Derivado de mentira

Una derivada en Geometría Diferencial

En geometría diferencial , la derivada de Lie ( / l iː / LEE ), llamada así en honor a Sophus Lie por Władysław Ślebodziński , ^{[1] [2]} evalúa el cambio de un campo tensorial (incluidas funciones escalares, campos vectoriales y formas uniformes ), junto con el flujo definido por otro campo vectorial. Este cambio es invariante de coordenadas y por lo tanto la derivada de Lie se define en cualquier variedad diferenciable .

Se pueden diferenciar funciones, campos tensoriales y formas con respecto a un campo vectorial. Si T es un campo tensorial y X es un campo vectorial, entonces se denota la derivada de Lie de T con respecto a X. El operador diferencial es una derivación del álgebra de campos tensoriales de la variedad subyacente. ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T\mapsto {\mathcal {L}}_{X}T}$

La derivada de Lie conmuta con la contracción y la derivada exterior con formas diferenciales .

Aunque existen muchos conceptos sobre cómo derivar una derivada en geometría diferencial, todos coinciden cuando la expresión que se deriva es una función o un campo escalar . Así, en este caso se elimina la palabra "Mentira" y se habla simplemente de la derivada de una función.

La derivada de Lie de un campo vectorial Y con respecto a otro campo vectorial X se conoce como " corchete de Lie " de X e Y , y a menudo se denota por [ X , Y ] en lugar de . El espacio de campos vectoriales forma un álgebra de Lie con respecto a este corchete de Lie. La derivada de Lie constituye una representación de álgebra de Lie de dimensión infinita de este álgebra de Lie, debido a la identidad ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{[X,Y]}T={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}T-{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}T,}$

válido para cualquier campo vectorial X e Y y cualquier campo tensorial T .

Considerando los campos vectoriales como generadores infinitesimales de flujos (es decir, grupos unidimensionales de difeomorfismos ) en M , la derivada de Lie es el diferencial de la representación del grupo de difeomorfismos en campos tensoriales, análoga a las representaciones del álgebra de Lie como representaciones infinitesimales asociadas a la representación de grupos en Teoría de grupos de mentiras .

Existen generalizaciones para campos de espinores , haces de fibras con una conexión y formas diferenciales con valores vectoriales .

Motivación

Un intento "ingenuo" de definir la derivada de un campo tensorial con respecto a un campo vectorial sería tomar las componentes del campo tensorial y tomar la derivada direccional de cada componente con respecto al campo vectorial. Sin embargo, esta definición es indeseable porque no es invariante ante cambios de sistema de coordenadas , por ejemplo, la derivada ingenua expresada en coordenadas polares o esféricas difiere de la derivada ingenua de los componentes en coordenadas cartesianas . En una variedad abstracta tal definición no tiene sentido y está mal definida. En geometría diferencial , existen tres nociones principales independientes de coordenadas de diferenciación de campos tensoriales: derivadas de Lie, derivadas con respecto a conexiones y derivada exterior de tensores covariantes totalmente antisimétricos, es decir, formas diferenciales . La principal diferencia entre la derivada de Lie y una derivada con respecto a una conexión es que la última derivada de un campo tensorial con respecto a un vector tangente está bien definida incluso si no se especifica cómo extender ese vector tangente a un campo vectorial. . Sin embargo, una conexión requiere la elección de una estructura geométrica adicional (por ejemplo, una métrica de Riemann o simplemente una conexión abstracta ) en la variedad. Por el contrario, cuando se toma una derivada de Lie, no se necesita ninguna estructura adicional en la variedad, pero es imposible hablar de la derivada de Lie de un campo tensor con respecto a un único vector tangente, ya que el valor de la derivada de Lie de un tensor El campo con respecto a un campo vectorial X en un punto p depende del valor de X en una vecindad de p , no solo en p mismo. Finalmente, la derivada exterior de formas diferenciales no requiere ninguna elección adicional, sino que es sólo una derivada bien definida de formas diferenciales (incluidas funciones).

Definición

La derivada de Lie se puede definir de varias formas equivalentes. Para simplificar las cosas, comenzamos definiendo la derivada de Lie que actúa sobre funciones escalares y campos vectoriales, antes de pasar a la definición de tensores generales.

