Formas de escribir ciertas leyes de la física.
La formulación covariante del electromagnetismo clásico las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz ) en una forma que es manifiestamente invariante bajo las transformaciones de Lorentz , en el formalismo de la relatividad especial utilizando sistemas de coordenadas inerciales rectilíneos . Estas expresiones simplifican la demostración de que las leyes del electromagnetismo clásico toman la misma forma en cualquier sistema de coordenadas inercial y también proporcionan una forma de trasladar los campos y fuerzas de un sistema a otro. Sin embargo, esto no es tan general como las ecuaciones de Maxwell en el espacio-tiempo curvo o en sistemas de coordenadas no rectilíneos.
Este artículo utiliza el tratamiento clásico de los tensores y la convención de suma de Einstein y la métrica de Minkowski tiene la forma diag(+1, −1, −1, −1) . Cuando las ecuaciones se especifican como mantenidas en el vacío, se podrían considerar como la formulación de las ecuaciones de Maxwell en términos de carga y corriente totales .
Para obtener una descripción más general de las relaciones entre el electromagnetismo clásico y la relatividad especial, incluidas varias implicaciones conceptuales de esta imagen, consulte Electromagnetismo clásico y relatividad especial .
Objetos covariantes Cuatro vectores preliminares En este artículo se pueden utilizar tensores de Lorentz de los siguientes tipos para describir cuerpos o partículas:
cuatro desplazamientos : x α = ( c t , x ) = ( c t , x , y , z ) . {\displaystyle x^{\alpha }=(ct,\mathbf {x} )=(ct,x,y,z)\,.} Cuatro velocidades : u α = γ ( c , u ) , {\displaystyle u^{\alpha }=\gamma (c,\mathbf {u} ),} γ ( u ) es el factor de Lorentz en la velocidad 3 u .Cuatro impulsos : p α = ( E / c , p ) = m 0 u α {\displaystyle p^{\alpha }=(E/c,\mathbf {p} )=m_{0}u^{\alpha }} energía total y es la masa en reposo . p {\displaystyle \mathbf {p} } E {\displaystyle E} m 0 {\displaystyle m_{0}} Cuatro gradiente : ∂ ν = ∂ ∂ x ν = ( 1 c ∂ ∂ t , − ∇ ) , {\displaystyle \partial ^{\nu }={\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-\mathbf {\nabla } \right)\,,} El operador d'alembertiano se denota como , ∂ 2 {\displaystyle {\partial }^{2}} ∂ 2 = 1 c 2 ∂ ∂ t ∂ ∂ t − ∇ 2 . {\displaystyle \partial ^{2}={\frac {1}{c^{2}}}{\partial \over \partial t}{\partial \over \partial t}-\nabla ^{2}.} Los signos en el siguiente análisis tensorial dependen de la convención utilizada para el tensor métrico . La convención utilizada aquí es (+ − − −) , correspondiente al tensor métrico de Minkowski :
η μ ν = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 ) {\displaystyle \eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}} tensor electromagnético El tensor electromagnético es la combinación de los campos eléctrico y magnético en un tensor antisimétrico covariante cuyas entradas son cantidades de campo B. [1]
F α β = ( 0 E x / c E y / c E z / c − E x / c 0 − B z B y − E y / c B z 0 − B x − E z / c − B y B x 0 ) {\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}} F μ ν = d e f η μ α F α β η β ν = ( 0 − E x / c − E y / c − E z / c E x / c 0 − B z B y E y / c B z 0 − B x E z / c − B y B x 0 ) . {\displaystyle F^{\mu \nu }\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \eta ^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,\eta ^{\beta \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}\,.} E campo eléctrico B campo magnético la de la luz cuatro corrientes La cuatro corriente es el cuatro vector contravariante que combina la densidad de carga eléctrica ρ y la densidad de corriente eléctrica j :
J α = ( c ρ , j ) . {\displaystyle J^{\alpha }=(c\rho ,\mathbf {j} )\,.} Cuatro potenciales El cuatro potencial electromagnético es un cuatro vector covariante que contiene el potencial eléctrico (también llamado potencial escalar ) ϕ y el potencial vectorial magnético (o potencial vectorial ) A , de la siguiente manera:
A α = ( ϕ / c , A ) . {\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,.} El diferencial del potencial electromagnético es
F α β = ∂ α A β − ∂ β A α . {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,.} En el lenguaje de las formas diferenciales , que proporciona la generalización a los espacio-tiempos curvos, estos son los componentes de una forma 1 y una forma 2 respectivamente. Aquí está la derivada exterior y el producto cuña . A = A α d x α {\displaystyle A=A_{\alpha }dx^{\alpha }} F = d A = 1 2 F α β d x α ∧ d x β {\textstyle F=dA={\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }dx^{\alpha }\wedge dx^{\beta }} d {\displaystyle d} ∧ {\displaystyle \wedge }
Tensor de energía-estrés electromagnético El tensor de tensión-energía electromagnética se puede interpretar como la densidad de flujo del cuatro vector de momento, y es un tensor simétrico contravariante que es la contribución de los campos electromagnéticos al tensor de tensión-energía general :
T α β = ( ε 0 E 2 / 2 + B 2 / 2 μ 0 S x / c S y / c S z / c S x / c − σ x x − σ x y − σ x z S y / c − σ y x − σ y y − σ y z S z / c − σ z x − σ z y − σ z z ) , {\displaystyle T^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}\varepsilon _{0}E^{2}/2+B^{2}/2\mu _{0}&S_{x}/c&S_{y}/c&S_{z}/c\\S_{x}/c&-\sigma _{xx}&-\sigma _{xy}&-\sigma _{xz}\\S_{y}/c&-\sigma _{yx}&-\sigma _{yy}&-\sigma _{yz}\\S_{z}/c&-\sigma _{zx}&-\sigma _{zy}&-\sigma _{zz}\end{pmatrix}}\,,} donde es la permitividad eléctrica del vacío , μ 0 es la permeabilidad magnética del vacío , el vector de Poynting es ε 0 {\displaystyle \varepsilon _{0}}
S = 1 μ 0 E × B {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} } y el tensor de tensión de Maxwell está dado por
σ i j = ε 0 E i E j + 1 μ 0 B i B j − ( 1 2 ε 0 E 2 + 1 2 μ 0 B 2 ) δ i j . {\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-\left({\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}\,.} El tensor de campo electromagnético F construye el tensor de energía-tensión electromagnética T mediante la ecuación: [2]
T α β = 1 μ 0 ( η α ν F ν γ F γ β + 1 4 η α β F γ ν F γ ν ) {\displaystyle T^{\alpha \beta }={\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\eta ^{\alpha \nu }F_{\nu \gamma }F^{\gamma \beta }+{\frac {1}{4}}\eta ^{\alpha \beta }F_{\gamma \nu }F^{\gamma \nu }\right)} η métrico de Minkowski (+ − − −) ε 0 μ 0 c 2 = 1 , {\displaystyle \varepsilon _{0}\mu _{0}c^{2}=1\,,} Las ecuaciones de Maxwell en el vacío. En el vacío (o para las ecuaciones microscópicas, sin incluir descripciones de materiales macroscópicos), las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como dos ecuaciones tensoriales.
Las dos ecuaciones no homogéneas de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampère (con la corrección de Maxwell) se combinan en (con (+ − − −) métrica): [3]
Ley de Gauss – Ampère ∂ α F α β = μ 0 J β {\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }}
mientras que las ecuaciones homogéneas ( la ley de inducción de Faraday y la ley de Gauss para el magnetismo) se combinan para formar , que puede escribirse utilizando la dualidad de Levi-Civita como: ∂ σ F μ ν + ∂ μ F ν σ + ∂ ν F σ μ = 0 {\displaystyle \partial ^{\sigma }F^{\mu \nu }+\partial ^{\mu }F^{\nu \sigma }+\partial ^{\nu }F^{\sigma \mu }=0}
Gauss – ley de Faraday ∂ α ( 1 2 ε α β γ δ F γ δ ) = 0 {\displaystyle \partial _{\alpha }\left({\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F_{\gamma \delta }\right)=0}
donde F αβ tensor electromagnético , J α cuatro corrientes , ε αβγδ símbolo de Levi-Civita y los índices se comportan según la convención de suma de Einstein .
Cada una de estas ecuaciones tensoriales corresponde a cuatro ecuaciones escalares, una para cada valor de β .
