Álgebra de Dirac

En física matemática , el álgebra de Dirac es el álgebra de Clifford . Esto fue introducido por el físico matemático PAM Dirac en 1928 al desarrollar la ecuación de Dirac para partículas de espín 1/2 con una representación matricial de las matrices gamma , que representan los generadores del álgebra. ${\displaystyle {\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {C} )}$

Las matrices gamma son un conjunto de cuatro matrices con entradas en , es decir, elementos de que satisfacen ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle \{\gamma ^{\mu }\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu },}$

donde, por convención, se ha suprimido una matriz de identidad en el lado derecho. Los números son los componentes de la métrica de Minkowski . Para este artículo arreglamos la firma para que sea mayoritariamente menos , es decir, . ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle (+,-,-,-)}$

El álgebra de Dirac es entonces el tramo lineal de la identidad, las matrices gamma así como cualquier producto linealmente independiente de las matrices gamma. Esto forma un álgebra de dimensión finita sobre el campo o , con dimensión . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 16=2^{4}}$

Bases para el álgebra.

El álgebra tiene una base.

${\displaystyle I_{4},}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu },}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho },}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }=\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$

donde en cada expresión, cada índice griego aumenta a medida que nos movemos hacia la derecha. En particular, no hay ningún índice repetido en las expresiones. Al contar dimensiones, la dimensión del álgebra es 16.

El álgebra se puede generar tomando productos de solo: la identidad surge como ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

${\displaystyle I_{4}=(\gamma ^{0})^{2}}$

mientras que los demás son explícitamente productos de . ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$

Estos elementos abarcan el espacio generado por . Concluimos que realmente tenemos una base del álgebra de Clifford generada por la ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle \gamma ^{\mu }.}$

Potencias cuadráticas y álgebra de Lorentz

Para la teoría de esta sección, existen muchas opciones de convenciones encontradas en la literatura, que a menudo corresponden a factores de . Para mayor claridad, aquí elegiremos convenciones para minimizar la cantidad de factores numéricos necesarios, pero puede llevar a que los generadores sean antihermitianos en lugar de hermitianos. ${\displaystyle \pm i}$

Existe otra forma común de escribir el subespacio cuadrático del álgebra de Clifford:

${\displaystyle S^{\mu \nu }={\frac {1}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$

con . Nota . ${\displaystyle \mu \neq \nu }$ ${\displaystyle S^{\mu \nu }=-S^{\nu \mu }}$

Hay otra forma de escribir esto que se cumple incluso cuando : ${\displaystyle \mu =\nu }$

${\displaystyle S^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }-\eta ^{\mu \nu }).}$

Esta forma se puede utilizar para mostrar que la forma es una representación del álgebra de Lorentz (con convenciones reales) ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$

${\displaystyle [S^{\mu \nu },S^{\rho \sigma }]=S^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-S^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+S^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-S^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }.}$

Convenciones de física

Es una convención común en física incluir un factor de , de modo que la conjugación hermitiana (donde la transposición se realiza con respecto a los índices griegos del espacio-tiempo) proporcione una 'matriz hermitiana' de generadores sigma ^[1] ${\displaystyle \pm i}$

solo 6 de los cuales son distintos de cero debido a la antisimetría del corchete, abarcan el espacio de representación hexadimensional del tensor (1, 0) ⊕ (0, 1) -representación del álgebra de Lorentz en el interior . Además, tienen las relaciones de conmutación del álgebra de Lie, ^[2] ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} )}$

y, por lo tanto, constituye una representación del álgebra de Lorentz (además de abarcar un espacio de representación) que se encuentra dentro de la representación de espín. ${\displaystyle {\mathcal {Cl}}_{1,3}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle \left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)}$

Girar(1, 3)

El mapa exponencial de matrices está bien definido. Satisfacen el álgebra de Lorentz y resultan exponenciar una representación del grupo de espín del grupo de Lorentz (estrictamente, la parte dirigida al futuro conectada a la identidad). Son entonces los generadores de espín de esta representación. ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle {\text{Spin}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)^{+}}$ ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$