La derivada (de mentira) de una función

Definir la derivada de una función en una variedad es problemático porque el cociente de diferencias no se puede determinar mientras el desplazamiento no esté definido. ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle \textstyle (f(x+h)-f(x))/h}$ ${\displaystyle x+h}$

La derivada de Lie de una función con respecto a un campo vectorial en un punto es la función ${\displaystyle f\colon M\to {\mathbb {R} }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}f)(p)={d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}f\circ \Phi _{X}^{t}{\bigr )}(p)=\lim _{t\to 0}{\frac {f{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}-f{\bigl (}p{\bigr )}}{t}}}$

donde es el punto al cual el flujo definido por el campo vectorial mapea el punto en el instante de tiempo En las proximidades de está la solución única del sistema ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle t.}$ ${\displaystyle t=0,}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}(p)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\biggr |}_{t}\Phi _{X}^{t}(p)=X{\bigl (}\Phi _{X}^{t}(p){\bigr )}}$

de ecuaciones diferenciales autónomas de primer orden (es decir, independientes del tiempo), con ${\displaystyle \Phi _{X}^{0}(p)=p.}$

La configuración identifica la derivada de Lie de una función con la derivada direccional , que también se denota por . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$ ${\displaystyle X(f):={\mathcal {L}}_{X}f=\nabla _{X}f}$

La derivada de Lie de un campo vectorial

Si X e Y son ambos campos vectoriales, entonces la derivada de Lie de Y con respecto a X también se conoce como corchete de Lie de X e Y , y a veces se denota como . Existen varios enfoques para definir el grupo de Lie, todos los cuales son equivalentes. Aquí enumeramos dos definiciones, correspondientes a las dos definiciones de un campo vectorial dadas anteriormente: ${\displaystyle [X,Y]}$

• El corchete de Lie de X e Y en p viene dado en coordenadas locales mediante la fórmula

  ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(p)=[X,Y](p)=\partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p),}$

  donde y denotan las operaciones de tomar las derivadas direccionales con respecto a X e Y , respectivamente. Aquí estamos tratando un vector en un espacio de n dimensiones como una n -tupla , de modo que su derivada direccional es simplemente la tupla que consta de las derivadas direccionales de sus coordenadas. Aunque la expresión final que aparece en esta definición no depende de la elección de las coordenadas locales, los términos individuales y sí dependen de la elección de las coordenadas. ${\displaystyle \partial _{X}}$ ${\displaystyle \partial _{Y}}$ ${\displaystyle \partial _{X}Y(p)-\partial _{Y}X(p)}$ ${\displaystyle \partial _{X}Y(p)}$ ${\displaystyle \partial _{Y}X(p)}$
• Si X e Y son campos vectoriales en una variedad M según la segunda definición, entonces el operador definido por la fórmula ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y=[X,Y]}$

  ${\displaystyle [X,Y]:C^{\infty }(M)\rightarrow C^{\infty }(M)}$

  ${\displaystyle [X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))}$

  es una derivación de orden cero del álgebra de funciones suaves de M , es decir, este operador es un campo vectorial según la segunda definición.

La derivada de Lie de un campo tensorial

Definición en términos de flujos

La derivada de Lie es la velocidad con la que el campo tensor cambia bajo la deformación espacial causada por el flujo.

Formalmente, dado un campo vectorial diferenciable (independiente del tiempo) en una variedad suave, sea el flujo local correspondiente. Dado que es un difeomorfismo local para cada uno , da lugar a un retroceso de los campos tensoriales . Para tensores covariantes, esto es solo la extensión multilineal del mapa de retroceso ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}:M\to M}$ ${\displaystyle \Phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M\to T_{p}^{*}M,\qquad \left(\Phi _{X}^{t}\right)_{p}^{*}\alpha (X)=\alpha {\bigl (}T_{p}\Phi _{X}^{t}(X){\bigr )},\quad \alpha \in T_{\Phi _{X}^{t}(p)}^{*}M,X\in T_{p}M}$

Para tensores contravariantes, se extiende la inversa

${\displaystyle \left(T_{p}\Phi _{X}^{t}\right)^{-1}:T_{\Phi _{X}^{t}(p)}M\to T_{p}M}$

del diferencial . En consecuencia, para cada existe un campo tensorial del mismo tipo que 's. ${\displaystyle T_{p}\Phi _{X}^{t}}$ ${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle (\Phi _{X}^{t})^{*}T}$ ${\displaystyle T}$