Usando la notación tensorial antisimétrica y la notación de coma para la derivada parcial (ver Cálculo de Ricci ), la segunda ecuación también se puede escribir de manera más compacta como:
F [ α β , γ ] = 0. {\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0.} En ausencia de fuentes, las ecuaciones de Maxwell se reducen a:
∂ ν ∂ ν F α β = def ∂ 2 F α β = def 1 c 2 ∂ 2 F α β ∂ t 2 − ∇ 2 F α β = 0 , {\displaystyle \partial ^{\nu }\partial _{\nu }F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} \partial ^{2}F^{\alpha \beta }\mathrel {\stackrel {\text{def}}{=}} {1 \over c^{2}}{\partial ^{2}F^{\alpha \beta } \over {\partial t}^{2}}-\nabla ^{2}F^{\alpha \beta }=0\,,} ecuación de onda electromagnética Las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Lorenz. La condición de calibre de Lorenz es una condición de calibre invariante de Lorentz. (Esto se puede contrastar con otras condiciones de calibre , como el calibre de Coulomb , que si se cumple en un sistema inercial generalmente no se cumplirá en ningún otro). Se expresa en términos del potencial cuatro de la siguiente manera:
∂ α A α = ∂ α A α = 0 . {\displaystyle \partial _{\alpha }A^{\alpha }=\partial ^{\alpha }A_{\alpha }=0\,.} En el medidor de Lorenz, las ecuaciones microscópicas de Maxwell se pueden escribir como:
∂ 2 A σ = μ 0 J σ . {\displaystyle {\partial }^{2}A^{\sigma }=\mu _{0}\,J^{\sigma }\,.} fuerza de lorentz Partícula cargada Fuerza de Lorentz f sobre una partícula cargada (de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). El campo E y el campo B varían en el espacio y el tiempo.Los campos electromagnéticos (EM) afectan el movimiento de la materia cargada eléctricamente : debido a la fuerza de Lorentz . De esta manera, se pueden detectar campos EM (con aplicaciones en física de partículas y fenómenos naturales como las auroras ). En forma relativista, la fuerza de Lorentz utiliza el tensor de intensidad de campo de la siguiente manera. [4]
Expresado en términos de tiempo coordenado t , es:
d p α d t = q F α β d x β d t , {\displaystyle {dp_{\alpha } \over {dt}}=q\,F_{\alpha \beta }\,{\frac {dx^{\beta }}{dt}},} donde p α q es la carga y x β
Expresado en forma independiente del marco, tenemos las cuatro fuerzas
d p α d τ = q F α β u β , {\displaystyle {\frac {dp_{\alpha }}{d\tau }}\,=q\,F_{\alpha \beta }\,u^{\beta },} donde u β τ es el tiempo propio de la partícula , que está relacionado con el tiempo coordinado por dt = γdτ
Continuo de carga Fuerza de Lorentz por volumen espacial f en una distribución de carga continua ( densidad de carga ρ) en movimiento. La densidad de fuerza debida al electromagnetismo, cuya parte espacial es la fuerza de Lorentz, viene dada por
f α = F α β J β . {\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.} y está relacionado con el tensor de energía-estrés electromagnético por
f α = − T α β , β ≡ − ∂ T α β ∂ x β . {\displaystyle f^{\alpha }=-{T^{\alpha \beta }}_{,\beta }\equiv -{\frac {\partial T^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}.} Leyes de conservación Carga eléctrica La ecuación de continuidad :
J β , β = def ∂ β J β = ∂ β ∂ α F α β / μ 0 = 0. {\displaystyle {J^{\beta }}_{,\beta }\mathrel {\overset {\text{def}}{\mathop {=} }} \partial _{\beta }J^{\beta }=\partial _{\beta }\partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }/\mu _{0}=0.} conservación de carga Energía electromagnética – momento Utilizando las ecuaciones de Maxwell, se puede ver que el tensor electromagnético tensión-energía (definido anteriormente) satisface la siguiente ecuación diferencial, relacionándola con el tensor electromagnético y el actual cuatro vectores
T α β , β + F α β J β = 0 {\displaystyle {T^{\alpha \beta }}_{,\beta }+F^{\alpha \beta }J_{\beta }=0} η α ν T ν β , β + F α β J β = 0 , {\displaystyle \eta _{\alpha \nu }{T^{\nu \beta }}_{,\beta }+F_{\alpha \beta }J^{\beta }=0,} Objetos covariantes en la materia. Cuatro corrientes libres y ligadas Para resolver las ecuaciones de electromagnetismo dadas aquí, es necesario agregar información sobre cómo calcular la corriente eléctrica, J ν.
