Derivado direccional

Tasa instantánea de cambio de la función.

Una derivada direccional es un concepto de cálculo multivariable que mide la velocidad a la que una función cambia en una dirección particular en un punto determinado. ^{[ cita necesaria ]}

La derivada direccional de una función diferenciable (escalar) multivariable a lo largo de un vector dado v en un punto dado x representa intuitivamente la tasa de cambio instantánea de la función, moviéndose a través de x con una velocidad especificada por v .

La derivada direccional de una función escalar f con respecto a un vector v en un punto (por ejemplo, posición) x puede denotarse mediante cualquiera de los siguientes:

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=f'_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )=D_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )=\partial _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}=\mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.}$$

Por lo tanto, generaliza la noción de derivada parcial , en la que la tasa de cambio se toma a lo largo de una de las curvas de coordenadas curvilíneas , siendo todas las demás coordenadas constantes. La derivada direccional es un caso especial de la derivada Gateaux .

Definición

Un gráfico de contorno de , que muestra el vector gradiente en negro y el vector unitario escalado por la derivada direccional en la dirección de en naranja. El vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de mayor tasa de aumento de una función. ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$

La derivada direccional de una función escalar.

$${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$

$${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$$

funciónlímite ^[1] ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$

Esta definición es válida en una amplia gama de contextos, por ejemplo, donde la norma de un vector (y por tanto de un vector unitario) no está definida. ^[2]

Para funciones diferenciables

Si la función f es diferenciable en x , entonces la derivada direccional existe a lo largo de cualquier vector unitario v en x, y se tiene

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }$$

donde el de la derecha denota el gradiente , es el producto escalar y v es un vector unitario. ^[3] Esto se deduce de definir una ruta y usar la definición de la derivada como límite que se puede calcular a lo largo de esta ruta para obtener: ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle h(t)=x+tv}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tDf(x)(v)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-Df(x)(v)\\&=\nabla _{v}f(x)-Df(x)(v).\end{aligned}}}$$

Intuitivamente, la derivada direccional de f en un punto x representa la tasa de cambio de f , en la dirección de v con respecto al tiempo, cuando pasa x .

Usando solo la dirección del vector

El ángulo α entre la tangente A y la horizontal será máximo si el plano de corte contiene la dirección del gradiente A.

En un espacio euclidiano , algunos autores ^[4] definen la derivada direccional con respecto a un vector v arbitrario distinto de cero después de la normalización , siendo así independiente de su magnitud y dependiendo únicamente de su dirección. ^[5]

Esta definición da la tasa de aumento de f por unidad de distancia movida en la dirección dada por v . En este caso, se tiene

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h|\mathbf {v} |}},}$$

fx

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot {\frac {\mathbf {v} }{|\mathbf {v} |}}.}$$

Restricción a un vector unitario

En el contexto de una función en un espacio euclidiano , algunos textos restringen el vector v a ser un vector unitario . Con esta restricción, ambas definiciones anteriores son equivalentes. ^[6]

Propiedades

Muchas de las propiedades familiares de la derivada ordinaria se aplican a la derivada direccional. Estos incluyen, para cualquier función f y g definida en una vecindad de p y diferenciable en p :

1. regla de suma :
   $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla _{\mathbf {v} }f+\nabla _{\mathbf {v} }g.}$$
2. regla del factor constante : para cualquier constante c ,
   $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla _{\mathbf {v} }f.}$$
3. regla del producto (o regla de Leibniz ):
   $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla _{\mathbf {v} }f+f\nabla _{\mathbf {v} }g.}$$
4. regla de la cadena : si g es diferenciable en p y h es diferenciable en g ( p ), entonces
   $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla _{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}$$

En geometría diferencial

Sea M una variedad diferenciable y p un punto de M . Supongamos que f es una función definida en una vecindad de p y diferenciable en p . Si v es un vector tangente a M en p , entonces la derivada direccional de f a lo largo de v , denotada de diversas formas como df ( v ) (ver Derivada exterior ), (ver Derivada covariante ), (ver Derivada de Lie ), o (ver Espacio tangente § Definición mediante derivaciones ), se puede definir de la siguiente manera. Sea γ  : [−1, 1] → M una curva diferenciable con γ (0) = p y γ ′(0) = v . Entonces la derivada direccional está definida por ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle L_{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )}$ ${\displaystyle {\mathbf {v} }_{\mathbf {p} }(f)}$

$${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {p} )=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}.}$$

γγγ (0) = pγ ′(0) = v

La derivada de la mentira

La derivada de Lie de un campo vectorial a lo largo de un campo vectorial viene dada por la diferencia de dos derivadas direccionales (con torsión evanescente): ${\displaystyle W^{\mu }(x)}$ ${\displaystyle V^{\mu }(x)}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}W^{\mu }=(V\cdot \nabla )W^{\mu }-(W\cdot \nabla )V^{\mu }.}$$