Si es un campo tensorial de tipo o , entonces la derivada de Lie de a lo largo de un campo vectorial se define en el punto como ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (r,0)}$ ${\displaystyle (0,s)}$ ${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$

${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T(p)={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}\left({\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T\right)_{p}={\frac {d}{dt}}{\biggl |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}_{p}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}=\lim _{t\to 0}{\frac {{\bigl (}\Phi _{X}^{t}{\bigr )}^{*}T_{\Phi _{X}^{t}(p)}-T_{p}}{t}}.}$

El campo tensorial resultante es del mismo tipo que el de 's. ${\displaystyle {\cal {L}}_{X}T}$ ${\displaystyle T}$

De manera más general, para cada familia suave de difeomorfismos de 1 parámetro que integran un campo vectorial en el sentido de que , se tiene ${\displaystyle \Phi _{t}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}=X\circ \Phi _{0}}$

$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}T={\bigl (}\Phi _{0}^{-1}{\bigr )}^{*}{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}\Phi _{t}^{*}T=-{d \over dt}{\biggr |}_{t=0}{\bigl (}\Phi _{t}^{-1}{\bigr )}^{*}\Phi _{0}^{*}T\,.}$$

Definición algebraica

Damos ahora una definición algebraica. La definición algebraica de la derivada de Lie de un campo tensorial se deriva de los siguientes cuatro axiomas:

Axioma 1. La derivada de Lie de una función es igual a la derivada direccional de la función. Este hecho a menudo se expresa mediante la fórmula

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}f=Y(f)}$

Axioma 2. La derivada de Lie obedece a la siguiente versión de la regla de Leibniz: Para cualquier campo tensorial S y T , tenemos

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}(S\otimes T)=({\mathcal {L}}_{Y}S)\otimes T+S\otimes ({\mathcal {L}}_{Y}T).}$

Axioma 3. La derivada de Lie obedece la regla de Leibniz con respecto a la contracción :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(T(Y_{1},\ldots ,Y_{n}))=({\mathcal {L}}_{X}T)(Y_{1},\ldots ,Y_{n})+T(({\mathcal {L}}_{X}Y_{1}),\ldots ,Y_{n})+\cdots +T(Y_{1},\ldots ,({\mathcal {L}}_{X}Y_{n}))}$

Axioma 4. La derivada de Lie conmuta con la derivada exterior de funciones:

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},d]=0}$

Si estos axiomas se cumplen, entonces la aplicación de la derivada de Lie a la relación muestra que ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$ ${\displaystyle df(Y)=Y(f)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}Y(f)=X(Y(f))-Y(X(f)),}$

que es una de las definiciones estándar para el grupo Lie .

La derivada de Lie que actúa sobre una forma diferencial es el anticonmutador del producto interior con la derivada exterior. Entonces si α es una forma diferencial,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{Y}\alpha =i_{Y}d\alpha +di_{Y}\alpha .}$

Esto se deduce fácilmente comprobando que la expresión conmuta con la derivada exterior, es una derivación (siendo un anticonmutador de derivaciones graduadas) y hace lo correcto en las funciones.

Explícitamente, sea T un campo tensorial de tipo ( p , q ) . Considere T como un mapa multilineal diferenciable de secciones suaves α ¹ , α ² , ..., α ^p del paquete cotangente T ^∗ M y de secciones X ₁ , X ₂ , ..., X _q del paquete tangente TM , escrito T ( α ¹ , α ² , ..., X ₁ , X ₂ , ...) en R . Defina la derivada de Lie de T a lo largo de Y mediante la fórmula

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{Y}T)(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )=Y(T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots ))}$

${\displaystyle -T({\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},{\mathcal {L}}_{Y}\alpha _{2},\ldots ,X_{1},X_{2},\ldots )-\ldots }$

${\displaystyle -T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,{\mathcal {L}}_{Y}X_{1},X_{2},\ldots )-T(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,X_{1},{\mathcal {L}}_{Y}X_{2},\ldots )-\ldots }$

Se puede demostrar que las definiciones analítica y algebraica son equivalentes utilizando las propiedades del avance y la regla de Leibniz para la diferenciación. La derivada de Lie conmuta con la contracción.