J ν = J ν free + J ν bound , {\displaystyle J^{\nu }={J^{\nu }}_{\text{free}}+{J^{\nu }}_{\text{bound}}\,,} J ν free = ( c ρ free , J free ) = ( c ∇ ⋅ D , − ∂ D ∂ t + ∇ × H ) , J ν bound = ( c ρ bound , J bound ) = ( − c ∇ ⋅ P , ∂ P ∂ t + ∇ × M ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{J^{\nu }}_{\text{free}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{free}},&\mathbf {J} _{\text{free}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}c\nabla \cdot \mathbf {D} ,&-{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {H} \end{pmatrix}}\,,\\{J^{\nu }}_{\text{bound}}={\begin{pmatrix}c\rho _{\text{bound}},&\mathbf {J} _{\text{bound}}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-c\nabla \cdot \mathbf {P} ,&{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}+\nabla \times \mathbf {M} \end{pmatrix}}\,.\end{aligned}}} Se han utilizado las ecuaciones macroscópicas de Maxwell , además de las definiciones del desplazamiento eléctrico D y de la intensidad magnética H :
D = ε 0 E + P , H = 1 μ 0 B − M . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {D} &=\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} ,\\\mathbf {H} &={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} \,.\end{aligned}}} M magnetización P polarización eléctrica Tensor de magnetización-polarización La corriente ligada se deriva de los campos P y M que forman un tensor de magnetización-polarización contravariante antisimétrico [1] [5] [6] [7]
M μ ν = ( 0 P x c P y c P z c − P x c 0 − M z M y − P y c M z 0 − M x − P z c − M y M x 0 ) , {\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&P_{x}c&P_{y}c&P_{z}c\\-P_{x}c&0&-M_{z}&M_{y}\\-P_{y}c&M_{z}&0&-M_{x}\\-P_{z}c&-M_{y}&M_{x}&0\end{pmatrix}},} que determina la corriente ligada
J ν bound = ∂ μ M μ ν . {\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{bound}}=\partial _{\mu }{\mathcal {M}}^{\mu \nu }\,.} Tensor de desplazamiento eléctrico Si esto se combina con F μν obtenemos el tensor de desplazamiento electromagnético contravariante antisimétrico que combina los campos D y H de la siguiente manera:
D μ ν = ( 0 − D x c − D y c − D z c D x c 0 − H z H y D y c H z 0 − H x D z c − H y H x 0 ) . {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-D_{x}c&-D_{y}c&-D_{z}c\\D_{x}c&0&-H_{z}&H_{y}\\D_{y}c&H_{z}&0&-H_{x}\\D_{z}c&-H_{y}&H_{x}&0\end{pmatrix}}.} Los tres tensores de campo están relacionados por:
D μ ν = 1 μ 0 F μ ν − M μ ν {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{\mu \nu }-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }} que es equivalente a las definiciones de los campos D y H dadas anteriormente.
Las ecuaciones de Maxwell en la materia. El resultado es que la ley de Ampère ,
∇ × H = J free + ∂ D ∂ t , {\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{free}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}},} la ley de Gauss ∇ ⋅ D = ρ free , {\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{free}},} combinar en una ecuación:
Gauss – Ley de Ampère (materia) J ν free = ∂ μ D μ ν {\displaystyle {J^{\nu }}_{\text{free}}=\partial _{\mu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }}
La corriente ligada y la corriente libre definidas anteriormente se conservan automática y por separado.
