tensor electromagnético

Objeto matemático que describe el campo electromagnético en el espacio-tiempo.

En electromagnetismo , el tensor electromagnético o tensor de campo electromagnético (a veces llamado tensor de intensidad de campo , tensor de Faraday o bivector de Maxwell ) es un objeto matemático que describe el campo electromagnético en el espacio-tiempo. El tensor de campo se utilizó por primera vez después de que Hermann Minkowski introdujera la formulación del tensor de cuatro dimensiones de la relatividad especial . El tensor permite escribir leyes físicas relacionadas de manera muy concisa y permite la cuantificación del campo electromagnético mediante la formulación lagrangiana que se describe a continuación.

Definición

El tensor electromagnético, convencionalmente denominado F , se define como la derivada exterior del cuatro potencial electromagnético , A , una forma diferencial 1: ^{[1] [2]}

${\displaystyle F\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {d} A.}$

Por lo tanto, F es una forma diferencial 2 , es decir, un campo tensor antisimétrico de rango 2, en el espacio de Minkowski. En forma de componente,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }.}$

donde es el cuatro gradiente y el cuatro potencial . ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle A}$

A lo largo de este artículo se utilizarán unidades SI para las ecuaciones de Maxwell y la convención de signos del físico de partículas para la firma del espacio de Minkowski (+ − − −) .

Relación con los campos clásicos

La forma 2 del diferencial de Faraday viene dada por

${\displaystyle F=(E_{x}/c)\ dx\wedge dt+(E_{y}/c)\ dy\wedge dt+(E_{z}/c)\ dz\wedge dt+B_{x}\ dy\wedge dz+B_{y}\ dz\wedge dx+B_{z}\ dx\wedge dy,}$

donde es el elemento tiempo multiplicado por la velocidad de la luz . ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle c}$

Esta es la derivada exterior de su antiderivada de 1 forma.

${\displaystyle A=A_{x}\ dx+A_{y}\ dy+A_{z}\ dz-(\phi /c)\ dt}$,

donde tiene ( es un potencial escalar para el campo vectorial irrotacional/conservador ) y tiene ( es un potencial vectorial para el campo vectorial solenoidal ). ${\displaystyle \phi ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle -{\vec {\nabla }}\phi ={\vec {E}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {E}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}={\vec {B}}}$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ ${\displaystyle {\vec {B}}}$

Tenga en cuenta que

${\displaystyle {\begin{cases}dF=0\\{\star }d{\star }F=J\end{cases}}}$

donde está la derivada exterior, es la estrella de Hodge , (donde está la densidad de corriente eléctrica y es la densidad de carga eléctrica ) es la forma 1 de densidad de corriente de 4, es la versión de formas diferenciales de las ecuaciones de Maxwell. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\star }}$ ${\displaystyle J=-J_{x}\ dx-J_{y}\ dy-J_{z}\ dz+\rho \ dt}$ ${\displaystyle {\vec {J}}}$ ${\displaystyle \rho }$

Los campos eléctrico y magnético se pueden obtener a partir de los componentes del tensor electromagnético. La relación es más simple en coordenadas cartesianas :

${\displaystyle E_{i}=cF_{0i},}$

donde c es la velocidad de la luz y

${\displaystyle B_{i}=-1/2\epsilon _{ijk}F^{jk},}$

¿ Dónde está el tensor de Levi-Civita ? Esto proporciona los campos en un marco de referencia particular; si se cambia el marco de referencia, los componentes del tensor electromagnético se transformarán covariantemente y los campos en el nuevo marco estarán dados por los nuevos componentes. ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

En forma de matriz contravariante con firma métrica (+,-,-,-),

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

La forma covariante viene dada por la reducción del índice ,

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\eta _{\alpha \nu }F^{\beta \alpha }\eta _{\mu \beta }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}$

El dual de Hodge del tensor de Faraday es

${\displaystyle {G^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }={\begin{bmatrix}0&-B_{x}&-B_{y}&-B_{z}\\B_{x}&0&E_{z}/c&-E_{y}/c\\B_{y}&-E_{z}/c&0&E_{x}/c\\B_{z}&E_{y}/c&-E_{x}/c&0\end{bmatrix}}}}$

De ahora en adelante en este artículo, cuando se mencionen los campos eléctricos o magnéticos, se supone un sistema de coordenadas cartesiano y los campos eléctricos y magnéticos están con respecto al sistema de referencia del sistema de coordenadas, como en las ecuaciones anteriores.

