Cuantización BRST

Formulación para cuantificar teorías de campos de calibración en física

En física teórica , el formalismo BRST , o cuantificación BRST (donde BRST hace referencia a los apellidos de Carlo Becchi , Alain Rouet , Raymond Stora e Igor Tyutin ) denota un enfoque matemático relativamente riguroso para cuantificar una teoría de campos con una simetría de calibre . Las reglas de cuantificación en los marcos de teoría cuántica de campos (QFT) anteriores se parecían a "prescripciones" o "heurísticas" más que a pruebas, especialmente en la QFT no abeliana , donde el uso de " campos fantasma " con propiedades superficialmente extrañas es casi inevitable por razones técnicas relacionadas con la renormalización y la cancelación de anomalías .

La supersimetría global BRST introducida a mediados de los años 1970 fue rápidamente entendida como una justificación para la introducción de estos fantasmas de Faddeev-Popov y su exclusión de los estados asintóticos "físicos" al realizar cálculos de QFT. Fundamentalmente, esta simetría de la integral de trayectoria se conserva en el orden de bucles y, por lo tanto, evita la introducción de contratérminos que podrían arruinar la renormalización de las teorías de calibración. El trabajo de otros autores ^{[ ¿de quién? – Discutir ]} unos años más tarde relacionó el operador BRST con la existencia de una alternativa rigurosa a las integrales de trayectoria al cuantificar una teoría de calibración .

Sólo a finales de los años 1980, cuando la QFT fue reformulada en lenguaje de haces de fibras para su aplicación a problemas en la topología de variedades de baja dimensión ( teoría cuántica de campos topológica ), se hizo evidente que la "transformación" BRST es fundamentalmente de carácter geométrico. En este sentido, la "cuantización BRST" se convierte en algo más que una forma alternativa de llegar a fantasmas que cancelen anomalías. Es una perspectiva diferente sobre lo que representan los campos fantasma, por qué funciona el método de Faddeev-Popov y cómo se relaciona con el uso de la mecánica hamiltoniana para construir un marco perturbativo. La relación entre la invariancia de calibre y la "invariancia BRST" obliga a la elección de un sistema hamiltoniano cuyos estados estén compuestos de "partículas" de acuerdo con las reglas familiares del formalismo de cuantificación canónica . Por lo tanto, esta condición de consistencia esotérica se acerca bastante a explicar cómo surgen los cuantos y los fermiones en la física, para empezar.

En ciertos casos, especialmente la gravedad y la supergravedad , el BRST debe ser reemplazado por un formalismo más general, el formalismo de Batalin-Vilkovisky .

Resumen técnico

La cuantificación BRST es un enfoque geométrico diferencial para realizar cálculos perturbativos consistentes y libres de anomalías en una teoría de calibre no abeliana. La forma analítica de la "transformación" BRST y su relevancia para la renormalización y la cancelación de anomalías fueron descritas por Carlo Maria Becchi , Alain Rouet y Raymond Stora en una serie de artículos que culminaron en la "Renormalización de las teorías de calibre" de 1976. La transformación equivalente y muchas de sus propiedades fueron descubiertas independientemente por Igor Viktorovich Tyutin . Su importancia para la cuantificación canónica rigurosa de una teoría de Yang-Mills y su correcta aplicación al espacio de Fock de configuraciones de campo instantáneas fueron dilucidadas por Taichiro Kugo e Izumi Ojima. Trabajos posteriores de muchos autores, en particular Thomas Schücker y Edward Witten , han aclarado la importancia geométrica del operador BRST y los campos relacionados y han enfatizado su importancia para la teoría cuántica de campos topológicos y la teoría de cuerdas .