La derivada de Lie de una forma diferencial

Una clase particularmente importante de campos tensoriales es la clase de formas diferenciales . La restricción de la derivada de Lie al espacio de formas diferenciales está estrechamente relacionada con la derivada exterior . Tanto la derivada de Lie como la derivada exterior intentan capturar la idea de una derivada de diferentes maneras. Estas diferencias pueden salvarse introduciendo la idea de un producto interior , tras lo cual las relaciones se desmoronan como una identidad conocida como la fórmula de Cartan . La fórmula de Cartan también se puede utilizar como definición de la derivada de Lie en el espacio de formas diferenciales.

Sea M una variedad y X un campo vectorial en M . Sea una forma ( k + 1) , es decir , para cada uno , es un mapa multilineal alterno desde los números reales. El producto interior de X y ω es la forma k definida como ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k+1}(M)}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \omega (p)}$ ${\displaystyle (T_{p}M)^{k+1}}$ ${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle (i_{X}\omega )(X_{1},\ldots ,X_{k})=\omega (X,X_{1},\ldots ,X_{k})\,}$

La forma diferencial también se llama contracción de ω con X , y ${\displaystyle i_{X}\omega }$

${\displaystyle i_{X}:\Lambda ^{k+1}(M)\rightarrow \Lambda ^{k}(M)}$

es a - antiderivada donde es el producto de cuña en formas diferenciales . Es decir, es R -lineal y ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle i_{X}}$

${\displaystyle i_{X}(\omega \wedge \eta )=(i_{X}\omega )\wedge \eta +(-1)^{k}\omega \wedge (i_{X}\eta )}$

para y η otra forma diferencial. Además, para una función , es decir, una función de valor real o complejo en M , se tiene ${\displaystyle \omega \in \Lambda ^{k}(M)}$ ${\displaystyle f\in \Lambda ^{0}(M)}$

${\displaystyle i_{fX}\omega =f\,i_{X}\omega }$

donde denota el producto de f y X . La relación entre las derivadas exteriores y las derivadas de Lie se puede resumir de la siguiente manera. Primero, dado que la derivada de Lie de una función f con respecto a un campo vectorial X es la misma que la derivada direccional X ( f ), también es la misma que la contracción de la derivada exterior de f con X : ${\displaystyle fX}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}f=i_{X}\,df}$

Para una forma diferencial general, la derivada de Lie es igualmente una contracción, teniendo en cuenta la variación en X :

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +d(i_{X}\omega ).}$

Esta identidad se conoce indistintamente como fórmula de Cartan , fórmula de homotopía de Cartan o fórmula mágica de Cartan . Consulte el producto interior para obtener más detalles. La fórmula de Cartan se puede utilizar como definición de la derivada de Lie de forma diferencial. La fórmula de Cartan muestra en particular que

${\displaystyle d{\mathcal {L}}_{X}\omega ={\mathcal {L}}_{X}(d\omega ).}$

La derivada de Lie también satisface la relación

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{fX}\omega =f{\mathcal {L}}_{X}\omega +df\wedge i_{X}\omega .}$

Expresiones de coordenadas

En notación de coordenadas locales , para un campo tensorial de tipo ( r , s ) , la derivada de Lie es ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})\\&{}-{}(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}\end{aligned}}}$

aquí, la notación significa tomar la derivada parcial con respecto a la coordenada . Alternativamente, si utilizamos una conexión libre de torsión (por ejemplo, la conexión de Levi Civita ), entonces la derivada parcial se puede reemplazar con la derivada covariante , lo que significa reemplazar con (por abuso de notación) donde están los coeficientes de Christoffel . ${\displaystyle \partial _{a}={\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$ ${\displaystyle x^{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}}$ ${\displaystyle \partial _{a}X^{b}}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X^{b}=X_{;a}^{b}:=(\nabla X)_{a}^{\ b}=\partial _{a}X^{b}+\Gamma _{ac}^{b}X^{c}}$ ${\displaystyle \Gamma _{bc}^{a}=\Gamma _{cb}^{a}}$

La derivada de Lie de un tensor es otro tensor del mismo tipo, es decir, aunque los términos individuales de la expresión dependen de la elección del sistema de coordenadas, la expresión en su conjunto da como resultado un tensor.

