paradoja de faraday

Aparente paradoja con la ley de inducción de Faraday

Michael Faraday

La paradoja de Faraday o paradoja de Faraday es cualquier experimento en el que la ley de inducción electromagnética de Michael Faraday parece predecir un resultado incorrecto. Las paradojas se dividen en dos clases:

• La ley de Faraday parece predecir que habrá fuerza electromotriz (EMF) cero pero hay una EMF distinta de cero.
• La ley de Faraday parece predecir que habrá un EMF distinto de cero, pero el EMF es cero.

Faraday dedujo su ley de inducción en 1831, tras inventar el primer generador electromagnético o dinamo , pero nunca quedó satisfecho con su propia explicación de la paradoja.

La ley de Faraday comparada con la ecuación de Maxwell-Faraday

La ley de Faraday (también conocida como ley de Faraday-Lenz ) establece que la fuerza electromotriz (FEM) viene dada por la derivada total del flujo magnético con respecto al tiempo t :

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}},}$

donde es la FEM y Φ _B es el flujo magnético a través de una espira de alambre. La dirección de la fuerza electromotriz viene dada por la ley de Lenz . Un hecho que a menudo se pasa por alto es que la ley de Faraday se basa en la derivada total, no en la derivada parcial, del flujo magnético. ^[1] Esto significa que se puede generar un EMF incluso si el flujo total a través de la superficie es constante. Para superar este problema, se pueden utilizar técnicas especiales. Consulte a continuación la sección sobre Uso de técnicas especiales con la ley de Faraday. ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Sin embargo, la interpretación más común de la ley de Faraday es que:

La fuerza electromotriz inducida en cualquier circuito cerrado es igual al negativo de la tasa de cambio temporal del flujo magnético encerrado por el circuito. ^{[2] [3]}

Esta versión de la ley de Faraday se cumple estrictamente sólo cuando el circuito cerrado es un bucle de alambre infinitamente delgado, ^[4] y no es válida en otras circunstancias. Ignora el hecho de que la ley de Faraday se define por la derivada total, no parcial, del flujo magnético y también el hecho de que la EMF no está necesariamente confinada a una trayectoria cerrada sino que también puede tener componentes radiales como se analiza a continuación. Una versión diferente, la ecuación de Maxwell-Faraday (que se analiza a continuación), es válida en todas las circunstancias y, cuando se usa junto con la ley de fuerza de Lorentz, es consistente con la aplicación correcta de la ley de Faraday.

Esquema de la prueba de la ley de Faraday a partir de las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerzas de Lorentz.

Considere la derivada temporal del flujo a través de un bucle posiblemente en movimiento, con área : ${\displaystyle \Sigma (t)}$

${\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {A} }$

La integral puede cambiar con el tiempo por dos razones: el integrando puede cambiar o la región de integración puede cambiar. Estos se suman linealmente, por lo tanto:

${\displaystyle \left.{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}\right|_{t=t_{0}}=\left(\int _{\Sigma (t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot d\mathbf {A} \right)+\left({\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {A} \right)}$

donde t ₀ es cualquier tiempo fijo dado. Demostraremos que el primer término del lado derecho corresponde a la FEM del transformador, el segundo a la FEM del movimiento. El primer término del lado derecho se puede reescribir usando la forma integral de la ecuación de Maxwell-Faraday:

${\displaystyle \int _{\Sigma (t_{0})}\left.{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right|_{t=t_{0}}\cdot d\mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$

Área barrida por el elemento vectorial d ℓ de la curva ∂Σ en el tiempo dt cuando se mueve con velocidad v .

A continuación analizamos el segundo término del lado derecho:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {A} }$

Ésta es la parte más difícil de la prueba; Se pueden encontrar más detalles y enfoques alternativos en las referencias. ^{[5] [6] [7]} A medida que el bucle se mueve y/o se deforma, barre una superficie (ver figura a la derecha). El flujo magnético a través de esta superficie barrida corresponde al flujo magnético que entra o sale del bucle y, por lo tanto, este es el flujo magnético que contribuye a la derivada del tiempo. (Este paso utiliza implícitamente la ley de Gauss para el magnetismo : dado que las líneas de flujo no tienen principio ni fin, solo pueden entrar en el bucle si son cortadas por el cable). A medida que una pequeña parte del bucle se mueve con velocidad v durante un breve período, tiempo , barre un vector de área vectorial . Por lo tanto, el cambio en el flujo magnético a través del bucle aquí es ${\displaystyle d{\boldsymbol {\ell }}}$ ${\displaystyle dt}$ ${\displaystyle d\mathbf {A} =\mathbf {v} \,dt\times d{\boldsymbol {\ell }}}$

${\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\mathbf {v} \,dt\times d{\boldsymbol {\ell }})=-dt\,d{\boldsymbol {\ell }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

Por lo tanto:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Sigma (t)}\mathbf {B} (t_{0})\cdot d\mathbf {A} =-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}(\mathbf {v} (t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}))\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$

donde v es la velocidad de un punto en el bucle . ${\displaystyle \partial \Sigma }$

Poniéndolos juntos,

${\displaystyle \left.{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}\right|_{t=t_{0}}=\left(-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}\mathbf {E} (t_{0})\cdot d{\boldsymbol {\ell }}\right)+\left(-\oint _{\partial \Sigma (t_{0})}(\mathbf {v} (t_{0})\times \mathbf {B} (t_{0}))\cdot d{\boldsymbol {\ell }}\right)}$

Mientras tanto, EMF se define como la energía disponible por unidad de carga que viaja una vez alrededor del bucle de alambre. Por lo tanto, según la ley de fuerzas de Lorentz ,

${\displaystyle \mathrm {EMF} =\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot {\text{d}}{\boldsymbol {\ell }}}$

Combinando estos, ${\displaystyle {\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=-\mathrm {EMF} }$

La ecuación de Maxwell-Faraday es una generalización de la ley de Faraday que establece que un campo magnético variable en el tiempo siempre va acompañado de un campo eléctrico no conservador espacialmente variable , y viceversa. La ecuación de Maxwell-Faraday es:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

(en unidades SI ) donde es el operador de derivada parcial , es el operador curl y nuevamente E ( r , t ) es el campo eléctrico y B ( r , t ) es el campo magnético . Estos campos generalmente pueden ser funciones de la posición r y del tiempo t . ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \nabla \times }$

La ecuación de Maxwell-Faraday es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell , y por tanto juega un papel fundamental en la teoría del electromagnetismo clásico . También se puede escribir en forma integral mediante el teorema de Kelvin-Stokes . ^[8]

Paradojas en las que la ley de inducción de Faraday parece predecir una FEM cero pero en realidad predice una FEM distinta de cero

Estas paradojas generalmente se resuelven por el hecho de que un EMF puede ser creado por un flujo cambiante en un circuito como se explica en la ley de Faraday o por el movimiento de un conductor en un campo magnético. Feynman explica esto como se indica a continuación. Véase también A. Sommerfeld, Vol III Electrodynamics Academic Press, página 362.

El equipamiento

Figura 1: Generador eléctrico de disco de Faraday. El disco gira con una velocidad angular ω, barriendo el disco conductor circularmente en el campo magnético estático B debido a un imán permanente. La fuerza magnética de Lorentz v × B impulsa la corriente radialmente a través del disco conductor hasta el borde conductor, y desde allí la trayectoria del circuito se completa a través de la escobilla inferior y el eje que sostiene el disco. Por tanto, la corriente se genera a partir del movimiento mecánico.

El experimento requiere algunos componentes simples (ver Figura 1): un imán cilíndrico , un disco conductor con un borde conductor, un eje conductor, algo de cableado y un galvanómetro . El disco y el imán están montados a poca distancia entre sí sobre el eje, sobre el cual pueden girar libremente alrededor de sus propios ejes de simetría. Un circuito eléctrico se forma conectando contactos deslizantes: uno al eje del disco y el otro a su borde. Se puede insertar un galvanómetro en el circuito para medir la corriente.

El procedimiento

El experimento se desarrolla en tres pasos:

1. El imán se sujeta para evitar que gire, mientras el disco gira sobre su eje. El resultado es que el galvanómetro registra una corriente continua . Por tanto, el aparato actúa como un generador , denominado de diversas formas generador de Faraday, disco de Faraday o generador homopolar (o unipolar) .
2. El disco se mantiene estacionario mientras el imán gira sobre su eje. El resultado es que el galvanómetro no registra corriente.
3. El disco y el imán se hacen girar juntos. El galvanómetro registra una corriente, como lo hizo en el paso 1.

¿Por qué es esto paradójico?

Algunos describen el experimento como una "paradoja", ya que, a primera vista, parece violar la ley de inducción electromagnética de Faraday, porque el flujo a través del disco parece ser el mismo sin importar lo que gire. Por tanto, se predice que la FEM será cero en los tres casos de rotación. La discusión a continuación muestra que este punto de vista se debe a una elección incorrecta de la superficie sobre la cual calcular el flujo.

La paradoja parece un poco diferente desde el punto de vista de las líneas de flujo: en el modelo de inducción electromagnética de Faraday, un campo magnético consistía en líneas imaginarias de flujo magnético , similares a las líneas que aparecen cuando se esparcen limaduras de hierro sobre un papel y se mantienen cerca de un imán. Se propone que la FEM sea proporcional a la tasa de corte de las líneas de flujo. Si se imagina que las líneas de flujo se originan en el imán, entonces estarían estacionarias en el marco del imán, y al girar el disco con respecto al imán, ya sea girando el imán o el disco, debería producirse una FEM, pero al girar ambos juntos no deberían hacerlo.

La explicación de Faraday

En el modelo de inducción electromagnética de Faraday, un circuito recibía una corriente inducida cuando cortaba líneas de flujo magnético. Según este modelo, el disco de Faraday debería haber funcionado cuando se hacía girar el disco o el imán, pero no ambos. Faraday intentó explicar el desacuerdo con la observación asumiendo que el campo del imán, completo con sus líneas de flujo, permanecía estacionario mientras el imán giraba (una imagen completamente precisa, pero tal vez no intuitiva en el modelo de líneas de flujo). En otras palabras, las líneas de flujo tienen su propio marco de referencia. Como se muestra en la siguiente sección, la física moderna (desde el descubrimiento del electrón ) no necesita la imagen de las líneas de flujo y disipa la paradoja.

Explicaciones modernas

Un circuito no es necesariamente un bucle.

En el paso 1, la paradoja puede resolverse fácilmente: el circuito no constituye un simple bucle de alambre, como lo postula la ley de inducción de Faraday; es más bien la unión de dos bucles, porque la corriente puede fluir a través de las dos mitades del borde (ver figura 2). Si, por el contrario, se conserva sólo una parte de la llanta desde la unión del radio hasta el cepillo, entonces todo el circuito es ahora un verdadero bucle cuya forma varía con el tiempo; entonces se aplica la ley de Faraday y conduce a resultados correctos.

Teniendo en cuenta el camino de regreso

En el paso 2, dado que no se observa corriente, se podría concluir que el campo magnético no giró con el imán giratorio. (Ya sea que lo haga o no de manera efectiva o relativa, la fuerza de Lorentz es cero ya que v es cero en relación con el marco del laboratorio. Por lo tanto, no se puede medir la corriente desde el marco del laboratorio). El uso de la ecuación de Lorentz para explicar esta paradoja ha llevado a Un debate en la literatura sobre si un campo magnético gira o no con un imán. Dado que la fuerza sobre las cargas expresada por la ecuación de Lorentz depende del movimiento relativo del campo magnético (es decir, el marco del laboratorio) con respecto al conductor donde se encuentra el EMF, se especuló que en el caso en que el imán gira con el disco, pero un voltaje todavía se desarrolla, el campo magnético (es decir, el marco del laboratorio) no debe girar con el material magnético (por supuesto, ya que es el marco del laboratorio), mientras que la definición efectiva de marco del campo magnético o la "rotación efectiva/relativa del campo" gira sin movimiento relativo con respecto al disco conductor.

Una reflexión cuidadosa demostró que, si se suponía que el campo magnético giraba con el imán y el imán giraba con el disco, todavía se debería producir una corriente, no por EMF en el disco (no hay movimiento relativo entre el disco y el imán). sino en el circuito externo que une las escobillas ^[9] , que de hecho está en movimiento relativo con respecto al imán giratorio. (Los cepillos están en el marco del laboratorio).

Este mecanismo concuerda con las observaciones relacionadas con las trayectorias de retorno: se genera un EMF cada vez que el disco se mueve en relación con la trayectoria de retorno, independientemente de la rotación del imán. De hecho, se demostró que mientras se utilice un bucle de corriente para medir los campos electromagnéticos inducidos por el movimiento del disco y el imán, no es posible saber si el campo magnético gira o no con el imán. (Esto depende de la definición, el movimiento de un campo solo se puede definir de manera efectiva/relativa. Si sostiene que el flujo de campo es una entidad física, gira o depende de cómo se genera. Pero esto no altera (lo que se usa en la fórmula de Lorentz, especialmente v , la velocidad del portador de carga relativa al marco donde se realiza la medición y la intensidad del campo varía según la relatividad en cualquier punto del espacio-tiempo).

