En matemáticas , la anticonmutatividad es una propiedad específica de algunas operaciones matemáticas no conmutativas . Intercambiar la posición de dos argumentos de una operación antisimétrica produce un resultado que es el inverso del resultado con argumentos no intercambiados. La noción inversa hace referencia a una estructura de grupo en el codominio de la operación , posiblemente con otra operación. La resta es una operación anticonmutativa porque al conmutar los operandos de a − b se obtiene b − a = −( a − b ); por ejemplo, 2 − 10 = −(10 − 2) = −8. Otro ejemplo destacado de operación anticonmutativa es el corchete de Lie .
En física matemática , donde la simetría es de importancia central, estas operaciones se denominan principalmente operaciones antisimétricas y se extienden en un entorno asociativo para cubrir más de dos argumentos .
Si hay dos grupos abelianos , una aplicación bilineal es anticonmutativa si para todos tenemos
De manera más general, un mapa multilineal es anticonmutativo si por todo tenemos
¿Dónde está el signo de la permutación ?
Si el grupo abeliano no tiene torsión 2 , lo que implica que si entonces , entonces cualquier mapa bilineal anticommutativo satisface
De manera más general, al transponer dos elementos, cualquier mapa multilineal anticonmutativo satisface
si alguno de ellos es igual; se dice que tal mapa es alterno . Por el contrario, al utilizar la multilinealidad, cualquier aplicación alterna es anticonmutativa. En el caso binario esto funciona de la siguiente manera: si es alterna entonces por bilinealidad tenemos
y la prueba en el caso multilineal es la misma pero solo en dos de las entradas.
Ejemplos de operaciones binarias anticommutativas incluyen:
