Tensor de energía y tensión electromagnética

Tipo de tensor de tensión-energía

En física relativista , el tensor de tensión-energía electromagnética es la contribución al tensor de tensión-energía debido al campo electromagnético . ^[1] El tensor de tensión-energía describe el flujo de energía y momento en el espacio-tiempo . El tensor de tensión-energía electromagnética contiene el negativo del tensor de tensión de Maxwell clásico que gobierna las interacciones electromagnéticas.

Definición

Unidades del SI

En el espacio libre y en el espacio-tiempo plano, el tensor de tensión-energía electromagnética en unidades del SI es ^[1]

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$

donde es el tensor electromagnético y donde es el tensor métrico de Minkowski de signatura métrica (− + + +) y se utiliza la convención de suma de Einstein sobre índices repetidos. Al utilizar la métrica con signatura (+ − − −) , el segundo término de la expresión a la derecha del signo igual tendrá signo opuesto. ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$

Explícitamente en forma matricial:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}},}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} ,}$

es el vector de Poynting ,

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$

es el tensor de tensión de Maxwell y c es la velocidad de la luz . Por lo tanto, se expresa y mide en unidades de presión del SI ( pascales ). ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

Convenciones de unidades CGS

La permitividad del espacio libre y la permeabilidad del espacio libre en unidades cgs-gaussianas son

${\displaystyle \epsilon _{0}={\frac {1}{4\pi }},\quad \mu _{0}=4\pi \,}$

entonces:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,.}$

y en forma matricial explícita:

${\displaystyle T^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}{\frac {1}{8\pi }}\left(E^{2}+B^{2}\right)&{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{x}}&-\sigma _{\text{xx}}&-\sigma _{\text{xy}}&-\sigma _{\text{xz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{y}}&-\sigma _{\text{yx}}&-\sigma _{\text{yy}}&-\sigma _{\text{yz}}\\{\frac {1}{c}}S_{\text{z}}&-\sigma _{\text{zx}}&-\sigma _{\text{zy}}&-\sigma _{\text{zz}}\end{bmatrix}}}$

donde el vector de Poynting se convierte en:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$

El tensor de tensión-energía de un campo electromagnético en un medio dieléctrico es menos comprendido y es objeto de la controversia no resuelta de Abraham-Minkowski . ^[2]

El elemento del tensor de tensión-energía representa el flujo del componente μ del cuadrimpulso del campo electromagnético, , que pasa por un hiperplano ( es constante). Representa la contribución del electromagnetismo a la fuente del campo gravitacional (curvatura del espacio-tiempo) en la relatividad general . ${\displaystyle T^{\mu \nu }\!}$ ${\displaystyle P^{\mu }\!}$ ${\displaystyle x^{\nu }}$

Propiedades algebraicas

El tensor de tensión-energía electromagnética tiene varias propiedades algebraicas:

• Es un tensor simétrico : $${\displaystyle T^{\mu \nu }=T^{\nu \mu }}$$
• El tensor no tiene trazas : ${\displaystyle T^{\nu }{}_{\alpha }}$ $${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha }=0.}$$
  Prueba

  Empezando con $${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }=\eta _{\mu \nu }T^{\mu \nu }}$$

  Utilizando la forma explícita del tensor, $${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[\eta _{\mu \nu }F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}_{\alpha }-\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}$$

  Bajando los índices y aprovechando el hecho de que ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }\eta _{\mu \nu }=\delta _{\mu }^{\mu }}$ $${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-\delta _{\mu }^{\mu }{\frac {1}{4}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}$$

  Luego, usando , ${\displaystyle \delta _{\mu }^{\mu }=4}$ $${\displaystyle T_{\mu }^{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\mu \alpha }F_{\mu \alpha }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]}$$

  Tenga en cuenta que en el primer término, μ y α son solo índices ficticios, por lo que los etiquetamos como α y β respectivamente. $${\displaystyle T_{\alpha }^{\alpha }={\frac {1}{4\pi }}\left[F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }\right]=0}$$

• La densidad de energía es positiva-definida : $${\displaystyle T^{00}\geq 0}$$

La simetría del tensor es como la de un tensor general de tensión-energía en la relatividad general . La traza del tensor de energía-momento es un escalar de Lorentz ; el campo electromagnético (y en particular las ondas electromagnéticas) no tiene una escala de energía invariante de Lorentz , por lo que su tensor de energía-momento debe tener una traza que se desvanece. Esta ausencia de traza se relaciona finalmente con la falta de masa del fotón . ^[3]

Leyes de conservación

El tensor de tensión-energía electromagnética permite escribir de forma compacta las leyes de conservación del momento lineal y la energía en electromagnetismo. La divergencia del tensor de tensión-energía es:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\eta ^{\mu \rho }\,f_{\rho }=0\,}$

¿Dónde está la fuerza de Lorentz (4D) por unidad de volumen sobre la materia ? ${\displaystyle f_{\rho }}$

Esta ecuación es equivalente a las siguientes leyes de conservación 3D

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u_{\mathrm {em} }}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {S} +\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {p} _{\mathrm {em} }}{\partial t}}-\mathbf {\nabla } \cdot \sigma +\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} &=0\ \Leftrightarrow \ \epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}-\nabla \cdot \mathbf {\sigma } +\mathbf {f} =0\end{aligned}}}$

describiendo respectivamente el flujo de densidad de energía electromagnética

${\displaystyle u_{\mathrm {em} }={\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\,}$

y densidad de momento electromagnético

${\displaystyle \mathbf {p} _{\mathrm {em} }={\mathbf {S} \over {c^{2}}}}$

donde J es la densidad de corriente eléctrica , ρ la densidad de carga eléctrica y es la densidad de fuerza de Lorentz. ${\displaystyle \mathbf {f} }$

Véase también

• Cálculo de Ricci
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico
• Descripciones matemáticas del campo electromagnético
• Ecuaciones de Maxwell
• Las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo
• Relatividad general
• Ecuaciones de campo de Einstein
• Magnetohidrodinámica
• Cálculo vectorial

Referencias

1. Gravitación, JA Wheeler, C. Misner, KS Thorne, WH Freeman & Co, 1973, ISBN  0-7167-0344-0
2. Sin embargo, véase Pfeifer et al., Rev. Mod. Phys. 79, 1197 (2007)
3. Garg, Anupam. Electromagnetismo clásico en pocas palabras , pág. 564 (Princeton University Press, 2012).