Destacamos que es en sí misma una matriz, no los componentes de una matriz. Sus componentes como matriz compleja están etiquetados por convención utilizando letras griegas desde el inicio del alfabeto . ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle 4\times 4}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\cdots }$

La acción de sobre un espinor , que en este contexto es un elemento del espacio vectorial , es ${\displaystyle S^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$

${\displaystyle \psi \mapsto S^{\mu \nu }\psi }$, o en componentes,

${\displaystyle \psi ^{\alpha }\mapsto (S^{\mu \nu })^{\alpha }{}_{\beta }\psi ^{\beta }.}$

Esto corresponde a una transformación de Lorentz infinitesimal en un espinor. Entonces una transformación de Lorentz finita, parametrizada por los componentes (antisimétrica en ) se puede expresar como ${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \mu ,\nu }$

${\displaystyle S:=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\mu \nu }S^{\mu \nu }\right).}$

De la propiedad que

${\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0},}$

resulta que

${\displaystyle (S^{\mu \nu })^{\dagger }=-\gamma ^{0}S^{\mu \nu }\gamma ^{0}.}$

Y como se define anteriormente satisface ${\displaystyle S}$

${\displaystyle S^{\dagger }=\gamma ^{0}S^{-1}\gamma ^{0}}$

Esto motiva la definición de adjunto de Dirac para espinores , de ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {\psi }}:=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$.

La transformación correspondiente para es ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\bar {S}}:=\gamma ^{0}S^{\dagger }\gamma ^{0}=S^{-1}}$.

Con esto, resulta sencillo construir cantidades invariantes de Lorentz para la construcción de lagrangianos como el Lagrangiano de Dirac.

potencia cuartica

El subespacio cuártico contiene un elemento de base única,

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma },}$

¿Dónde está el tensor totalmente antisimétrico tal que por convención? ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \epsilon _{0123}=+1}$

Esto es antisimétrico bajo intercambio de dos matrices gamma adyacentes.

γ5​

Al considerar el tramo complejo, este elemento base también puede considerarse como

${\displaystyle \gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}.}$

Más detalles se pueden encontrar aquí .

Como forma de volumen

Por la total antisimetría del elemento cuártico, se puede considerar que es una forma de volumen. De hecho, esta observación se extiende a una discusión de las álgebras de Clifford como una generalización del álgebra exterior : ambas surgen como cocientes del álgebra tensorial, pero el álgebra exterior da un cociente más restrictivo, donde todos los anticonmutadores desaparecen.

Derivación a partir de la ecuación de Dirac y Klein-Gordon

La forma definitoria de los elementos gamma se puede derivar si se asume la forma covariante de la ecuación de Dirac :

${\displaystyle -i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +mc\psi =0\,.}$

y la ecuación de Klein-Gordon :

${\displaystyle -\partial _{t}^{2}\psi +\nabla ^{2}\psi =m^{2}\psi }$

y requiere que estas ecuaciones conduzcan a resultados consistentes.

Derivación del requisito de coherencia (prueba). Multiplicando la ecuación de Dirac por su ecuación conjugada se obtiene:

${\displaystyle \psi ^{\dagger }(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+mc)(-i\hbar \gamma ^{\nu }\partial _{\nu }+mc)\psi =0\,.}$

La exigencia de coherencia con la ecuación de Klein-Gordon conduce inmediatamente a:

${\displaystyle \displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$

donde está el anticonmutador , es la métrica de Minkowski con firma (+ − − −) y es la matriz unitaria 4x4. ^[3] ${\displaystyle \{,\}}$ ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\,}$ ${\displaystyle \ I_{4}\,}$

Cl 1,3 (C) y Cl 1,3 (R)

El álgebra de Dirac puede considerarse como una complejización del álgebra del espacio-tiempo real Cl _1,3 ( ): ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {C} )=\mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} .}$