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\partial _{a_{1}}\otimes \cdots \otimes \partial _{a_{r}}\otimes dx^{b_{1}}\otimes \cdots \otimes dx^{b_{s}}}$

que es independiente de cualquier sistema de coordenadas y del mismo tipo que . ${\displaystyle T}$

La definición se puede ampliar aún más a las densidades tensoriales . Si T es una densidad tensorial de algún peso w valorado en números reales (por ejemplo, la densidad volumétrica del peso 1), entonces su derivada de Lie es una densidad tensorial del mismo tipo y peso.

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}={}&X^{c}(\partial _{c}T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}})-(\partial _{c}X^{a_{1}})T^{ca_{2}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}-\ldots -(\partial _{c}X^{a_{r}})T^{a_{1}\ldots a_{r-1}c}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}+\\&+(\partial _{b_{1}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{cb_{2}\ldots b_{s}}+\ldots +(\partial _{b_{s}}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s-1}c}+w(\partial _{c}X^{c})T^{a_{1}\ldots a_{r}}{}_{b_{1}\ldots b_{s}}\end{aligned}}}$

Observe el nuevo término al final de la expresión.

Para una conexión lineal , la derivada de Lie es ^[3] ${\displaystyle \Gamma =(\Gamma _{bc}^{a})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\Gamma )_{bc}^{a}=X^{d}\partial _{d}\Gamma _{bc}^{a}+\partial _{b}\partial _{c}X^{a}-\Gamma _{bc}^{d}\partial _{d}X^{a}+\Gamma _{dc}^{a}\partial _{b}X^{d}+\Gamma _{bd}^{a}\partial _{c}X^{d}}$

Ejemplos

Para mayor claridad ahora mostramos los siguientes ejemplos en notación de coordenadas locales .

Para un campo escalar tenemos: ${\displaystyle \phi (x^{c})\in {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}\phi )=X(\phi )=X^{a}\partial _{a}\phi }$.

Por lo tanto, para el campo escalar y el campo vectorial, la derivada de Lie correspondiente se convierte en ${\displaystyle \phi (x,y)=x^{2}-\sin(y)}$ ${\displaystyle X=\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\mathcal {L}}_{X}\phi &=(\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x})(x^{2}-\sin(y))\\&=\sin(x)\partial _{y}(x^{2}-\sin(y))-y^{2}\partial _{x}(x^{2}-\sin(y))\\&=-\sin(x)\cos(y)-2xy^{2}\\\end{alignedat}}}$$

Para ver un ejemplo de forma diferencial de rango superior, considere la forma 2 y el campo vectorial del ejemplo anterior. Entonces, ${\displaystyle \omega =(x^{2}+y^{2})dx\wedge dz}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{X}\omega &=d(i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(d((x^{2}+y^{2})dx\wedge dz))\\&=d(-y^{2}(x^{2}+y^{2})dz)+i_{\sin(x)\partial _{y}-y^{2}\partial _{x}}(2ydy\wedge dx\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}dx+(-2yx^{2}-4y^{3})dy\right)\wedge dz+(2y\sin(x)dx\wedge dz+2y^{3}dy\wedge dz)\\&=\left(-2xy^{2}+2y\sin(x)\right)dx\wedge dz+(-2yx^{2}-2y^{3})dy\wedge dz\end{aligned}}}$$

Algunos ejemplos más abstractos.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=di_{X}(dx^{b})=dX^{b}=\partial _{a}X^{b}dx^{a}}$.

Por lo tanto, para un campo covector , es decir, una forma diferencial , tenemos: ${\displaystyle A=A_{a}(x^{b})dx^{a}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}A=X(A_{a})dx^{a}+A_{b}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{b})=(X^{b}\partial _{b}A_{a}+A_{b}\partial _{a}(X^{b}))dx^{a}}$

El coeficiente de la última expresión es la expresión de coordenadas local de la derivada de Lie.