En el enfoque BRST, se selecciona un procedimiento de fijación de calibre que no dañe las perturbaciones para el principio de acción de una teoría de calibre utilizando la geometría diferencial del fibrado de calibre en el que se basa la teoría de campos. Luego se cuantifica la teoría para obtener un sistema hamiltoniano en la imagen de interacción de tal manera que los campos "no físicos" introducidos por el procedimiento de fijación de calibre resuelvan las anomalías de calibre sin aparecer en los estados asintóticos de la teoría. El resultado es un conjunto de reglas de Feynman para usar en una expansión perturbativa en serie de Dyson de la matriz S que garantiza que sea unitaria y renormalizable en cada orden de bucle ; en resumen, una técnica de aproximación coherente para hacer predicciones físicas sobre los resultados de experimentos de dispersión.

BRST clásica

Esto está relacionado con una variedad supersimpléctica donde los operadores puros se clasifican por números fantasmas integrales y tenemos una cohomología BRST .

Transformaciones de calibre en QFT

Desde una perspectiva práctica, una teoría cuántica de campos consiste en un principio de acción y un conjunto de procedimientos para realizar cálculos perturbativos . Existen otros tipos de "controles de cordura" que se pueden realizar en una teoría cuántica de campos para determinar si se ajusta a fenómenos cualitativos como el confinamiento de quarks y la libertad asintótica . Sin embargo, la mayoría de los éxitos predictivos de la teoría cuántica de campos, desde la electrodinámica cuántica hasta la actualidad, se han cuantificado comparando los cálculos de la matriz S con los resultados de experimentos de dispersión .

En los primeros días de la QFT, habría que decir que las prescripciones de cuantificación y renormalización eran parte del modelo tanto como la densidad lagrangiana , especialmente cuando se basaban en el poderoso pero matemáticamente mal definido formalismo de la integral de trayectorias . Pronto se hizo evidente que la QED era casi "mágica" en su manejabilidad relativa, y que la mayoría de las formas en que uno podría imaginar extenderla no producirían cálculos racionales. Sin embargo, una clase de teorías de campo seguía siendo prometedora: las teorías de calibre, en las que los objetos de la teoría representan clases de equivalencia de configuraciones de campo físicamente indistinguibles, dos de las cuales están relacionadas por una transformación de calibre . Esto generaliza la idea de la QED de un cambio local de fase a un grupo de Lie más complicado .

La QED en sí misma es una teoría de calibre, al igual que la relatividad general , aunque esta última ha demostrado ser resistente a la cuantificación hasta ahora, por razones relacionadas con la renormalización. Otra clase de teorías de calibre con un grupo de calibre no abeliano, comenzando con la teoría de Yang-Mills, se volvió susceptible de cuantificación a fines de la década de 1960 y principios de la de 1970, en gran parte debido al trabajo de Ludwig D. Faddeev , Victor Popov , Bryce DeWitt y Gerardus 't Hooft . Sin embargo, siguió siendo muy difícil trabajar con ellas hasta la introducción del método BRST. El método BRST proporcionó las técnicas de cálculo y las pruebas de renormalización necesarias para extraer resultados precisos tanto de las teorías de Yang-Mills "ininterrumpidas" como de aquellas en las que el mecanismo de Higgs conduce a una ruptura espontánea de la simetría . Los representantes de estos dos tipos de sistemas de Yang-Mills ( la cromodinámica cuántica y la teoría electrodébil ) aparecen en el Modelo Estándar de física de partículas .

Ha resultado bastante más difícil demostrar la existencia de una teoría cuántica de campos no abeliana en un sentido riguroso que obtener predicciones precisas utilizando esquemas de cálculo semiheurísticos. Esto se debe a que el análisis de una teoría cuántica de campos requiere dos perspectivas matemáticamente interconectadas: un sistema lagrangiano basado en el funcional de acción, compuesto de campos con valores distintos en cada punto del espacio-tiempo y operadores locales que actúan sobre ellos, y un sistema hamiltoniano en la imagen de Dirac , compuesto de estados que caracterizan a todo el sistema en un momento dado y operadores de campo que actúan sobre ellos. Lo que hace que esto sea tan difícil en una teoría de calibración es que los objetos de la teoría no son realmente campos locales en el espacio-tiempo; son campos locales invariantes por la derecha en el fibrado de calibración principal, y diferentes secciones locales a través de una porción del fibrado de calibración, relacionadas por transformaciones pasivas , producen diferentes imágenes de Dirac.

