Ley de fuerza de Ampère

ley fisica

Dos cables portadores de corriente se atraen magnéticamente: el cable inferior tiene corriente I ₁ , lo que crea un campo magnético B ₁ . El cable superior transporta una corriente I ₂ a través del campo magnético B ₁ , por lo que (por la fuerza de Lorentz ) el cable experimenta una fuerza F ₁₂ . (No se muestra el proceso simultáneo en el que el cable superior crea un campo magnético que resulta en una fuerza sobre el cable inferior).

En magnetostática , la fuerza de atracción o repulsión entre dos cables portadores de corriente (ver la primera figura a continuación) a menudo se denomina ley de fuerza de Ampère . El origen físico de esta fuerza es que cada alambre genera un campo magnético , siguiendo la ley de Biot-Savart , y el otro alambre experimenta como consecuencia una fuerza magnética, siguiendo la ley de fuerza de Lorentz .

Ecuación

Caso especial: dos cables paralelos rectos

El ejemplo más conocido y simple de la ley de fuerza de Ampère, que subyace (antes del 20 de mayo de 2019 ^[1] ) a la definición de amperio , la unidad SI de corriente eléctrica, establece que la fuerza magnética por unidad de longitud entre dos conductores rectos paralelos es

$${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}=2k_{\rm {A}}{\frac {I_{1}I_{2}}{r}},}$$

donde es la fuerza magnética constante de la ley de Biot-Savart , es la fuerza total sobre cada cable por unidad de longitud del más corto (el más largo se aproxima como infinitamente largo en relación con el más corto), es la distancia entre los dos cables, y , son las corrientes continuas transportadas por los cables. ${\displaystyle k_{\rm {A}}}$ ${\displaystyle F_{m}/L}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I_{1}}$ ${\displaystyle I_{2}}$

Esta es una buena aproximación si un cable es lo suficientemente largo que el otro, de modo que se pueda aproximar como infinitamente largo, y si la distancia entre los cables es pequeña en comparación con sus longitudes (de modo que se mantenga la aproximación de un cable infinito), pero grandes en comparación con sus diámetros (de modo que también pueden aproximarse como líneas infinitamente delgadas). El valor de depende del sistema de unidades elegido y el valor de decide qué tan grande será la unidad de corriente. ${\displaystyle k_{\rm {A}}}$ ${\displaystyle k_{\rm {A}}}$

En el sistema SI , ^{[2] [3]}

$${\displaystyle k_{\rm {A}}\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}}$$

constante magnética ${\displaystyle \mu _{0}}$

µ ₀ =1,256 637 062 12 (19) × 10 ⁻⁶  H /m

Caso general

La formulación general de la fuerza magnética para geometrías arbitrarias se basa en integrales de línea iteradas y combina la ley de Biot-Savart y la fuerza de Lorentz en una ecuación, como se muestra a continuación. ^{[4] [5] [6]}

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {F} _{12}}$es la fuerza magnética total que siente el cable 1 debido al cable 2 (generalmente medida en newtons ),
• ${\displaystyle I_{1}}$y son las corrientes que pasan por los cables 1 y 2, respectivamente (generalmente medidas en amperios ), ${\displaystyle I_{2}}$
• La integración de doble línea suma la fuerza sobre cada elemento del cable 1 debido al campo magnético de cada elemento del cable 2,
• ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$y son vectores infinitesimales asociados al cable 1 y al cable 2 respectivamente (generalmente medidos en metros ); ver integral de línea para una definición detallada, ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}}$
• El vector es el vector unitario que apunta desde el elemento diferencial en el cable 2 hacia el elemento diferencial en el cable 1, y |r| es la distancia que separa estos elementos, ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}$
• La multiplicación × es un producto vectorial vectorial ,
• El signo de es relativo a la orientación (por ejemplo, si apunta en la dirección de la corriente convencional , entonces ). ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{n}}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}}$ ${\displaystyle I_{1}>0}$

Para determinar la fuerza entre cables en un medio material, la constante magnética se reemplaza por la permeabilidad real del medio.

Para el caso de dos alambres cerrados separados, la ley se puede reescribir de la siguiente manera equivalente expandiendo el producto triple del vector y aplicando el teorema de Stokes: ^[7]

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \mathbf {\cdot } \ I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2})\ {\hat {\mathbf {r} }}_{21}}{|r|^{2}}}.}$$

De esta forma, es inmediatamente obvio que la fuerza sobre el alambre 1 debida al alambre 2 es igual y opuesta a la fuerza sobre el alambre 2 debida al alambre 1, de acuerdo con la tercera ley del movimiento de Newton .

Antecedentes históricos

Diagrama del experimento original de Ampere.