Se han propuesto varios experimentos utilizando mediciones electrostáticas o haces de electrones para resolver el problema, pero aparentemente ninguno se ha realizado con éxito hasta la fecha. ^{[ cita necesaria ]}

Usando la fuerza de Lorentz

Fuerza de Lorentz F sobre una partícula cargada (de carga q ) en movimiento (velocidad instantánea v ). El campo E y el campo B varían en el espacio y el tiempo.

La fuerza F que actúa sobre una partícula de carga eléctrica q con velocidad instantánea v , debido a un campo eléctrico externo E y un campo magnético B , viene dada por la fuerza de Lorentz: ^[10]

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

donde × es el producto vectorial. Todas las cantidades en negrita son vectores. El campo eléctrico relativistamente correcto de una carga puntual varía con la velocidad como: ^[11]

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1-v^{2}/c^{2}}{(1-v^{2}\sin ^{2}\theta /c^{2})^{3/2}}}{\frac {\mathbf {{\hat {r}}'} }{|\mathbf {r} '|^{2}}}}$

donde es el vector unitario que apunta desde la posición actual (no retardada) de la partícula hasta el punto en el que se mide el campo, y θ es el ángulo entre y . El campo magnético B de una carga es: ^[11] ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} '}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$

${\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} }$

En el nivel más subyacente, la fuerza total de Lorentz es el resultado acumulativo de los campos eléctricos E y los campos magnéticos B de cada carga que actúa sobre todas las demás cargas.

Cuando el imán está girando, pero las líneas de flujo están estacionarias y el conductor está estacionario.

Considere el caso especial en el que el disco conductor cilíndrico está estacionario pero el disco magnético cilíndrico está girando. En tal situación, la velocidad media v de las cargas en el disco conductor es inicialmente cero y, por lo tanto, la fuerza magnética F = q v × B es 0, donde v es la velocidad media de una carga q del circuito con respecto al marco. donde se toman las medidas, y q es la carga de un electrón.

Cuando el imán y las líneas de flujo están estacionarios y el conductor está girando.

Tras el descubrimiento del electrón y las fuerzas que lo afectan, fue posible una resolución microscópica de la paradoja. Consulte la Figura 1. Las partes metálicas del aparato son conductoras y confinan una corriente debida al movimiento electrónico dentro de los límites metálicos. Todos los electrones que se mueven en un campo magnético experimentan una fuerza de Lorentz de F = q v × B , donde v es la velocidad de los electrones en relación con el marco donde se toman las medidas y q es la carga de un electrón. Recuerde, no existe un marco llamado "marco del campo electromagnético". Un marco se establece en un punto espacio-temporal específico, no en un campo extendido o una línea de flujo como un objeto matemático. Es una cuestión diferente si considera el flujo como una entidad física (ver Cuántico de flujo magnético ), o considera la definición efectiva/relativa de movimiento/rotación de un campo (ver más abajo). Esta nota ayuda a resolver la paradoja.

La fuerza de Lorentz es perpendicular tanto a la velocidad de los electrones, que está en el plano del disco, como al campo magnético, que es normal ( superficie normal ) al disco. Un electrón en reposo en el marco del disco se mueve circularmente con el disco en relación con el campo B (es decir, el eje de rotación o el marco del laboratorio, recuerde la nota anterior) y, por lo tanto, experimenta una fuerza radial de Lorentz. En la Figura 1, esta fuerza (sobre una carga positiva , no sobre un electrón) se dirige hacia el borde según la regla de la mano derecha.

Por supuesto, esta fuerza radial, que es la causa de la corriente, crea un componente radial de la velocidad del electrón, generando a su vez su propio componente de fuerza de Lorentz que se opone al movimiento circular de los electrones, tendiendo a ralentizar la rotación del disco, pero los electrones retienen una componente de movimiento circular que continúa impulsando la corriente a través de la fuerza radial de Lorentz.

Uso de técnicas especiales con la ley de Faraday.

El flujo a través de la porción del camino desde el cepillo hasta el borde, a través del bucle exterior y el eje hasta el centro del disco es siempre cero porque el campo magnético está en el plano de este camino (no perpendicular a él), no No importa qué esté girando, por lo que la fem integrada alrededor de esta parte de la trayectoria es siempre cero. Por lo tanto, la atención se centra en la parte del recorrido desde el eje a través del disco hasta el cepillo en la llanta.

