgebra espaciotemporal de grado par y el pseudoescalar : ^{[2] : 37  [26] : 270, 271} ${\textstyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \mathbf {\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}} }$ ${\displaystyle I=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}}$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}\operatorname {cos(\theta /2)\ e^{-i\phi /2}} \\\operatorname {sin(\theta /2)\ e^{+i\phi /2}} \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a^{0}+ia^{3}\\-a^{2}+ia^{1}\end{vmatrix}}\mapsto \psi =a^{0}+a^{1}\mathbf {I\sigma _{1}} +a^{2}\mathbf {I\sigma _{2}} +a^{3}\mathbf {I\sigma _{3}} }$

La partícula de Pauli se describe mediante la ecuación real de Pauli-Schrödinger: ^[25]

${\displaystyle \partial _{t}\psi \,I\sigma _{3}\,\hbar =H_{S}\psi -{\frac {e\hbar }{2mc}}\,\mathbf {B} \psi \sigma _{3},}$

donde ahora es un multivector par del álgebra geométrica y el hamiltoniano de Schrödinger es . Hestenes se refiere a esto como la verdadera teoría de Pauli-Schrödinger para enfatizar que esta teoría se reduce a la teoría de Schrödinger si se elimina el término que incluye el campo magnético. ^{[25] : 30} El vector es un vector fijo seleccionado arbitrariamente; una rotación fija puede generar cualquier vector fijo alternativo seleccionado . ^{[27] : 30} ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle H_{S}}$ ${\textstyle \sigma _{3}}$ ${\textstyle \sigma _{3}^{\prime }}$

La ecuación de Dirac

STA permite una descripción de la partícula de Dirac en términos de una teoría real en lugar de una teoría matricial. La descripción de la teoría matricial de la partícula de Dirac es: ^[28]

${\displaystyle {\hat {\gamma }}^{\mu }(i\partial _{\mu }-e\mathbf {A} _{\mu })|\psi \rangle =m|\psi \rangle ,}$

donde están las matrices de Dirac y es la unidad imaginaria sin interpretación geométrica. ${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$ ${\textstyle i}$

Usando el mismo enfoque que para la ecuación de Pauli, el enfoque STA transforma la matriz del espinor superior y la matriz del espinor inferior de la matriz Dirac bispinor a las correspondientes representaciones de espinor de álgebra geométrica y . Luego se combinan para representar el álgebra geométrica completa de Dirac bispinor . ^{[29] : 279} ${\textstyle |\psi _{U}\rangle }$ ${\textstyle |\psi _{L}\rangle }$ ${\textstyle |\psi \rangle }$ ${\textstyle \psi _{U}}$ ${\textstyle \psi _{L}}$ ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{vmatrix}|\psi _{U}\rangle \\|\psi _{L}\rangle \end{vmatrix}}\mapsto \psi =\psi _{U}+\psi _{L}\mathbf {\sigma _{3}} }$

Siguiendo la derivación de Hestenes, la partícula de Dirac se describe mediante la ecuación: ^{[28] [30] : 283}

Ecuación de Dirac en STA:

${\displaystyle \nabla \psi \,I\sigma _{3}-e\mathbf {A} \psi =m\psi \gamma _{0}}$

Aquí, está el campo de espinor, y son elementos del álgebra geométrica, es el cuatro potencial electromagnético y es la derivada del vector espacio-tiempo. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \gamma _{0}}$ ${\displaystyle I\sigma _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$

espinores de dirac

Un espinor de Dirac relativista se puede expresar como: ^{[31] [32] [33] : 280} ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle \psi =R(\rho e^{i\beta })^{\frac {1}{2}}}$

donde, según su derivación por David Hestenes , es una función par con valores multivectoriales en el espacio-tiempo, es un espinor o “rotor” unimodular, ^[34] y y son funciones con valores escalares. ^[31] En esta construcción, los componentes de se corresponden directamente con los componentes de un espinor de Dirac , ambos con 8 grados escalares de libertad. ${\displaystyle \psi =\psi (x)}$ ${\displaystyle R=R(x)}$ ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$ ${\displaystyle \beta =\beta (x)}$ ${\displaystyle \psi }$

Esta ecuación se interpreta como que conecta el espín con el pseudoescalar imaginario. ^{[35] : 104-121}

El rotor, Lorentz, transforma la trama de vectores en otra trama de vectores mediante la operación ; ^{[36] : 15} nota que indica la transformación inversa . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \gamma _{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }}$ ${\displaystyle e_{\mu }=R\gamma _{\mu }R^{\dagger }}$ ${\textstyle R^{\dagger }}$

Esto se ha ampliado para proporcionar un marco para observables de valores escalares y vectoriales que varían localmente y soporte para la interpretación Zitterbewegung de la mecánica cuántica propuesta originalmente por Schrödinger . ^{[37] [1] : vi}

Hestenes ha comparado su expresión con la expresión de Feynman en la formulación integral de camino: ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi =e^{i\Phi _{\lambda }/\hbar },}$