La forma de la ley de fuerza de Ampère comúnmente dada fue derivada por James Clerk Maxwell en 1873 y es una de varias expresiones consistentes con los experimentos originales de André-Marie Ampère y Carl Friedrich Gauss . La componente x de la fuerza entre dos corrientes lineales I e I ' , como se muestra en el diagrama adyacente, fue dada por Ampère en 1825 y Gauss en 1833 de la siguiente manera: ^[8]

$${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds{\frac {\cos(xds)\cos(rds')-\cos(rx)\cos(dsds')}{r^{2}}}.}$$

Siguiendo a Ampère, varios científicos, entre ellos Wilhelm Weber , Rudolf Clausius , Maxwell, Bernhard Riemann , Hermann Grassmann , ^[9] y Walther Ritz , desarrollaron esta expresión para encontrar una expresión fundamental de la fuerza. A través de la diferenciación se puede demostrar que:

$${\displaystyle {\frac {\cos(x\,ds)\cos(r\,ds')}{r^{2}}}=-\cos(rx){\frac {(\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi ')}{r^{2}}}.}$$

y también la identidad:

$${\displaystyle {\frac {\cos(rx)\cos(ds\,ds')}{r^{2}}}={\frac {\cos(rx)\cos \varepsilon }{r^{2}}}.}$$

Con estas expresiones, la ley de fuerzas de Ampère se puede expresar como:

$${\displaystyle dF_{x}=kII'ds'\int ds'\cos(rx){\frac {2\cos \varepsilon -3\cos \phi \cos \phi '}{r^{2}}}.}$$

Usando las identidades:

$${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial s}}=\cos \phi ,{\frac {\partial r}{\partial s'}}=-\cos \phi '.}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}={\frac {-\cos \varepsilon +\cos \phi \cos \phi '}{r}}.}$$

Los resultados de Ampère se pueden expresar en la forma:

$${\displaystyle d^{2}F={\frac {kII'dsds'}{r^{2}}}\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right).}$$

Como señaló Maxwell, a esta expresión se pueden agregar términos que son derivados de una función Q ( r ) y, cuando se integran, se cancelan entre sí. Así, Maxwell dio "la forma más general consistente con los hechos experimentales" para la fuerza sobre ds que surge de la acción de ds ': ^[10]

$${\displaystyle d^{2}F_{x}=kII'dsds'{\frac {1}{r^{2}}}\left[\left(\left({\frac {\partial r}{\partial s}}{\frac {\partial r}{\partial s'}}-2r{\frac {\partial ^{2}r}{\partial s\partial s'}}\right)+r{\frac {\partial ^{2}Q}{\partial s\partial s'}}\right)\cos(rx)+{\frac {\partial Q}{\partial s'}}\cos(x\,ds)-{\frac {\partial Q}{\partial s}}\cos(x\,ds')\right].}$$

Q es una función de r , según Maxwell, que "no puede determinarse, sin suposiciones de algún tipo, a partir de experimentos en los que la corriente activa forma un circuito cerrado". Tomando la función Q ( r ) de la forma:

$${\displaystyle Q=-{\frac {(1+k)}{2r}}}$$

Obtenemos la expresión general para la fuerza ejercida sobre ds por ds :

$${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{2r^{2}}}\left[\left(3-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s} '\right)-3\left(1-k\right){\hat {\mathbf {r} }}_{1}\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} \left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} '\right)-\left(1+k\right)d\mathbf {s} '\left(\mathbf {\hat {r}} _{1}d\mathbf {s} \right)\right].}$$

Integrando alrededor de s ' se elimina k y se obtiene la expresión original dada por Ampère y Gauss. Por tanto, en lo que respecta a los experimentos originales de Ampère, el valor de k no tiene importancia. Ampère tomó k = −1; Gauss tomó k =+1, al igual que Grassmann y Clausius, aunque Clausius omitió el componente S. En las teorías de los electrones no etéreos, Weber tomó k = −1 y Riemann tomó k =+1. Ritz dejó k indeterminado en su teoría. Si tomamos k = −1, obtenemos la expresión de Ampère:

$${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[2\mathbf {r} (d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} )-3\mathbf {r} (\mathbf {r} d\mathbf {s} )(\mathbf {r} d\mathbf {s'} )\right]}$$

Si tomamos k=+1, obtenemos

$${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} =-{\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\mathbf {r} \left(d\mathbf {s} \,d\mathbf {s'} \right)-d\mathbf {s} \left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} '\right)-d\mathbf {s} '\left(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} \right)\right]}$$

Usando la identidad vectorial para el producto cruz triple, podemos expresar este resultado como

$${\displaystyle d^{2}\mathbf {F} ={\frac {kII'}{r^{3}}}\left[\left(d\mathbf {s} \times d\mathbf {s'} \times \mathbf {r} \right)+d\mathbf {s} '(\mathbf {r} \,d\mathbf {s} )\right]}$$

Cuando se integra alrededor de ds ', el segundo término es cero y, por lo tanto, encontramos la forma de la ley de fuerza de Ampère dada por Maxwell:

$${\displaystyle \mathbf {F} =kII'\iint {\frac {d\mathbf {s} \times (d\mathbf {s} '\times \mathbf {r} )}{|r|^{3}}}}$$

Derivación de la caja de cables rectos paralelos a partir de la fórmula general.