La ley de inducción de Faraday se puede expresar en palabras como: ^[12]

La fuerza electromotriz inducida o FEM en cualquier circuito cerrado es igual a la tasa de cambio temporal del flujo magnético a través del circuito.

Matemáticamente, la ley se establece:

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} ,\ t)\ ,}$

donde Φ _B es el flujo y d A es un elemento vectorial del área de una superficie móvil Σ ( t ) delimitada por el bucle alrededor del cual se debe encontrar la FEM.

Figura 2: Dos posibles bucles para encontrar EMF: el camino geométricamente simple es fácil de usar, pero el otro proporciona el mismo EMF. Ninguno de los dos pretende imitar ninguna línea de flujo de corriente física.

¿Cómo se puede conectar esta ley con el generador de disco de Faraday, donde el enlace de flujo parece ser simplemente el campo B multiplicado por el área del disco?

Un enfoque es definir la noción de "tasa de cambio del enlace de flujo" trazando una línea hipotética a través del disco desde el cepillo hasta el eje y preguntando cuánto enlace de flujo pasa por esta línea por unidad de tiempo. Consulte la Figura 2. Suponiendo un radio R para el disco, un sector del disco con ángulo central θ tiene un área:

${\displaystyle A={\frac {\theta }{2\pi }}\pi R^{2}\ ,}$

entonces la velocidad con la que el flujo pasa por la línea imaginaria es

${\displaystyle {\mathcal {E}}=-{\frac {d\Phi _{B}}{dt}}=B{\frac {dA}{dt}}=B\ {\frac {R^{2}}{2}}\ {\frac {d\theta }{dt}}=B\ {\frac {R^{2}}{2}}\omega \ ,}$

con ω = dθ / dt la velocidad angular de rotación. El signo se elige basándose en la ley de Lenz : el campo generado por el movimiento debe oponerse al cambio de flujo provocado por la rotación. Por ejemplo, el circuito con el segmento radial en la Figura 2 según la regla de la mano derecha se suma al campo B aplicado, tendiendo a aumentar el enlace de flujo. Eso sugiere que el flujo a través de este camino está disminuyendo debido a la rotación, por lo que dθ / dt es negativo.

Este resultado de corte de flujo para EMF se puede comparar con el cálculo del trabajo realizado por unidad de carga haciendo que una carga de prueba infinitesimal atraviese la línea hipotética utilizando la fuerza de Lorentz/unidad de carga en el radio r , es decir | v × B | = Bv = Brω :

${\displaystyle {\mathcal {E}}=\int _{0}^{R}drBr\omega ={\frac {R^{2}}{2}}B\omega \ ,}$

que es el mismo resultado.

La metodología anterior para encontrar el flujo cortado por el circuito se formaliza en la ley de flujo tratando adecuadamente la derivada del tiempo de la superficie delimitadora Σ( t ). Por supuesto, la derivada temporal de una integral con límites dependientes del tiempo no es simplemente la derivada temporal del integrando únicamente, un punto que a menudo se olvida; véase regla integral de Leibniz y fuerza de Lorentz .

Al elegir la superficie Σ( t ), las restricciones son que (i) tiene que estar delimitada por una curva cerrada alrededor de la cual se encontrará la FEM, y (ii) tiene que capturar el movimiento relativo de todas las partes móviles de el circuito. Enfáticamente no se requiere que la curva límite corresponda a una línea física de flujo de la corriente. Por otro lado, la inducción tiene que ver con el movimiento relativo, y el camino debe capturar enfáticamente cualquier movimiento relativo. En un caso como el de la Figura 1, donde una parte de la ruta actual se distribuye en una región en el espacio, el EMF que impulsa la corriente se puede encontrar utilizando una variedad de rutas. La figura 2 muestra dos posibilidades. Todos los caminos incluyen el obvio bucle de retorno, pero en el disco se muestran dos caminos: uno es un camino geométricamente simple, el otro es tortuoso. Somos libres de elegir el camino que queramos, pero una parte de cualquier camino aceptable está fijada en el propio disco y gira con el disco. El flujo se calcula a lo largo de todo el recorrido, el circuito de retorno más el segmento del disco y se encuentra su tasa de cambio.