Propiedades

La forma matricial del tensor de campo produce las siguientes propiedades: ^[3]

1. Antisimetría :
   $${\displaystyle F^{\mu \nu }=-F^{\nu \mu }}$$
2. Seis componentes independientes: En coordenadas cartesianas, estos son simplemente los tres componentes espaciales del campo eléctrico ( Ex _, E _y , E _z ) y del campo magnético ( B _x , B _y , B _z ).
3. Producto interno: si se forma un producto interno del tensor de intensidad de campo, se forma un invariante de Lorentz
   $${\displaystyle F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }=-2\left({\frac {E^{2}}{c^{2}}}-B^{2}\right)}$$
   lo que significa que este número no cambia de un marco de referencia a otro.
4. Invariante pseudoescalar : el producto del tensorcon su dual de Hodge da un invariante de Lorentz : ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle G^{\mu \nu }}$
   $${\displaystyle G_{\gamma \delta }F^{\gamma \delta }={\frac {1}{2}}\epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }F^{\alpha \beta }F^{\gamma \delta }=-{\frac {4}{c}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \,}$$
   ¿ Dónde está el símbolo Levi-Civita de rango 4 ? El signo de lo anterior depende de la convención utilizada para el símbolo de Levi-Civita. La convención utilizada aquí es . ${\displaystyle \epsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }}$ ${\displaystyle \epsilon _{0123}=-1}$
5. Determinante :
   $${\displaystyle \det \left(F\right)={\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {E} \right)^{2}}$$
   que es proporcional al cuadrado del invariante anterior.
6. Rastro :
   $${\displaystyle F={{F}^{\mu }}_{\mu }=0}$$
   que es igual a cero.

Significado

Este tensor simplifica y reduce las ecuaciones de Maxwell como cuatro ecuaciones de cálculo vectorial a dos ecuaciones de campo tensorial. En electrostática y electrodinámica , la ley de Gauss y la ley circuito de Ampère son respectivamente:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}},\quad \nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}=\mu _{0}\mathbf {J} }$

y reducir a la ecuación de Maxwell no homogénea:

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\beta \alpha }=-\mu _{0}J^{\beta }}$, ¿dónde está la cuatro corriente ? ${\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {J} )}$

En magnetostática y magnetodinámica, la ley de Gauss para el magnetismo y la ecuación de Maxwell-Faraday son respectivamente:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0,\quad {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0} }$

que se reducen a la identidad de Bianchi :

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

o usando la notación de índice entre corchetes ^{[nota 1]} para la parte antisimétrica del tensor:

${\displaystyle \partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0}$

Usando la expresión que relaciona el tensor de Faraday con el potencial de cuatro, se puede demostrar que la cantidad antisimétrica anterior se vuelve cero de manera idéntica ( ). La implicación de esa identidad es de gran alcance: significa que la teoría del campo EM no deja lugar para monopolos magnéticos ni corrientes de los mismos. ${\displaystyle \equiv 0}$

Relatividad

El tensor de campo deriva su nombre del hecho de que se encuentra que el campo electromagnético obedece a la ley de transformación del tensor , siendo reconocida esta propiedad general de las leyes físicas después del advenimiento de la relatividad especial . Esta teoría estipulaba que todas las leyes de la física deberían adoptar la misma forma en todos los sistemas de coordenadas; esto llevó a la introducción de los tensores . El formalismo tensorial también conduce a una presentación matemáticamente más simple de las leyes físicas.

La ecuación de Maxwell no homogénea conduce a la ecuación de continuidad :

${\displaystyle \partial _{\alpha }J^{\alpha }=J^{\alpha }{}_{,\alpha }=0}$

lo que implica conservación de carga .

Las leyes de Maxwell anteriores se pueden generalizar al espacio-tiempo curvo simplemente reemplazando las derivadas parciales con derivadas covariantes :

${\displaystyle F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}=0}$y ${\displaystyle F^{\alpha \beta }{}_{;\alpha }=\mu _{0}J^{\beta }}$

donde la notación de punto y coma representa una derivada covariante, a diferencia de una derivada parcial. Estas ecuaciones a veces se denominan ecuaciones de Maxwell en el espacio curvo . Nuevamente, la segunda ecuación implica conservación de carga (en espacio-tiempo curvo):

${\displaystyle J^{\alpha }{}_{;\alpha }\,=0}$

Formulación lagrangiana del electromagnetismo clásico.

