Álgebra simétrica

En matemáticas , el álgebra simétrica $S (V)$ (también denotada $Sym(V))$ sobre un espacio vectorial $V$ sobre un cuerpo $K$ es un álgebra conmutativa sobre $K$ que contiene $a V$ y es, en cierto sentido, mínima para esta propiedad. Aquí, "mínima" significa que $S (V)$ satisface la siguiente propiedad universal : para cada función lineal $f$ de $V$ a una álgebra conmutativa $A$ , existe un único homomorfismo de álgebra $g : S (V) \to A$ tal que $f = g \circ i$ , donde $i$ es la función de inclusión de $V$ en $S (V)$ .

Si $B$ es una base de $V$ , el álgebra simétrica $S (V)$ puede identificarse, a través de un isomorfismo canónico , con el anillo polinómico $K [B]$ , donde los elementos de $B$ se consideran indeterminados. Por lo tanto, el álgebra simétrica sobre $V$ puede verse como un anillo polinómico "libre de coordenadas" sobre $V$ .

El álgebra simétrica $S (V)$ se puede construir como el cociente del álgebra tensorial $T (V)$ por el ideal bilateral generado por los elementos de la forma $x \otimes y - y \otimes x$ .

Todas estas definiciones y propiedades se extienden naturalmente al caso en que $V$ es un módulo (no necesariamente libre) sobre un anillo conmutativo .

Construcción

Del álgebra tensorial

Es posible utilizar el álgebra tensorial $T (V)$ para describir el álgebra simétrica $S (V)$ . De hecho, $S (V)$ puede definirse como el álgebra cociente de $T (V)$ por el ideal bilateral generado por los conmutadores. $v\o veces ww\o veces v.$

Es sencillo verificar que el álgebra resultante satisface la propiedad universal establecida en la introducción. Debido a la propiedad universal del álgebra tensorial, una función lineal $f$ de $V$ a un álgebra conmutativa $A$ se extiende a un homomorfismo de álgebra , que se factoriza a través de $S(V)$ porque $A$ es conmutativa. La extensión de $f$ a un homomorfismo de álgebra es única porque $V$ genera $S(V)$ como un $K$ -álgebra. $T(V)\rightarrow A$ $S(V)\rightarrow A$

Esto resulta también directamente de un resultado general de la teoría de categorías , que afirma que la composición de dos funtores adjuntos izquierdos es también un funtor adjunto izquierdo. Aquí, el funtor olvidadizo de álgebras conmutativas a espacios vectoriales o módulos (olvidando la multiplicación) es la composición de los funtores olvidadizos de álgebras conmutativas a álgebras asociativas (olvidando la conmutatividad), y de álgebras asociativas a vectores o módulos (olvidando la multiplicación). Como el álgebra tensorial y el cociente por conmutadores son adjuntos izquierdos a estos funtores olvidadizos, su composición es adjunta izquierda al funtor olvidadizo de álgebra conmutativa a vectores o módulos, y esto prueba la propiedad universal deseada.

Del anillo polinomial

El álgebra simétrica $S (V)$ también se puede construir a partir de anillos polinomiales .

Si $V$ es un espacio vectorial $K o un$ módulo libre $K$ , con base $B$ , sea $K [B]$ el anillo polinomial que tiene los elementos de $B$ como indeterminados. Los polinomios homogéneos de grado uno forman un espacio vectorial o un módulo libre que se puede identificar con $V.$ Es sencillo verificar que esto hace que $K [B]$ sea una solución al problema universal planteado en la introducción. Esto implica que $K [B]$ y $S (V)$ son canónicamente isomorfos y, por lo tanto, se pueden identificar. Esto también resulta inmediatamente de consideraciones generales de la teoría de categorías , ya que los módulos libres y los anillos polinomiales son objetos libres de sus respectivas categorías.