Figura 3: Ejemplo de mapeo del disco de Faraday en un rectángulo conductor deslizante. El disco se ve como un anillo; se corta a lo largo de un radio y se abre para convertirse en un rectángulo.

En este ejemplo, todos estos caminos conducen a la misma tasa de cambio de flujo y, por tanto, a la misma FEM. Para dar una idea acerca de esta independencia de trayectoria, en la Figura 3 el disco de Faraday está desenvuelto en una tira, haciéndolo parecerse a un problema de rectángulo deslizante. En el caso del rectángulo deslizante, resulta obvio que el patrón de flujo de corriente dentro del rectángulo es independiente del tiempo y, por lo tanto, irrelevante para la tasa de cambio del flujo que une el circuito. No es necesario considerar exactamente cómo la corriente atraviesa el rectángulo (o el disco). Cualquier elección de trayectoria que conecte la parte superior e inferior del rectángulo (del eje al cepillo en el disco) y que se mueva con el rectángulo (girando con el disco) barre la misma tasa de cambio de flujo y predice la misma EMF. . Para el disco, esta tasa de cambio de estimación de flujo es la misma que la realizada anteriormente basándose en la rotación del disco más allá de una línea que une el cepillo con el eje.

Configuración con ruta de retorno

En este análisis es irrelevante si el imán se "mueve" debido al flujo inducido en el camino de retorno. El movimiento relativo crucial es el del disco y el camino de retorno, no el del disco y el imán. Esto queda más claro si se utiliza un disco de Faraday modificado en el que la ruta de retorno no es un cable sino otro disco. Es decir, monte dos discos conductores uno al lado del otro en el mismo eje y déjelos tener contacto eléctrico deslizante en el centro y en la circunferencia. La corriente será proporcional a la rotación relativa de los dos discos e independiente de cualquier rotación del imán.

Configuración sin ruta de retorno

Un disco de Faraday también puede funcionar sin galvanómetro ni sin retorno. Cuando el disco gira, los electrones se acumulan a lo largo del borde y dejan un déficit cerca del eje (o al revés). En principio, es posible medir la distribución de carga, por ejemplo, a través de la fuerza electromotriz generada entre la llanta y el eje (aunque no necesariamente es fácil). Esta separación de carga será proporcional a la velocidad de rotación relativa entre el disco y el imán.

Paradojas en las que la ley de inducción de Faraday parece predecir EMF distintos de cero pero en realidad predice EMF cero

Estas paradojas generalmente se resuelven determinando que el movimiento aparente del circuito es en realidad una deconstrucción del circuito seguida de una reconstrucción del circuito en un camino diferente.

Una regla adicional

Circuito para el experimento de Tilley.

En el caso en que el disco gira solo, no hay cambio en el flujo a través del circuito; sin embargo, hay una fuerza electromotriz inducida contrariamente a la ley de Faraday. También podemos mostrar un ejemplo cuando hay un cambio en el flujo, pero no hay voltaje inducido. La Figura 5 (cerca de la derecha) muestra la configuración utilizada en el experimento de Tilley. ^[13] Es un circuito con dos bucles o mallas. Hay un galvanómetro conectado en el bucle derecho, un imán en el centro del bucle izquierdo, un interruptor en el bucle izquierdo y un interruptor entre los bucles. Empezamos con el interruptor de la izquierda abierto y el de la derecha cerrado. Cuando el interruptor de la izquierda está cerrado y el interruptor de la derecha está abierto, no hay cambio en el campo del imán, pero sí en el área del circuito del galvanómetro. Esto significa que hay un cambio en el flujo. Sin embargo, el galvanómetro no se desvió, lo que significa que no hubo voltaje inducido y la ley de Faraday no funciona en este caso. Según AG Kelly, esto sugiere que un voltaje inducido en el experimento de Faraday se debe al "corte" del circuito por las líneas de flujo, y no a la "conexión de flujo" o al cambio real de flujo. Esto se desprende del experimento de Tilley porque no hay movimiento de las líneas de fuerza a través del circuito y, por lo tanto, no hay corriente inducida aunque haya un cambio en el flujo a través del circuito. Nussbaum sugiere que para que la ley de Faraday sea válida, se debe trabajar para producir el cambio en el flujo. ^[14]
Para comprender esta idea, analizaremos el argumento dado por Nussbaum. ^[14] Comenzamos calculando la fuerza entre dos cables portadores de corriente. La fuerza sobre el cable 1 debida al cable 2 está dada por:

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{1}I_{2}\oint _{C_{1}}\oint _{C_{2}}{\frac {d\mathbf {l_{1}} \ \mathbf {\times } \ (d\mathbf {l_{2}} \ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{r_{21}^{2}}}}$

El campo magnético del segundo cable viene dado por:

${\displaystyle \mathbf {B} _{2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{2}\oint _{C_{2}}{\frac {(d\mathbf {l_{2}} \ \mathbf {\times } \ {\hat {\mathbf {r} }}_{21})}{r_{21}^{2}}}}$

Entonces podemos reescribir la fuerza sobre el cable 1 como:

${\displaystyle \mathbf {F} _{21}=I_{1}\oint _{C_{1}}d\mathbf {l_{1}} \ \mathbf {\times } \mathbf {B} _{2}}$

Consideremos ahora un segmento de un conductor desplazado en un campo magnético constante. El trabajo realizado se encuentra a partir de: ${\displaystyle d\mathbf {l} }$ ${\displaystyle d\mathbf {r} }$

${\displaystyle dW=d\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }$

Si conectamos lo que encontramos anteriormente obtenemos: ${\displaystyle d\mathbf {F} }$

${\displaystyle dW=(Id\mathbf {l} \mathbf {\times } \mathbf {B} )\cdot d\mathbf {r} }$

El área cubierta por el desplazamiento del conductor es:

${\displaystyle d\mathbf {S} =d\mathbf {r} \mathbf {\times } d\mathbf {l} }$

Por lo tanto:

${\displaystyle dW=I\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} =Id\Phi _{B}}$

El trabajo diferencial también se puede dar en términos de carga y diferencia de potencial : ${\displaystyle dq}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle dW=Vdq=VIdt}$

Al igualar las dos ecuaciones para el trabajo diferencial llegamos a la Ley de Faraday.

${\displaystyle d\Phi _{B}=Vdt}$

Además, ahora vemos que esto sólo es cierto si no desaparece. Es decir, la Ley de Faraday sólo es válida si se realiza trabajo para provocar el cambio en el flujo. ${\displaystyle dW}$

Una forma matemática de validar la ley de Faraday en este tipo de situaciones es generalizar la definición de EMF como en la prueba de la ley de inducción de Faraday :

${\displaystyle \mathrm {EMF} =\oint \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\cdot d{\boldsymbol {\ell }}}$

El galvanómetro generalmente solo mide el primer término en la FEM que contribuye a la corriente en el circuito, aunque a veces puede medir la incorporación del segundo término, como cuando el segundo término contribuye con parte de la corriente que el galvanómetro mide como FEM en movimiento, por ejemplo en El experimento del disco de Faraday. En la situación anterior, el primer término es cero y solo el primer término conduce una corriente que mide el galvanómetro, por lo que no hay voltaje inducido. Sin embargo, la Ley de Faraday sigue siendo válida ya que el cambio aparente del flujo magnético pasa al segundo término en la generalización anterior de los CEM. Pero no se mide con el galvanómetro. Recuerde que es la velocidad local de un punto del circuito, no de un portador de carga. Después de todo, ambas/todas estas situaciones son consistentes con la preocupación por la relatividad y la microestructura de la materia, y/o la integridad de la ecuación de Maxwell y la fórmula de Lorentz, o la combinación de ellas, la mecánica hamiltoniana . ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Ver también

• Ley de inducción de Faraday
• fuerza de lorentz
• Problema con el imán en movimiento y el conductor
• Campo eléctrico de corotación