Partir de la fórmula general:

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {I_{1}d{\boldsymbol {\ell }}_{1}\ \times \ (I_{2}d{\boldsymbol {\ell }}_{2}\ \times \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{|r|^{2}}},}$$

x ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle (x_{1},D,0)}$ ${\displaystyle (x_{2},0,0)}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{1}=(dx_{1},0,0)}$ ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}_{2}=(dx_{2},0,0)}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}_{21}={\frac {1}{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}(x_{1}-x_{2},D,0)}$$

$${\displaystyle |r|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}}}}$$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}{\frac {(dx_{1},0,0)\ \times \ \left[(dx_{2},0,0)\ \times \ (x_{1}-x_{2},D,0)\right]}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\int _{L_{1}}\int _{L_{2}}dx_{1}dx_{2}{\frac {(0,-D,0)}{|(x_{1}-x_{2})^{2}+D^{2}|^{3/2}}}.}$$

${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle +\infty }$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)\int _{L_{1}}dx_{1}.}$$

totalpor unidad de longitud ${\displaystyle L_{1}}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}{\frac {2}{D}}(0,-1,0)L_{1}.}$$

$${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{12}}{L_{1}}}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{2\pi D}}(0,-1,0).}$$

${\displaystyle {\frac {F_{m}}{L}}}$

Derivaciones notables

Ordenados cronológicamente:

• Derivación original de Ampère de 1823:
  • Assis, André Koch Torres; Chaib, JPM C; Ampère, André-Marie (2015). Electrodinámica de Ampère: análisis del significado y evolución de la fuerza de Ampère entre elementos actuales, junto con una traducción completa de su obra maestra: Teoría de los fenómenos electrodinámicos, deducida únicamente de la experiencia (PDF) . Montreal: Apeiron. ISBN 978-1-987980-03-5.
• Derivación de Maxwell de 1873:
  • Tratado sobre electricidad y magnetismo vol. 2, parte 4, cap. 2 (§§502–527)
• Derivación de Pierre Duhem de 1892:
  • Duhem, Pierre Maurice Marie (9 de septiembre de 2018). Ley de la fuerza de Ampère: una introducción moderna. Alan Aversa (trad.). doi :10.13140/RG.2.2.31100.03206/1 . Consultado el 3 de julio de 2019 .(EPUB)
    • traducción de: Leçons sur l'électricité et le magnétisme vol. 3, apéndice del libro 14, págs. 309-332 (en francés)
• Derivación de Alfred O'Rahilly de 1938:
  • Teoría electromagnética: un examen crítico de los fundamentos vol. 1, págs. 102-104 (véanse también las páginas siguientes)

Ver también

• Amperio
• Constante magnética
• fuerza de lorentz
• Ley del circuito de Ampère
• Espacio libre

Referencias y notas

1. «Resoluciones 26ª CGPM» (PDF) . BIPM . Consultado el 1 de agosto de 2020 .
2. Raymond A Serway y Jewett JW (2006). Principios de física de Serway: un texto basado en el cálculo (Cuarta ed.). Belmont, California: Thompson Brooks/Cole. pag. 746.ISBN​ 0-534-49143-X.
3. Paul MS Monje (2004). Química física: comprensión de nuestro mundo químico. Nueva York: Chichester: Wiley. pag. 16.ISBN​ 0-471-49181-0.
4. El integrando de esta expresión aparece en la documentación oficial sobre la definición del folleto de unidades SI BIPM en amperios, octava edición, p. 105
5. Tai L. Chow (2006). Introducción a la teoría electromagnética: una perspectiva moderna. Boston: Jones y Bartlett. pag. 153.ISBN​ 0-7637-3827-1.
6. Ley de fuerza de Ampère Desplácese a la sección "Ecuación integral" para ver la fórmula.
7. Christodoulides, C. (1988). "Comparación de las leyes de fuerza magnetostática de Ampère y Biot-Savart en sus formas de elemento de corriente de línea". Revista Estadounidense de Física . 56 (4): 357–362. Código bibliográfico : 1988AmJPh..56..357C. doi :10.1119/1.15613.
8. O'Rahilly, Alfred (1965). Teoría electromagnética. Dover. pag. 104.(cf. Duhem, P. (1886). "Sur la loi d'Ampère". J. Phys. Theor. Appl . 5 (1): 26–29. doi :10.1051/jphystap:01886005002601 . Consultado el 7 de enero de 2015 ., que aparece en Duhem, Pierre Maurice Marie (1891). Leçons sur l'électricité et le magnétisme. vol. 3. París: Gauthier-Villars.)
9. Petsche, Hans-Joachim (2009). Hermann Graßmann: biografía . Basilea Boston: Birkhäuser. pag. 39.ISBN​ 9783764388591.
10. Maxwell, James Secretario (1904). Tratado sobre Electricidad y Magnetismo . Oxford. pag. 173.

enlaces externos

• Ley de fuerzas de Ampère Incluye gráfico animado de los vectores de fuerza.