¿Dónde está la acción clásica a lo largo del camino? ^[31] ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Usando los espinores, la densidad de corriente del campo se puede expresar como ^{[38] : 8}

${\displaystyle J^{\mu }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }$

Simetrías

La simetría de fase global es un cambio de fase global constante de la función de onda que deja la ecuación de Dirac sin cambios. ^{[39] : 41–48} La simetría de fase local es un cambio de fase espacialmente variable que deja la ecuación de Dirac sin cambios si va acompañada de una transformación de calibre del cuatro potencial electromagnético expresado por estas sustituciones combinadas. ^{[40] : 269, 283}

${\displaystyle \psi \mapsto \psi e^{\alpha (x)I\sigma _{3}},\quad eA\mapsto eA-\nabla \alpha (x)}$

En estas ecuaciones, la transformación de fase local es un cambio de fase en la ubicación del espacio-tiempo con pseudovector y de subálgebra espacio-temporal de grado par aplicada a la función de onda ; la transformación de calibre es una resta del gradiente del cambio de fase del cuatro potencial electromagnético con carga eléctrica de partículas . ^{[40] : 269, 283} ${\displaystyle \alpha (x)}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle I}$ ${\textstyle \sigma _{3}}$ ${\textstyle \psi }$ ${\textstyle \nabla \alpha (x)}$ ${\textstyle A}$ ${\textstyle e}$

Los investigadores han aplicado STA y enfoques relacionados del álgebra de Clifford para las teorías de calibre, la interacción electrodébil , la teoría de Yang-Mills y el modelo estándar . ^{[41] : 1345-1347}

Las simetrías discretas son la paridad , la conjugación de carga y la inversión del tiempo aplicadas a la función de onda . Estos efectos son: ^{[42] : 283} ${\textstyle ({\hat {P}})}$ ${\textstyle ({\hat {C}})}$ ${\textstyle ({\hat {T}})}$ ${\textstyle \psi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {P}}|\psi \rangle &\mapsto \gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{0}\\{\hat {C}}|\psi \rangle &\mapsto \psi \sigma _{1}\\{\hat {T}}|\psi \rangle &\mapsto I\gamma _{0}\psi (\gamma _{0}x\gamma _{0})\gamma _{1}\end{aligned}}}$

Relatividad general

Relatividad general

Los investigadores han aplicado STA y enfoques relacionados del álgebra de Clifford a la relatividad, la gravedad y la cosmología. ^{[41] : 1343} La teoría de la gravedad calibre (GTG) utiliza STA para describir una curvatura inducida en el espacio de Minkowski al tiempo que admite una simetría calibre bajo "remapeo arbitrario suave de eventos en el espacio-tiempo" que conduce a esta ecuación geodésica. ^{[43] [44] [4] [12]}

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}R={\frac {1}{2}}(\Omega -\omega )R}$

y la derivada covariante

${\displaystyle D_{\tau }=\partial _{\tau }+{\frac {1}{2}}\omega ,}$

¿Dónde está la conexión asociada con el potencial gravitacional y es una interacción externa como un campo electromagnético? ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

La teoría es prometedora para el tratamiento de los agujeros negros, ya que su forma de solución de Schwarzschild no se descompone en las singularidades; la mayoría de los resultados de la relatividad general se han reproducido matemáticamente y la formulación relativista de la electrodinámica clásica se ha extendido a la mecánica cuántica y la ecuación de Dirac .

Ver también

• álgebra geométrica
• Álgebra de Dirac
• ecuaciones de maxwell
• ecuación de dirac
• Relatividad general

Notas

1. Un ejemplo: dado idempotente , defina , entonces , y . Encuentra el inverso que satisfaga . De este modo, . Sin embargo, no hay satisfacción , por lo que este idempotente no tiene inversa. ${\textstyle a={\tfrac {1}{2}}(1+\gamma _{0})}$ ${\textstyle b=1-a={\tfrac {1}{2}}(1-\gamma _{0})}$ ${\textstyle a^{2}=a}$ ${\textstyle b^{2}=b}$ ${\textstyle ab=0}$ ${\textstyle a^{-1}}$ ${\textstyle a^{-1}a=1}$ ${\textstyle b=1\cdot b=(a^{-1}a)b=a^{-1}(ab)=a^{-1}\cdot 0\neq 0}$ ${\textstyle a^{-1}}$ ${\textstyle a^{-1}\cdot 0\neq 0}$

Citas

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Referencias

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enlaces externos

• Explorando la física con álgebra geométrica, libro I
• Explorando la física con álgebra geométrica, libro II
• Un lagrangiano multivectorial para la ecuación de Maxwell
• Los números imaginarios no son reales: el álgebra geométrica del espacio-tiempo, una introducción tutorial a las ideas del álgebra geométrica, por S. Gull, A. Lasenby, C. Doran
• Notas del curso de Aplicaciones físicas del álgebra geométrica, consulte especialmente la parte 2.
• Grupo de Álgebra Geométrica de la Universidad de Cambridge
• Investigación y desarrollo de cálculo geométrico.