∂ ν J ν bound = 0 ∂ ν J ν free = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{bound}}&=0\,\\\partial _{\nu }{J^{\nu }}_{\text{free}}&=0\,.\end{aligned}}} Ecuaciones constitutivas Vacío En el vacío, las relaciones constitutivas entre el tensor de campo y el tensor de desplazamiento son:
μ 0 D μ ν = η μ α F α β η β ν . {\displaystyle \mu _{0}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu }\,.} La antisimetría reduce estas 16 ecuaciones a sólo seis ecuaciones independientes. Porque es habitual definir F μν
F μ ν = η μ α F α β η β ν , {\displaystyle F^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \alpha }F_{\alpha \beta }\eta ^{\beta \nu },} el vacío ∂ β F α β = μ 0 J α . {\displaystyle \partial _{\beta }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\alpha }.} El tensor tensión-energía electromagnética en términos del desplazamiento es:
T α π = F α β D π β − 1 4 δ α π F μ ν D μ ν , {\displaystyle T_{\alpha }{}^{\pi }=F_{\alpha \beta }{\mathcal {D}}^{\pi \beta }-{\frac {1}{4}}\delta _{\alpha }^{\pi }F_{\mu \nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },} δ α π delta de Kronecker η Materia lineal y no dispersiva. Por lo tanto, hemos reducido el problema de modelar la corriente, J ν J ν libre y modelar la magnetización y la polarización . Por ejemplo, en los materiales más simples a bajas frecuencias, se tiene M μ ν {\displaystyle {\mathcal {M}}^{\mu \nu }}
J free = σ E P = ε 0 χ e E M = χ m H {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{\text{free}}&=\sigma \mathbf {E} \,\\\mathbf {P} &=\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} \,\\\mathbf {M} &=\chi _{m}\mathbf {H} \,\end{aligned}}} σ conductividad eléctrica χ e susceptibilidad eléctrica χ m susceptibilidad magnética Las relaciones constitutivas entre los tensores y F , propuestas por Minkowski para materiales lineales (es decir, E es proporcional a D y B proporcional a H ), son: D {\displaystyle {\mathcal {D}}}
D μ ν u ν = c 2 ε F μ ν u ν ⋆ D μ ν u ν = 1 μ ⋆ F μ ν u ν {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {D}}^{\mu \nu }u_{\nu }&=c^{2}\varepsilon F^{\mu \nu }u_{\nu }\\{\star {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}u_{\nu }&={\frac {1}{\mu }}{\star F^{\mu \nu }}u_{\nu }\end{aligned}}} donde u es la cuarta velocidad del material, ε y μ son respectivamente la permitividad y permeabilidad adecuadas del material (es decir, en el marco de reposo del material), y denota el operador de la estrella de Hodge . ⋆ {\displaystyle \star }
Lagrangiano para la electrodinámica clásica Vacío La densidad lagrangiana para la electrodinámica clásica está compuesta por dos componentes: una componente de campo y una componente de fuente:
L = L field + L int = − 1 4 μ 0 F α β F α β − A α J α . {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\mathcal {L}}_{\text{field}}+{\mathcal {L}}_{\text{int}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J^{\alpha }\,.} En el término de interacción, las cuatro corrientes deben entenderse como una abreviatura de muchos términos que expresan las corrientes eléctricas de otros campos cargados en términos de sus variables; las cuatro corrientes no son en sí mismas un campo fundamental.
Las ecuaciones de Lagrange para la densidad lagrangiana electromagnética se pueden expresar de la siguiente manera: L ( A α , ∂ β A α ) {\displaystyle {\mathcal {L}}{\mathord {\left(A_{\alpha },\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}}
∂ β [ ∂ L ∂ ( ∂ β A α ) ] − ∂ L ∂ A α = 0 . {\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.} Notando
F λ σ = F μ ν η μ λ η ν σ , F μ ν = ∂ μ A ν − ∂ ν A μ ∂ ( ∂ μ A ν ) ∂ ( ∂ ρ A σ ) = δ μ ρ δ ν σ {\displaystyle {\begin{aligned}F^{\lambda \sigma }&=F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma },\\F_{\mu \nu }&=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\\{\partial \left(\partial _{\mu }A_{\nu }\right) \over \partial \left(\partial _{\rho }A_{\sigma }\right)}&=\delta _{\mu }^{\rho }\delta _{\nu }^{\sigma }\end{aligned}}} la expresión dentro del corchete es