${\displaystyle \phi (x)}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V}\phi =(V\cdot \nabla )\phi .}$$

El tensor de Riemann

Las derivadas direccionales se utilizan a menudo en las derivaciones introductorias del tensor de curvatura de Riemann . Considere un rectángulo curvo con un vector infinitesimal a lo largo de un borde y del otro. Traducimos un covector a lo largo de entonces y luego restamos la traslación a lo largo de y luego . En lugar de construir la derivada direccional usando derivadas parciales, usamos la derivada covariante . El operador de traducción para es por lo tanto ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta }$

$${\displaystyle 1+\sum _{\nu }\delta ^{\nu }D_{\nu }=1+\delta \cdot D,}$$

${\displaystyle \delta '}$

$${\displaystyle 1+\sum _{\mu }\delta '^{\mu }D_{\mu }=1+\delta '\cdot D.}$$

$${\displaystyle (1+\delta '\cdot D)(1+\delta \cdot D)S^{\rho }-(1+\delta \cdot D)(1+\delta '\cdot D)S^{\rho }=\sum _{\mu ,\nu }\delta '^{\mu }\delta ^{\nu }[D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }.}$$

^[7]

$${\displaystyle [D_{\mu },D_{\nu }]S_{\rho }=\pm \sum _{\sigma }R^{\sigma }{}_{\rho \mu \nu }S_{\sigma },}$$

convención de signos ${\displaystyle R}$

En teoría de grupos

Traducciones

En el álgebra de Poincaré , podemos definir un operador de traducción infinitesimal P como

$${\displaystyle \mathbf {P} =i\nabla .}$$

iPoperador autoadjuntoλrepresentación del espacio unitario de Hilbert^[8]

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left(-i{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \mathbf {P} \right).}$$

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).}$$

fx

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }}).}$$

Prueba de la última ecuación.

En el cálculo estándar de una sola variable, la derivada de una función suave f ( x ) se define por (para ε pequeño )

$${\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {f(x+\varepsilon )-f(x)}{\varepsilon }}.}$$

Esto se puede reorganizar para encontrar f ( x + ε ):

$${\displaystyle f(x+\varepsilon )=f(x)+\varepsilon \,{\frac {df}{dx}}=\left(1+\varepsilon \,{\frac {d}{dx}}\right)f(x).}$$

De ello se deduce que es un operador de traducción. Esto se generaliza instantáneamente ^[9] a funciones multivariables f ( x ) ${\displaystyle [1+\varepsilon \,(d/dx)]}$

$${\displaystyle f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\varepsilon }})=\left(1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ).}$$

Aquí está la derivada direccional a lo largo del desplazamiento infinitesimal ε . Hemos encontrado la versión infinitesimal del operador de traducción: ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla }$

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\varepsilon }})=1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla .}$$

Es evidente que la ley de multiplicación de grupos ^[10] U ( g ) U ( f ) = U ( gf ) toma la forma

$${\displaystyle U(\mathbf {a} )U(\mathbf {b} )=U(\mathbf {a+b} ).}$$

Entonces supongamos que tomamos el desplazamiento finito λ y lo dividimos en N partes ( N →∞ está implícito en todas partes), de modo que λ / N = ε . En otras palabras,

$${\displaystyle {\boldsymbol {\lambda }}=N{\boldsymbol {\varepsilon }}.}$$

Luego, aplicando U ( ε ) N veces, podemos construir U ( λ ):

$${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=U(N{\boldsymbol {\varepsilon }})=U({\boldsymbol {\lambda }}).}$$

Ahora podemos reemplazar nuestra expresión anterior para U( ε ):

$${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}=\left[1+{\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \nabla \right]^{N}=\left[1+{\frac {{\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla }{N}}\right]^{N}.}$$

Usando la identidad ^[11]

$${\displaystyle \exp(x)=\left[1+{\frac {x}{N}}\right]^{N},}$$

tenemos

$${\displaystyle U({\boldsymbol {\lambda }})=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right).}$$

Y como U ( ε ) f ( x ) = f ( x + ε ) tenemos

$${\displaystyle [U({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{N}f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} +N{\boldsymbol {\varepsilon }})=f(\mathbf {x} +{\boldsymbol {\lambda }})=U({\boldsymbol {\lambda }})f(\mathbf {x} )=\exp \left({\boldsymbol {\lambda }}\cdot \nabla \right)f(\mathbf {x} ),}$$