Cl _1,3 ( ) difiere de Cl _1,3 ( ): en Cl _1,3 ( ) sólo se permiten combinaciones lineales reales de las matrices gamma y sus productos. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los defensores del álgebra geométrica se esfuerzan por trabajar con álgebras reales siempre que sea posible. Sostienen que generalmente es posible (y normalmente esclarecedor) identificar la presencia de una unidad imaginaria en una ecuación física. Tales unidades surgen de una de las muchas cantidades en un álgebra de Clifford real que eleva al cuadrado -1, y tienen significado geométrico debido a las propiedades del álgebra y la interacción de sus diversos subespacios. Algunos de estos defensores también cuestionan si es necesario o incluso útil introducir una unidad imaginaria adicional en el contexto de la ecuación de Dirac.

En las matemáticas de la geometría de Riemann , es convencional definir el álgebra de Clifford Cl _p,q ( ) para dimensiones arbitrarias p,q ; La anticonmutación de los espinores de Weyl surge naturalmente del álgebra de Clifford. ^[4] Los espinores de Weyl se transforman bajo la acción del grupo de espín . La complejización del grupo de espín, llamado grupo de espín , es un producto del grupo de espín con el círculo y el producto es solo un recurso de notación para identificarse . El punto geométrico de esto es que desenreda el espinor real, que es covariante según Lorentz. transformaciones, del componente, que se puede identificar con la fibra de la interacción electromagnética. Está entrelazando la paridad y la conjugación de carga de una manera adecuada para relacionar los estados de partícula/antipartícula de Dirac (de manera equivalente, los estados quirales en la base de Weyl). El bispinor , en la medida en que tiene componentes izquierda y derecha linealmente independientes, puede interactuar con el campo electromagnético. Esto contrasta con el espinor de Majorana y el espinor de ELKO, que no pueden ( es decir, son eléctricamente neutros), ya que limitan explícitamente al espinor para que no interactúe con la parte procedente de la complejización. El espinor ELKO (Eigenspinoren des Ladungskonjugationsoperators) es un espinor Lounesto de clase 5. ^{[5] : 84} ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$ ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\cong U(1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$ ${\displaystyle (-a,-u).}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ ${\displaystyle S^{1}}$

En la medida en que la presentación de la carga y la paridad puede ser un tema confuso en los libros de texto convencionales de teoría cuántica de campos, una disección más cuidadosa de estos temas en un entorno geométrico general puede resultar esclarecedora. Las exposiciones estándar del álgebra de Clifford construyen los espinores de Weyl a partir de primeros principios; que "automáticamente" anti-conmutación es un subproducto geométrico elegante de la construcción, pasando por alto por completo cualquier argumento que apele al principio de exclusión de Pauli (o la sensación a veces común de que las variables de Grassmann se han introducido mediante una argumentación ad hoc ).

En la práctica de la física contemporánea, el álgebra de Dirac sigue siendo el entorno estándar en el que "viven" los espinores de la ecuación de Dirac, en lugar del álgebra del espacio-tiempo.

Ver también

• portal de física

• Matrices gamma de dimensiones superiores
• identidad fierz

Referencias

1. Weinberg 2005, Ecuación 5.4.6
2. Weinberg 2005, Ecuación 5.4.4 Sección 5.4.
3. ver también: Victoria Martin, Lecture Notes SH Particle Physics 2012, Lecture Notes 5–7, Sección 5.5 Las matrices gamma
4. Jurgen Jost (2002) "Geometría y análisis geométrico de Riemann (tercera edición)", Springer Universitext. Ver sección 1.8
5. Rodrigues y Oliveira 2007.

• Rodrigues, Waldyr A.; Oliveira, Edmundo C. de (2007). Las muchas caras de las ecuaciones de Maxwell, Dirac y Einstein: un enfoque de paquete de Clifford. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-540-71292-3.
• Weinberg, Steven (2005) [2000]. "5 campos cuánticos y antipartículas §5.4 La formulación de Dirac". La teoría cuántica de campos: volumen 1, fundamentos . vol. 1. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-67053-1.