Para un campo tensor covariante de rango 2 tenemos: ${\displaystyle T=T_{ab}(x^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)&=({\mathcal {L}}_{X}T)_{ab}dx^{a}\otimes dx^{b}\\&=X(T_{ab})dx^{a}\otimes dx^{b}+T_{cb}{\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\otimes dx^{b}+T_{ac}dx^{a}\otimes {\mathcal {L}}_{X}(dx^{c})\\&=(X^{c}\partial _{c}T_{ab}+T_{cb}\partial _{a}X^{c}+T_{ac}\partial _{b}X^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}\\\end{aligned}}}$$

Si es el tensor métrico simétrico, es paralelo con respecto a la conexión de Levi-Civita (también conocida como derivada covariante ), y resulta fructífero utilizar la conexión. Esto tiene el efecto de reemplazar todas las derivadas con derivadas covariantes, dando ${\displaystyle T=g}$

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}g)=(X^{c}g_{ab;c}+g_{cb}X_{;a}^{c}+g_{ac}X_{;b}^{c})dx^{a}\otimes dx^{b}=(X_{b;a}+X_{a;b})dx^{a}\otimes dx^{b}}$

Propiedades

La derivada de Lie tiene varias propiedades. Sea el álgebra de funciones definidas en la variedad M . Entonces ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}:{\mathcal {F}}(M)\rightarrow {\mathcal {F}}(M)}$

es una derivación del álgebra . Es decir, es R -lineal y ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fg)=({\mathcal {L}}_{X}f)g+f{\mathcal {L}}_{X}g.}$

De manera similar, es una derivación de dónde está el conjunto de campos vectoriales en M (cf. Teorema 6 del artículo: Nichita, FF Unification Theories: New Results and Ejemplos. Axioms 2019, 8, 60): ${\displaystyle {\mathcal {F}}(M)\times {\mathcal {X}}(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {X}}(M)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(fY)=({\mathcal {L}}_{X}f)Y+f{\mathcal {L}}_{X}Y}$

que también puede escribirse en la notación equivalente

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(f\otimes Y)=({\mathcal {L}}_{X}f)\otimes Y+f\otimes {\mathcal {L}}_{X}Y}$

donde el símbolo del producto tensor se utiliza para enfatizar el hecho de que el producto de una función por un campo vectorial se toma sobre toda la variedad. ${\displaystyle \otimes }$

Las propiedades adicionales son consistentes con las del corchete de Lie . Así, por ejemplo, considerado como una derivación en un campo vectorial,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}[Y,Z]=[{\mathcal {L}}_{X}Y,Z]+[Y,{\mathcal {L}}_{X}Z]}$

uno descubre que lo anterior es simplemente la identidad de Jacobi . Así, se tiene el importante resultado de que el espacio de campos vectoriales sobre M , equipado con el corchete de Lie, forma un álgebra de Lie .

La derivada de Lie también tiene propiedades importantes al actuar sobre formas diferenciales. Sean α y β dos formas diferenciales en M , y sean X e Y dos campos vectoriales. Entonces

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}(\alpha \wedge \beta )=({\mathcal {L}}_{X}\alpha )\wedge \beta +\alpha \wedge ({\mathcal {L}}_{X}\beta )}$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha :={\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\alpha -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\alpha }$
• ${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{X},i_{Y}]\alpha =[i_{X},{\mathcal {L}}_{Y}]\alpha =i_{[X,Y]}\alpha ,}$donde i denota el producto interior definido anteriormente y está claro si [·,·] denota el conmutador o el soporte de Lie de los campos vectoriales .

Generalizaciones

Varias generalizaciones de la derivada de Lie juegan un papel importante en la geometría diferencial.

La derivada de Lie de un campo de espinor

Yvette Kosmann ya propuso en 1971 una definición para los derivados de Lie de los espinores a lo largo de campos vectoriales genéricos del espacio-tiempo, no necesariamente de los Killing , en una variedad general (pseudo) Riemanniana . ^[4] Posteriormente, se proporcionó un marco geométrico que justifica su prescripción ad hoc dentro del marco general de Derivados de Lie sobre haces de fibras ^[5] en el contexto explícito de haces naturales de calibre que resultan ser el ámbito más apropiado para (gauge -covariante) teorías de campo. ^[6]

En una variedad de espín dada , es decir, en una variedad de Riemann que admite una estructura de espín , la derivada de Lie de un campo de espín se puede definir definiéndola primero con respecto a isometrías infinitesimales (campos vectoriales de eliminación) a través de la expresión local de André Lichnerowicz dada. en 1963: ^[7] ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{4}}\nabla _{a}X_{b}\gamma ^{a}\gamma ^{b}\psi \,,}$

donde , as se supone que es un campo vectorial Killing , y son matrices de Dirac . ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}=\nabla _{[a}X_{b]}}$ ${\displaystyle X=X^{a}\partial _{a}}$ ${\displaystyle \gamma ^{a}}$