QED

Como nota técnica, este procedimiento sólo es posible porque el grupo de traducción forma un subgrupo abeliano ( subálgebra de Cartan ) en el álgebra de Poincaré. En particular, la ley de multiplicación de grupos U ( a ) U ( b ) = U ( a + b ) no debe darse por sentada. También observamos que Poincaré es un grupo de Lie conectado . Es un grupo de transformaciones T ( ξ ) que se describen mediante un conjunto continuo de parámetros reales . La ley de multiplicación de grupos toma la forma ${\displaystyle \xi ^{a}}$

$${\displaystyle T({\bar {\xi }})T(\xi )=T(f({\bar {\xi }},\xi )).}$$

Tomando como coordenadas de la identidad, debemos tener ${\displaystyle \xi ^{a}=0}$

$${\displaystyle f^{a}(\xi ,0)=f^{a}(0,\xi )=\xi ^{a}.}$$

Los operadores reales en el espacio de Hilbert están representados por operadores unitarios U ( T ( ξ )). En la notación anterior suprimimos la T ; ahora escribimos U ( λ ) como U ( P ( λ )). Para un pequeño vecindario alrededor de la identidad, la representación en series de potencias

$${\displaystyle U(T(\xi ))=1+i\sum _{a}\xi ^{a}t_{a}+{\frac {1}{2}}\sum _{b,c}\xi ^{b}\xi ^{c}t_{bc}+\cdots }$$

es bastante bueno. Supongamos que U(T(ξ)) forma una representación no proyectiva, es decir,

$${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T(f({\bar {\xi }},\xi ))).}$$

La expansión de f a la segunda potencia es

$${\displaystyle f^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a}+\sum _{b,c}f^{abc}{\bar {\xi }}^{b}\xi ^{c}.}$$

Después de expandir la ecuación de multiplicación de representación e igualar los coeficientes, tenemos la condición no trivial

$${\displaystyle t_{bc}=-t_{b}t_{c}-i\sum _{a}f^{abc}t_{a}.}$$

Dado que es por definición simétrico en sus índices, tenemos el conmutador de álgebra de Lie estándar : ${\displaystyle t_{ab}}$

$${\displaystyle [t_{b},t_{c}]=i\sum _{a}(-f^{abc}+f^{acb})t_{a}=i\sum _{a}C^{abc}t_{a},}$$

siendo C la constante de estructura . Los generadores de traducciones son operadores de derivadas parciales, que conmutan:

$${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial x^{b}}},{\frac {\partial }{\partial x^{c}}}\right]=0.}$$

Esto implica que las constantes de la estructura desaparecen y, por tanto, los coeficientes cuadráticos en la expansión f también desaparecen. Esto significa que f es simplemente aditiva:

$${\displaystyle f_{\text{abelian}}^{a}({\bar {\xi }},\xi )=\xi ^{a}+{\bar {\xi }}^{a},}$$

y así para los grupos abelianos,

$${\displaystyle U(T({\bar {\xi }}))U(T(\xi ))=U(T({\bar {\xi }}+\xi )).}$$

QED

Rotaciones

El operador de rotación también contiene una derivada direccional. El operador de rotación para un ángulo θ , es decir, una cantidad θ = | θ | alrededor de un eje paralelo a es ${\displaystyle {\hat {\theta }}={\boldsymbol {\theta }}/\theta }$

$${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-i\mathbf {\theta } \cdot \mathbf {L} ).}$$

LSO(3)

$${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{pmatrix}}\mathbf {i} +{\begin{pmatrix}0&0&-1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}\mathbf {k} .}$$

x

$${\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} .}$$

$${\displaystyle U(R(\delta {\boldsymbol {\theta }}))f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} -\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )-(\delta {\boldsymbol {\theta }}\times \mathbf {x} )\cdot \nabla f.}$$

$${\displaystyle U(R(\delta \mathbf {\theta } ))=1-(\delta \mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla .}$$

^[12]

$${\displaystyle U(R(\mathbf {\theta } ))=\exp(-(\mathbf {\theta } \times \mathbf {x} )\cdot \nabla ).}$$

derivada normal

Una derivada normal es una derivada direccional tomada en la dirección normal (es decir, ortogonal ) a alguna superficie en el espacio, o más generalmente a lo largo de un campo vectorial normal ortogonal a alguna hipersuperficie . Véase, por ejemplo, la condición de frontera de Neumann . Si la dirección normal se denota por , entonces la derivada normal de una función f a veces se denota como . En otras notaciones, ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla _{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}$$

En la mecánica continua de los sólidos.

Varios resultados importantes en mecánica continua requieren las derivadas de vectores con respecto a vectores y de tensores con respecto a vectores y tensores. ^[13] La directiva direccional proporciona una forma sistemática de encontrar estos derivados.

A continuación se dan las definiciones de derivadas direccionales para diversas situaciones. Se supone que las funciones son lo suficientemente suaves como para poder tomar derivadas.

Derivadas de funciones de vectores con valores escalares

Sea f (v) una función de valor real del vector v. Entonces la derivada de f (v) con respecto a v (o en v) es el vector definido a través de su producto escalar siendo cualquier vector u

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

para todos los vectores u. El producto escalar anterior produce un escalar, y si u es un vector unitario, da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.