Si $V$ es un módulo que no es libre, se puede escribir donde $L$ es un módulo libre y $M$ es un submódulo de $L.$ En este caso, se tiene $V=L/M,$

S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\rangle,

donde es el ideal generado por $M$ . (Aquí, los signos iguales significan igualdad hasta un isomorfismo canónico). Nuevamente, esto se puede demostrar mostrando que uno tiene una solución de la propiedad universal, y esto se puede hacer mediante un cálculo sencillo pero aburrido, o utilizando la teoría de categorías, y más específicamente, el hecho de que un cociente es la solución del problema universal para morfismos que asignan a cero un subconjunto dado. (Dependiendo del caso, el núcleo es un subgrupo normal , un submódulo o un ideal, y la definición habitual de cocientes se puede ver como una prueba de la existencia de una solución del problema universal). $\langle M\rangle$

Calificación

El álgebra simétrica es un álgebra graduada , es decir, es una suma directa .

S(V)=\bigoplus _ {n=0}^{\infty }S^{n}(V),

donde llamada la $n$ -ésima potencia simétrica de $V$ , es el subespacio vectorial o submódulo generado por los productos de $n$ elementos de $V$ . (La segunda potencia simétrica a veces se denomina cuadrado simétrico de $V$ ). $Estilo de visualización S^{n}(V),}$ $Estilo de visualización S^{2}(V)}$

Esto se puede demostrar por varios medios. Uno se deduce de la construcción del álgebra tensorial: puesto que el álgebra tensorial es graduada, y el álgebra simétrica es su cociente por un ideal homogéneo : el ideal generado por todos donde $x$ $e$ y están en $V$ , es decir, homogéneo de grado uno. $x\o veces yy\o veces x,$

En el caso de un espacio vectorial o de un módulo libre, la gradación es la gradación de los polinomios por el grado total . Un módulo no libre se puede escribir como $L / M$ , donde $L$ es un módulo libre de base $B$ ; su álgebra simétrica es el cociente del álgebra simétrica (graduada) de $L$ (un anillo de polinomios) por el ideal homogéneo generado por los elementos de $M$ , que son homogéneos de grado uno.

También se puede definir como la solución del problema universal para funciones simétricas n -lineales desde $V$ en un espacio vectorial o un módulo, y luego verificar que la suma directa de todos satisface el problema universal para el álgebra simétrica. $Estilo de visualización S^{n}(V)}$ $Estilo de visualización S^{n}(V)}$

Relación con tensores simétricos

Como el álgebra simétrica de un espacio vectorial es un cociente del álgebra tensorial, un elemento del álgebra simétrica no es un tensor y, en particular, no es un tensor simétrico . Sin embargo, los tensores simétricos están fuertemente relacionados con el álgebra simétrica.

Un tensor simétrico de grado $n$ es un elemento de $T n (V)$ que es invariante bajo la acción del grupo simétrico Más precisamente, dada la transformación define un endomorfismo lineal de $T$ $n$ $($ $V$ $)$ . Un tensor simétrico es un tensor que es invariante bajo todos estos endomorfismos. Los tensores simétricos de grado $n$ forman un subespacio vectorial (o módulo) $Sym$ $n$ $($ $V$ $) \subset$ $T$ $n$ $($ $V$ $)$ . Los tensores simétricos son los elementos de la suma directa que es un espacio vectorial graduado (o un módulo graduado ). No es un álgebra, ya que el producto tensorial de dos tensores simétricos no es simétrico en general. ${\mathcal {S}}_{n}.$ $\sigma \in {\mathcal {S}}_{n},$ $v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\mapsto v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}$ $\textstyle \bigoplus _ {n=0}^{\infty }\operatorname {Sym} ^{n}(V),$

Sea la restricción a $Sym$ $n$ $($ $V$ $)$ de la sobreyección canónica Si $n$ $!$ es invertible en el cuerpo fundamental (o anillo), entonces es un isomorfismo . Esto es siempre el caso con un cuerpo fundamental de característica cero. El isomorfismo inverso es la función lineal definida (en productos de $n$ vectores) por la simetrización $estilo de visualización {\pi _{n}}$ $T^{n}(V)\to S^{n}(V).$ $estilo de visualización {\pi _{n}}$

v_{1}\cdots v_{n}\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}v_{\sigma (1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (n)}.