El electromagnetismo clásico y las ecuaciones de Maxwell se pueden derivar de la acción :

$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\int \left(-{\begin{matrix}{\frac {1}{4\mu _{0}}}\end{matrix}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\right)\mathrm {d} ^{4}x\,}$$

${\displaystyle \mathrm {d} ^{4}x}$

Esto significa que la densidad lagrangiana es

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\right)\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\&=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\nu }A^{\mu }+\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }\\\end{aligned}}}$

Los dos términos intermedios entre paréntesis son iguales, al igual que los dos términos externos, por lo que la densidad lagrangiana es

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\frac {1}{2\mu _{0}}}\left(\partial _{\mu }A_{\nu }\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }\right)-J^{\mu }A_{\mu }.}$

Sustituyendo esto en la ecuación de movimiento de Euler-Lagrange para un campo:

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}=0}$

Entonces la ecuación de Euler-Lagrange queda:

${\displaystyle -\partial _{\mu }{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right)+J^{\nu }=0.\,}$

La cantidad entre paréntesis arriba es solo el tensor de campo, por lo que esto finalmente se simplifica a

${\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}$

Esa ecuación es otra forma de escribir las dos ecuaciones de Maxwell no homogéneas (es decir, la ley de Gauss y la ley circuito de Ampère ) usando las sustituciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c}}E^{i}&=-F^{0i}\\\epsilon ^{ijk}B_{k}&=-F^{ij}\end{aligned}}}$

donde i, j, k toman los valores 1, 2 y 3.

forma hamiltoniana

La densidad hamiltoniana se puede obtener con la relación habitual,

${\displaystyle {\mathcal {H}}(\phi ^{i},\pi _{i})=\pi _{i}{\dot {\phi }}^{i}(\phi ^{i},\pi _{i})-{\mathcal {L}}}$.

Electrodinámica cuántica y teoría de campos.

El Lagrangiano de la electrodinámica cuántica se extiende más allá del Lagrangiano clásico establecido en la relatividad para incorporar la creación y aniquilación de fotones (y electrones):

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}\left(i\hbar c\,\gamma ^{\alpha }D_{\alpha }-mc^{2}\right)\psi -{\frac {1}{4\mu _{0}}}F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta },}$

donde la primera parte del lado derecho, que contiene el espinor de Dirac , representa el campo de Dirac . En la teoría cuántica de campos se utiliza como plantilla para el tensor de intensidad de campo calibre. Al emplearse además de la interacción local lagrangiana, retoma su papel habitual en QED. ${\displaystyle \psi }$

Ver también

• Clasificación de campos electromagnéticos.
• Formulación covariante del electromagnetismo clásico.
• Tensor de energía-estrés electromagnético
• Tensor de intensidad de campo de gluones
• cálculo de ricci
• Vector de Riemann-Silberstein

Notas

1. ^ Por definición,

   ${\displaystyle T_{[abc]}={\frac {1}{3!}}(T_{abc}+T_{bca}+T_{cab}-T_{acb}-T_{bac}-T_{cba})}$

   Así que si

   ${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0}$

   entonces

   ${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{matrix}{\frac {2}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha })\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(2F_{\alpha \beta })+\partial _{\alpha }(2F_{\beta \gamma })+\partial _{\beta }(2F_{\gamma \alpha })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\{\partial _{\gamma }(F_{\alpha \beta }-F_{\beta \alpha })+\partial _{\alpha }(F_{\beta \gamma }-F_{\gamma \beta })+\partial _{\beta }(F_{\gamma \alpha }-F_{\alpha \gamma })\}\\&={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}(\partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }-\partial _{\gamma }F_{\beta \alpha }-\partial _{\alpha }F_{\gamma \beta }-\partial _{\beta }F_{\alpha \gamma })\\&=\partial _{[\gamma }F_{\alpha \beta ]}\end{aligned}}}$

1. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.
2. DJ Griffiths (2007). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Educación Pearson, Dorling Kindersley. ISBN 978-81-7758-293-2.
3. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0.

Referencias

• Brau, Charles A. (2004). Problemas modernos de la electrodinámica clásica . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-514665-4.
• Jackson, John D. (1999). Electrodinámica clásica . John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-30932-X.
• Peskin, Michael E.; Schroeder, Daniel V. (1995). Una introducción a la teoría cuántica de campos . Publicación de Perseo. ISBN 0-201-50397-2.