Propiedades:

1. Si entonces ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Si entonces ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Si entonces ${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} }$

Derivadas de funciones vectoriales de vectores

Sea f(v) una función con valor vectorial del vector v. Entonces la derivada de f(v) con respecto a v (o en v) es el tensor de segundo orden definido a través de su producto escalar siendo cualquier vector u

$${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}$$

para todos los vectores u. El producto escalar anterior produce un vector, y si u es un vector unitario, da la derivada direccional de f en v, en la dirección u.

Propiedades:

1. Si entonces ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }$
2. Si entonces ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$
3. Si entonces ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}$

Derivadas de funciones escalares de tensores de segundo orden

Sea una función de valor real del tensor de segundo orden . Entonces la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección es el tensor de segundo orden definido como ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$

para todos los tensores de segundo orden . ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Propiedades:

1. Si entonces ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Si entonces ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Si entonces ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Derivadas de funciones tensoriales de tensores de segundo orden

Sea una función con valor tensorial de segundo orden del tensor de segundo orden . Entonces la derivada de con respecto a (o en ) en la dirección es el tensor de cuarto orden definido como ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}$$

para todos los tensores de segundo orden . ${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$

Propiedades:

1. Si entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}$
2. Si entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
3. Si entonces ${\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$
4. Si entonces ${\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}$ ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}$

Ver también

• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas  : operador de gradiente matemático en ciertos sistemas de coordenadas
• Forma diferencial  : expresión que puede integrarse en una región.
• Conexión Ehresmann  : construcción de geometría diferencial sobre haces de fibras
• Derivada de Fréchet  - Derivada definida en espacios normados
• Derivada Gateaux  - Generalización del concepto de derivada direccional
• Generalizaciones de la derivada  – Construcción fundamental del cálculo diferencial
• Semidiferenciabilidad
• derivado de Hadamard
• Derivada de mentira  : una derivada en geometría diferencial
• Derivada material  : tasa de cambio temporal de alguna cantidad física de un elemento material en un campo de velocidad
• Tensor de estructura  – Tensor relacionado con gradientes
• Derivada tensorial (mecánica continua)
• Derivada total  - Tipo de derivada en matemáticas

Notas

1. R. Wrede; Señor Spiegel (2010). Cálculo avanzado (3ª ed.). Serie de esquemas de Schaum. ISBN 978-0-07-162366-7.
2. La aplicabilidad se extiende a funciones sobre espacios sin métrica y a variedades diferenciables , como en la relatividad general .
3. Si el producto escalar no está definido, el gradiente tampoco está definido; sin embargo, para f diferenciable , la derivada direccional todavía está definida y existe una relación similar con la derivada exterior.
4. Thomas, George B. Jr.; y Finney, Ross L. (1979) Cálculo y geometría analítica , Addison-Wesley Publ. Co., quinta edición, pág. 593.
5. Esto normalmente supone un espacio euclidiano ; por ejemplo, una función de varias variables normalmente no tiene una definición de la magnitud de un vector y, por tanto, de un vector unitario.
6. Hughes Hallett, Débora ; McCallum, William G .; Gleason, Andrew M. (1 de enero de 2012). Cálculo: Simple y multivariable . John wiley. pag. 780.ISBN​ 9780470888612. OCLC  828768012.
7. Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 341.ISBN​ 9780691145587.
8. Weinberg, Steven (1999). La teoría cuántica de campos (Reimpreso (con correg.). Ed.). Cambridge [ua]: Universidad de Cambridge. Prensa. ISBN 9780521550017.
9. Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 9780691145587.
10. Cahill, Kevin Cahill (2013). Matemáticas físicas (Repr. ed.). Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1107005211.
11. Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Cálculo de una sola variable (9ª ed.). Belmont: Brooks/Cole. ISBN 9780547209982.
12. Shankar, R. (1994). Principios de la mecánica cuántica (2ª ed.). Nueva York: Kluwer Academic / Plenum. pag. 318.ISBN​ 9780306447907.
13. JE Marsden y TJR Hughes, 2000, Fundamentos matemáticos de la elasticidad , Dover.

Referencias

• Hildebrand, FB (1976). Cálculo avanzado para aplicaciones . Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9.
• KF Riley; el diputado Hobson; SJ Bence (2010). Métodos matemáticos para la física y la ingeniería . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-86153-3.
• Shapiro, A. (1990). "Sobre conceptos de diferenciabilidad direccional". Revista de teoría y aplicaciones de optimización . 66 (3): 477–487. doi :10.1007/BF00940933. S2CID  120253580.

enlaces externos

Medios relacionados con la derivada direccional en Wikimedia Commons

• Derivadas direccionales en MathWorld .
• Derivada direccional en PlanetMath .