Entonces es posible extender la definición de Lichnerowicz a todos los campos vectoriales (transformaciones infinitesimales genéricas) conservando la expresión local de Lichnerowicz para un campo vectorial genérico , pero tomando explícitamente la parte antisimétrica de solamente. ^[4] Más explícitamente, la expresión local de Kosmann dada en 1972 es: ^[4] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla _{a}X_{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\psi :=X^{a}\nabla _{a}\psi -{\frac {1}{8}}\nabla _{[a}X_{b]}[\gamma ^{a},\gamma ^{b}]\psi \,=\nabla _{X}\psi -{\frac {1}{4}}(dX^{\flat })\cdot \psi \,,}$

donde está el conmutador, es la derivada exterior , es la forma dual 1 correspondiente a bajo la métrica (es decir, con índices reducidos) y es la multiplicación de Clifford. ${\displaystyle [\gamma ^{a},\gamma ^{b}]=\gamma ^{a}\gamma ^{b}-\gamma ^{b}\gamma ^{a}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X^{\flat }=g(X,-)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \cdot }$

Vale la pena señalar que la derivada de Lie del espinor es independiente de la métrica y, por tanto, también de la conexión . Esto no es obvio en el lado derecho de la expresión local de Kosmann, ya que el lado derecho parece depender de la métrica a través de la conexión de espín (derivada covariante), la dualización de campos vectoriales (disminución de los índices) y la ecuación de Clifford. multiplicación en el paquete de espinores . Ese no es el caso: las cantidades en el lado derecho de la expresión local de Kosmann se combinan de manera que se cancelan todos los términos métricos y dependientes de la conexión.

Para obtener una mejor comprensión del concepto largamente debatido de derivada de Lie de campos de espinor, se puede consultar el artículo original, ^{[8] [9]} donde la definición de derivada de Lie de campos de espinor se ubica en el marco más general de la La teoría de las derivadas de Lie de secciones de haces de fibras y la aproximación directa de Y. Kosmann al caso del espinor se generaliza para calibrar haces naturales en forma de un nuevo concepto geométrico llamado sustentación de Kosmann .

Derivada de mentira covariante

Si tenemos un paquete principal sobre la variedad M con G como grupo de estructura, y elegimos X como un campo vectorial covariante como sección del espacio tangente del paquete principal (es decir, tiene componentes horizontales y verticales), entonces el paquete covariante La derivada de Lie es simplemente la derivada de Lie con respecto a X sobre el paquete principal.

Ahora, si tenemos un campo vectorial Y sobre M (pero no el paquete principal) pero también tenemos una conexión sobre el paquete principal, podemos definir un campo vectorial X sobre el paquete principal de manera que su componente horizontal coincida con Y y su componente vertical concuerda con la conexión. Esta es la derivada covariante de Lie.

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Nijenhuis – Derivado de mentira

Otra generalización, debida a Albert Nijenhuis , permite definir la derivada de Lie de una forma diferencial a lo largo de cualquier sección del paquete Ω ^k ( M , TM ) de formas diferenciales con valores en el paquete tangente. Si K  ∈ Ω ^k ( M , T M ) y α es una forma p diferencial , entonces es posible definir el producto interior i _K α de K y α. La derivada de Nijenhuis-Lie es entonces el anticonmutador del producto interior y la derivada exterior:

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}\alpha =[d,i_{K}]\alpha =di_{K}\alpha -(-1)^{k-1}i_{K}\,d\alpha .}$

Historia

En 1931, Władysław Ślebodziński introdujo un nuevo operador diferencial, más tarde llamado por David van Dantzig de derivación de Lie, que puede aplicarse a escalares, vectores, tensores y conexiones afines y que resultó ser un poderoso instrumento en el estudio de grupos de automorfismos. .

A. Nijenhuis , Y. Tashiro y K. Yano estudiaron los derivados de Lie de objetos geométricos generales (es decir, secciones de haces de fibras naturales ) .