∂ L ∂ ( ∂ β A α ) = − 1 4 μ 0 ∂ ( F μ ν η μ λ η ν σ F λ σ ) ∂ ( ∂ β A α ) = − 1 4 μ 0 η μ λ η ν σ ( F λ σ ( δ μ β δ ν α − δ ν β δ μ α ) + F μ ν ( δ λ β δ σ α − δ σ β δ λ α ) ) = − F β α μ 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ {\frac {\partial \left(F_{\mu \nu }\eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }F_{\lambda \sigma }\right)}{\partial \left(\partial _{\beta }A_{\alpha }\right)}}\\&=-\ {\frac {1}{4\mu _{0}}}\ \eta ^{\mu \lambda }\eta ^{\nu \sigma }\left(F_{\lambda \sigma }\left(\delta _{\mu }^{\beta }\delta _{\nu }^{\alpha }-\delta _{\nu }^{\beta }\delta _{\mu }^{\alpha }\right)+F_{\mu \nu }\left(\delta _{\lambda }^{\beta }\delta _{\sigma }^{\alpha }-\delta _{\sigma }^{\beta }\delta _{\lambda }^{\alpha }\right)\right)\\&=-\ {\frac {F^{\beta \alpha }}{\mu _{0}}}\,.\end{aligned}}} El segundo término es
∂ L ∂ A α = − J α . {\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=-J^{\alpha }\,.} Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento del campo electromagnético son
∂ F β α ∂ x β = μ 0 J α . {\displaystyle {\frac {\partial F^{\beta \alpha }}{\partial x^{\beta }}}=\mu _{0}J^{\alpha }\,.} Asunto Separando las corrientes libres de las corrientes ligadas, otra forma de escribir la densidad lagrangiana es la siguiente:
L = − 1 4 μ 0 F α β F α β − A α J free α + 1 2 F α β M α β . {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,-{\frac {1}{4\mu _{0}}}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }-A_{\alpha }J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}F_{\alpha \beta }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }\,.} Utilizando la ecuación de Lagrange, se pueden derivar las ecuaciones de movimiento . D μ ν {\displaystyle {\mathcal {D}}^{\mu \nu }}
La expresión equivalente en notación vectorial es:
L = 1 2 ( ε 0 E 2 − 1 μ 0 B 2 ) − ϕ ρ free + A ⋅ J free + E ⋅ P + B ⋅ M . {\displaystyle {\mathcal {L}}\,=\,{\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}E^{2}-{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\phi \,\rho _{\text{free}}+\mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\text{free}}+\mathbf {E} \cdot \mathbf {P} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {M} \,.} Ver también notas y referencias ^ ab Vanderlinde, Jack (2004), teoría electromagnética clásica, Springer, págs. 313–328, ISBN 9781402026997 ^ Electrodinámica clásica, Jackson, tercera edición, página 609 ^ Electrodinámica clásica de Jackson, tercera edición, capítulo 11 Teoría especial de la relatividad ^ Se supone que no están presentes otras fuerzas que las que se originan en E y B , es decir, no hay fuerzas gravitacionales , débiles o fuertes . ^ Sin embargo, la suposición de que , e incluso , son tensores relativistas en un medio polarizable no tiene fundamento. La cantidad M μ ν {\displaystyle M^{\mu \nu }} D μ ν {\displaystyle D^{\mu \nu }} F μ ν {\displaystyle F^{\mu \nu }} A α = ( ϕ / c , A ) {\displaystyle A^{\alpha }=\left(\phi /c,\mathbf {A} \right)\,} F α β = ∂ α A β − ∂ β A α {\displaystyle F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }\,} ^ Franklin, Jerrold, ¿Pueden los campos electromagnéticos formar tensores en un medio polarizable? ^ Gonano, Carlo, Definición de polarización P y magnetización M totalmente coherente con las ecuaciones de Maxwell Otras lecturas Las conferencias Feynman sobre física vol. II Cap. 25: Electrodinámica en notación relativista Einstein, A. (1961). Relatividad: la teoría especial y general . Nueva York: Corona. ISBN 0-517-02961-8 Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitación . San Francisco: WH Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 Landau, LD; Lifshitz, EM (1975). Teoría clásica de campos (Cuarta edición revisada en inglés). Oxford: Pérgamo. ISBN 0-08-018176-7 RP Feynman; FB Moringo; WG Wagner (1995). Conferencias de Feynman sobre gravitación . Addison-Wesley. ISBN 0-201-62734-5
![{\displaystyle F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00ac4efaccdf43c6f9e303b90470fa43f807346)
![{\displaystyle \partial _{\beta }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\beta }A_{\alpha })}}\right]- {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\alpha }}}=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a02d4079bf5859ef0b36a4e5e5b7b01d98f1dcd)