Es más, una descripción del sistema como un todo en términos de un conjunto de campos contiene muchos grados de libertad redundantes; las distintas configuraciones de la teoría son clases de equivalencia de configuraciones de campo, de modo que dos descripciones que están relacionadas entre sí por una transformación de norma son también en realidad la misma configuración física. Las "soluciones" de una teoría de norma cuantificada no existen en un espacio simple de campos con valores en cada punto del espacio-tiempo, sino en un espacio cociente (o cohomología) cuyos elementos son clases de equivalencia de configuraciones de campo. Escondido en el formalismo BRST hay un sistema para parametrizar las variaciones asociadas con todas las posibles transformaciones de norma activas y dar cuenta correctamente de su irrelevancia física durante la conversión de un sistema lagrangiano a un sistema hamiltoniano.

Teoría de perturbaciones y fijación de calibres

El principio de invariancia de calibre es esencial para construir una teoría cuántica de campos viable. Pero por lo general no es factible realizar un cálculo perturbativo en una teoría de calibre sin primero "arreglar el calibre" -añadiendo términos a la densidad lagrangiana del principio de acción que "rompen la simetría de calibre" para suprimir estos grados de libertad "no físicos". La idea de la fijación de calibre se remonta al enfoque de calibre de Lorenz para el electromagnetismo, que suprime la mayoría de los grados de libertad en exceso en el potencial de cuatro mientras que conserva la invariancia de Lorentz manifiesta . El calibre de Lorenz es una gran simplificación en relación con el enfoque de intensidad de campo de Maxwell para la electrodinámica clásica , e ilustra por qué es útil tratar con los grados de libertad en exceso en la representación de los objetos en una teoría en la etapa lagrangiana, antes de pasar a la mecánica hamiltoniana a través de la transformación de Legendre .

La densidad hamiltoniana está relacionada con la derivada de Lie de la densidad lagrangiana con respecto a un campo vectorial horizontal unitario temporal en el fibrado de norma. En un contexto mecánico cuántico, se reescala convencionalmente mediante un factor . Al integrarla por partes sobre una sección transversal espacial se recupera la forma del integrando familiar de la cuantificación canónica . Debido a que la definición del hamiltoniano implica un campo vectorial unitario temporal en el espacio base, una elevación horizontal al espacio del fibrado y una superficie espacial "normal" (en la métrica de Minkowski ) al campo vectorial unitario temporal en cada punto de la variedad base, depende tanto de la conexión como de la elección del marco de Lorentz , y está lejos de estar definida globalmente. Pero es un ingrediente esencial en el marco perturbativo de la teoría cuántica de campos, en el que el hamiltoniano cuantificado entra a través de la serie de Dyson . ${\displaystyle i\hbar }$

Para fines perturbativos, reunimos la configuración de todos los campos de nuestra teoría en una sección transversal tridimensional horizontal de tipo espacial de P en un objeto (un estado de Fock ), y luego describimos la "evolución" de este estado a lo largo del tiempo utilizando la imagen de interacción . El espacio de Fock está abarcado por los estados propios de múltiples partículas de la porción "no perturbada" o "sin interacción" del hamiltoniano . Por lo tanto, la descripción instantánea de cualquier estado de Fock es una suma ponderada por amplitud compleja de estados propios de . En la imagen de interacción, relacionamos los estados de Fock en diferentes momentos al prescribir que cada estado propio del hamiltoniano no perturbado experimenta una tasa constante de rotación de fase proporcional a su energía (el valor propio correspondiente del hamiltoniano no perturbado). ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$