Durante bastante tiempo, los físicos utilizaron derivados de Lie, sin referencia al trabajo de los matemáticos. En 1940, Léon Rosenfeld ^[10] —y antes que él (en 1921 ^[11] ) Wolfgang Pauli ^[12] —introdujeron lo que llamó una 'variación local' de un objeto geométrico inducida por una transformación infinitesimal de coordenadas generada por un campo vectorial . Se puede probar fácilmente que lo es . ${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$ ${\displaystyle A\,}$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle \delta ^{\ast }A}$ ${\displaystyle -{\mathcal {L}}_{X}(A)\,}$

Ver también

• Derivada covariante
• Conexión (matemáticas)
• Soporte Frölicher-Nijenhuis
• Geodésico
• campo de exterminio
• Derivada del mapa exponencial

Notas

1. Trautman, A. (2008). "Observaciones sobre la historia de la noción de diferenciación de Lie". En Krupková, O.; Saunders, DJ (eds.). Variaciones, Geometría y Física: En honor al sexagésimo quinto cumpleaños de Demeter Krupka . Nueva York: Nova Science. págs. 297–302. ISBN 978-1-60456-920-9.
2. Ślebodziński, W. (1931). "Sobre las ecuaciones de Hamilton". Toro. Acad. Roy. D. Belga . 17 (5): 864–870.
3. Yano, K. (1957). La teoría de las derivadas de mentira y sus aplicaciones. Holanda del Norte. pag. 8.ISBN​ 978-0-7204-2104-0.
4. Kosmann, Y. (1971). "Dérivées de Lie des spineurs". Ana. Estera. Pura aplicación. 91 (4): 317–395. doi :10.1007/BF02428822. S2CID  121026516.
5. Trautman, A. (1972). "Invariancia de los sistemas lagrangianos". En O'Raifeartaigh, L. (ed.). Relatividad general: artículos en honor a JL Synge . Oxford: Prensa de Clarenden. pag. 85.ISBN​ 0-19-851126-4.
6. Fatibene, L.; Francaviglia, M. (2003). Formalismo natural y de calibre para teorías de campos clásicas . Dordrecht: Académico Kluwer.
7. Lichnerowicz, A. (1963). "Espineurs armónicos". CR Acad. Ciencia. París . 257 : 7–9.
8. Fatibene, L.; Ferraris, M.; Francaviglia, M.; Godina, M. (1996). "Una definición geométrica de la derivada de Lie para Spinor Fields". En Janyska, J.; Kolář, I.; Slovák, J. (eds.). Actas de la VI Conferencia Internacional sobre Geometría Diferencial y Aplicaciones, del 28 de agosto al 1 de septiembre de 1995 (Brno, República Checa) . Brno: Universidad Masaryk. págs. 549–558. arXiv : gr-qc/9608003v1 . Código Bib : 1996gr.qc..... 8003F. ISBN 80-210-1369-9.
9. Godina, M.; Matteucci, P. (2003). "Estructuras G reductivas y derivados de Lie". Revista de Geometría y Física . 47 (1): 66–86. arXiv : matemáticas/0201235 . Código Bib : 2003JGP....47...66G. doi :10.1016/S0393-0440(02)00174-2. S2CID  16408289.
10. Rosenfeld, L. (1940). "Sur le tenseur d'impulsion-énergie". Mémoires Acad. Roy. D. Belga . 18 (6): 1–30.
11. El libro de Pauli sobre la relatividad.
12. Pauli, W. (1981) [1921]. Teoría de la Relatividad (Primera ed.). Nueva York: Dover. ISBN 978-0-486-64152-2. Ver sección 23

Referencias

• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0102-X. Ver sección 2.2 .
• Bleecker, David (1981). Teoría del calibre y principios variacionales . Addison-Wesley. ISBN 0-201-10096-7. Consulte el Capítulo 0 .
• Jost, Jürgen (2002). Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico . Berlín: Springer. ISBN 3-540-42627-2. Ver sección 1.6 .
• Kolář, I.; Micor, P.; Eslovaco, J. (1993). Operaciones naturales en geometría diferencial. Springer-Verlag. ISBN 9783662029503.Amplia discusión sobre los corchetes de Lie y la teoría general de las derivadas de Lie.
• Lang, S. (1995). Colectores diferenciales y riemannianos . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94338-1.Para generalizaciones a infinitas dimensiones.
• Lang, S. (1999). Fundamentos de Geometría Diferencial . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98593-0.Para generalizaciones a infinitas dimensiones.
• Yano, K. (1957). La teoría de las derivadas de mentira y sus aplicaciones. Holanda del Norte. ISBN 978-0-7204-2104-0.Enfoque clásico mediante coordenadas.

enlaces externos

• "Derivado de mentira", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]