Referencias

1. https://sites.psu.edu/ecsphysicslitvin/files/2016/09/P_paper_20-2ix0zrc.pdf ^{[ URL desnuda PDF ]}
2. "Ley de Faraday, que establece que la fuerza electromotriz alrededor de un camino cerrado es igual al negativo de la tasa de cambio temporal del flujo magnético encerrado por el camino" Jordan, Edward; Balmain, Keith G. (1968). Ondas electromagnéticas y sistemas radiantes (2ª ed.). Prentice Hall. pag. 100.
3. "El flujo magnético es el flujo que pasa a través de todas y cada una de las superficies cuyo perímetro es el camino cerrado" Hayt, William (1989). Ingeniería Electromagnética (5ª ed.). McGraw-Hill. pag. 312.ISBN​ 0-07-027406-1.
4. "La regla del flujo" es la terminología que utiliza Feynman para referirse a la ley que relaciona el flujo magnético con los campos electromagnéticos. Richard Phillips Feynman, Leighton RB y Sands ML (2006). Las conferencias Feynman sobre física. San Francisco: Pearson/Addison-Wesley. vol. II, págs. 17-2. ISBN 0-8053-9049-9.^{[ enlace muerto permanente ]}
5. Davison, ME (1973). "Una prueba simple de que la ley de la fuerza de Lorentz implicaba la ley de inducción de Faraday, cuando B es independiente del tiempo". Revista Estadounidense de Física . 41 (5): 713. Código bibliográfico : 1973AmJPh..41..713D. doi :10.1119/1.1987339.
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7. K. Simonyi, Theoretische Elektrotechnik, quinta edición, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften , Berlín 1973, ecuación 20, página 47
8. Roger F. Harrington (2003). Introducción a la ingeniería electromagnética. Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. pag. 56.ISBN​ 0-486-43241-6.
9. AG Kelly, Monografías 5 y 6 de la Institución de Ingenieros de Irlanda, 1998, ISBN 1-898012-37-3 e ISBN 1-898012-42-3 ]  
10. Consulte la página 2 de Jackson. El libro enumera las cuatro ecuaciones modernas de Maxwell y luego dice: "También es esencial para considerar el movimiento de partículas cargadas la ecuación de fuerza de Lorentz, F = q ( E + v × B ), que da la fuerza que actúa sobre una carga puntual q en presencia de campos electromagnéticos."
11. Griffiths, David J. (1998). Introducción a la electrodinámica (3ª ed.). Prentice Hall. págs. 222–224, 435–440. ISBN 0-13-805326-X.
12. Véase, por ejemplo, MNO Sadiku (2007). Elementos de electromagnética (Cuarta ed.). Nueva York/Oxford Reino Unido: Oxford University Press. págs. §9.2 págs. 386 y siguientes. ISBN 978-0-19-530048-2.
13. Tilley, DE, soy. J. Física. 36, 458 (1968)
14. Nussbaum, A., "Paradojas de la ley de Faraday", http://www.iop.org/EJ/article/0031-9120/7/4/006/pev7i4p231.pdf?request-id=49fbce3f-dbc4-4d6c -98e9-8258814e6c30

Otras lecturas

• Michael Faraday, Investigaciones experimentales en electricidad, volumen I, primera serie, 1831 en Grandes libros del mundo occidental, volumen 45, RM Hutchins, ed., Encyclopædia Britannica, Inc., Universidad de Chicago, 1952. [1]
• "Inducción electromagnética: física y flashbacks" (PDF) de Giuseppe Giuliani – detalles de la fuerza de Lorentz en el disco de Faraday
• "Dínamo eléctrico homopolar": contiene la derivación de la ecuación para la FEM de un disco de Faraday
• Columna "Tech Musings" de Don Lancaster, febrero de 1998, sobre las ineficiencias prácticas del disco de Faraday
• "El último acertijo de Faraday: ¿gira el campo con un imán?" (PDF) – teoría contraria, pero contiene referencias útiles a los experimentos de Faraday.
• PJ Scanlon, RN Henriksen y JR Allen, "Enfoques de la inducción electromagnética", Am. J. Física. 37, 698–708 (1969). – describe cómo aplicar la ley de Faraday al disco de Faraday
• Jorge Guala-Valverde, Pedro Mazzoni, Ricardo Aquiles "El motor homopolar: un verdadero motor relativista", Am. J. Física. 70 (10), 1052-1055 (octubre de 2002). – sostiene que sólo la fuerza de Lorentz puede explicar el disco de Faraday y describe algunas pruebas experimentales de ello
• Frank Munley, Desafíos a la regla del flujo de Faraday, Am. J. Física. 72, 1478 (2004). – una discusión actualizada de los conceptos en la referencia de Scanlon anterior.
• Richard Feynman, Robert Leighton, Matthew Sands, "The Feynman Lectures on Physics Volume II", Capítulo 17 - Además de la "paradoja" de Faraday (donde el flujo vinculado no cambia pero se induce una fem), describe las "placas oscilantes "Experimento en el que el flujo vinculado cambia pero no se induce ninguna fem. Muestra que la física correcta siempre viene dada por la combinación de la fuerza de Lorentz con la ecuación de Maxwell-Faraday (ver cuadro de citas) y plantea estas dos "paradojas" propias.