La función no es inyectiva si la característica es menor que $n$ +1; por ejemplo es cero en la característica dos. Sobre un anillo de característica cero, puede ser no sobreyectiva; por ejemplo, sobre los enteros, si $x$ $e y$ son dos elementos linealmente independientes de $V$ $=$ $S$ $1$ $($ $V$ $)$ que no están en $2$ $V$ , entonces como $estilo de visualización {\pi _{n}}$ $\pi _{n}(x\otimes y+y\otimes x)=2xy$ $estilo de visualización {\pi _{n}}$ $xy\not \in \pi _{n}(\operatorname {Sym} ^{2}(V)),$ ${\frac {1}{2}}(x\otimes y+y\otimes x)\not \in \operatorname {Sym} ^{2}(V).$

En resumen, sobre un cuerpo de característica cero, los tensores simétricos y el álgebra simétrica forman dos espacios vectoriales graduados isomorfos. Por lo tanto, pueden identificarse solo en lo que respecta a la estructura del espacio vectorial, pero no pueden identificarse en lo que respecta a los productos. Además, este isomorfismo no se extiende a los casos de cuerpos de característica positiva y anillos que no contienen los números racionales .

Propiedades categóricas

Dado un módulo $V$ sobre un anillo conmutativo $K$ , el álgebra simétrica $S (V)$ puede definirse por la siguiente propiedad universal :

Para cada aplicación

K

- lineal

f

V

a una

K

-álgebra conmutativa

A

, existe un único homomorfismo de

K

- álgebra tal que donde

i

es la inclusión de

V

S

(

V

)

g:S(V)\to A

f=g\circ i,

Como ocurre con toda propiedad universal, en cuanto existe una solución, ésta define de forma única el álgebra simétrica, salvo un isomorfismo canónico . De ello se deduce que todas las propiedades del álgebra simétrica pueden deducirse de la propiedad universal. Esta sección está dedicada a las principales propiedades que pertenecen a la teoría de categorías .

El álgebra simétrica es un funtor de la categoría de $K$ -módulos a la categoría de $K$ -álgebra conmutativa, ya que la propiedad universal implica que todo homomorfismo de módulo puede extenderse de forma única a un homomorfismo de álgebra. $f:V\to W$ $S(f):S(V)\to S(W).$

La propiedad universal se puede reformular diciendo que el álgebra simétrica es un adjunto izquierdo del funtor olvidadizo que envía un álgebra conmutativa a su módulo subyacente.

Álgebra simétrica de un espacio afín

De manera análoga, se puede construir el álgebra simétrica de un espacio afín . La diferencia fundamental es que el álgebra simétrica de un espacio afín no es un álgebra graduada, sino un álgebra filtrada : se puede determinar el grado de un polinomio de un espacio afín, pero no sus partes homogéneas.

Por ejemplo, dado un polinomio lineal en un espacio vectorial, se puede determinar su parte constante evaluando en 0. En un espacio afín, no hay ningún punto distinguido, por lo que no se puede hacer esto (elegir un punto convierte un espacio afín en un espacio vectorial).

Analogía con el álgebra exterior

Los S ^k son funtores comparables a las potencias exteriores ; aquí, sin embargo, la dimensión crece con k ; está dada por

\operatorname {dim} (S^{k}(V))={\binom {n+k-1}{k}}

donde n es la dimensión de V . Este coeficiente binomial es el número de monomios de n variables de grado k . De hecho, el álgebra simétrica y el álgebra exterior aparecen como los componentes isotípicos de la representación trivial y de signos de la acción de actuar sobre el producto tensorial (por ejemplo sobre el cuerpo complejo) ^[^{cita requerida}^] $S_{n}$ $V^{\otimes n}$

Como álgebra de Hopf

Al álgebra simétrica se le puede dar la estructura de un álgebra de Hopf . Véase Álgebra tensorial para más detalles.

Como álgebra envolvente universal

El álgebra simétrica S ( V ) es el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie abeliana , es decir, una en la que el corchete de Lie es idénticamente 0.

Véase también

álgebra exterior , el análogo del álgebra alternada
Álgebra simétrica graduada , una generalización común de un álgebra simétrica y un álgebra exterior
Álgebra de Weyl , una deformación cuántica del álgebra simétrica mediante una forma simpléctica
Álgebra de Clifford , una deformación cuántica del álgebra exterior mediante una forma cuadrática

Referencias

Bourbaki, Nicolas (1989), Elementos de matemáticas, Álgebra I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9