Por lo tanto, en la aproximación de orden cero, el conjunto de pesos que caracterizan un estado de Fock no cambia con el tiempo, pero sí lo hace la configuración de campo correspondiente. En aproximaciones superiores, los pesos también cambian; los experimentos de colisionadores en física de alta energía equivalen a mediciones de la tasa de cambio en estos pesos (o más bien integrales de ellos sobre distribuciones que representan incertidumbre en las condiciones iniciales y finales de un evento de dispersión). La serie de Dyson captura el efecto de la discrepancia entre y el verdadero hamiltoniano , en forma de una serie de potencias en la constante de acoplamiento g ; es la herramienta principal para hacer predicciones cuantitativas a partir de una teoría cuántica de campos. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Para utilizar la serie de Dyson para calcular cualquier cosa, se necesita algo más que una densidad lagrangiana invariante de calibre; también se necesitan las prescripciones de cuantificación y fijación de calibre que entran en las reglas de Feynman de la teoría. La serie de Dyson produce integrales infinitas de varios tipos cuando se aplica al hamiltoniano de una QFT particular. Esto se debe en parte a que todas las teorías cuánticas de campos utilizables hasta la fecha deben considerarse teorías de campos efectivas , que describen solo interacciones en un cierto rango de escalas de energía que podemos probar experimentalmente y, por lo tanto, vulnerables a divergencias ultravioletas . Estas son tolerables siempre que puedan manejarse mediante técnicas estándar de renormalización ; no son tan tolerables cuando dan como resultado una serie infinita de renormalizaciones infinitas o, peor aún, en una predicción obviamente no física como una anomalía de calibre no cancelada . Existe una relación profunda entre la renormalización y la invariancia de calibre, que se pierde fácilmente en el curso de los intentos de obtener reglas de Feynman manejables mediante la fijación del calibre.

Enfoques previos al BRST para la fijación de los calibres

Las prescripciones tradicionales de fijación de calibre de la electrodinámica del continuo seleccionan un representante único de cada clase de equivalencia relacionada con la transformación de calibre utilizando una ecuación de restricción como la de calibre de Lorenz . Este tipo de prescripción se puede aplicar a una teoría de calibre abeliana como la QED , aunque resulta en cierta dificultad para explicar por qué las identidades de Ward de la teoría clásica se trasladan a la teoría cuántica; en otras palabras, por qué los diagramas de Feynman que contienen fotones virtuales polarizados longitudinalmente internos no contribuyen a los cálculos de la matriz S. Este enfoque tampoco se generaliza bien a los grupos de calibre no abelianos como el SU(2)xU(1) de la teoría electrodébil de Yang-Mills y el SU(3) de la cromodinámica cuántica. Padece ambigüedades de Gribov y de la dificultad de definir una restricción de fijación de calibre que sea en algún sentido "ortogonal" a los cambios físicamente significativos en la configuración del campo. ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

Los enfoques más sofisticados no intentan aplicar una restricción de función delta a los grados de libertad de la transformación de calibre. En lugar de "fijar" el calibre a una "superficie de restricción" particular en el espacio de configuración, se puede romper la libertad de calibre con un término adicional, no invariante al calibre, agregado a la densidad de Lagrange. Para reproducir los éxitos de la fijación de calibre, se elige este término para que sea mínimo para la elección del calibre que corresponde a la restricción deseada y para que dependa cuadráticamente de la desviación del calibre de la superficie de restricción. Por la aproximación de fase estacionaria en la que se basa la integral de trayectoria de Feynman , la contribución dominante a los cálculos perturbativos provendrá de las configuraciones de campo en la vecindad de la superficie de restricción.

La expansión perturbativa asociada con este lagrangiano, utilizando el método de cuantificación funcional, se conoce generalmente como el calibre R _ξ . Se reduce en el caso de un calibre abeliano U(1) al mismo conjunto de reglas de Feynman que se obtiene en el método de cuantificación canónica . Pero hay una diferencia importante: la libertad de calibre rota aparece en la integral funcional como un factor adicional en la normalización general. Este factor solo se puede extraer de la expansión perturbativa (e ignorar) cuando la contribución al lagrangiano de una perturbación a lo largo de los grados de libertad de calibre es independiente de la configuración de campo "física" particular. Esta es la condición que no se cumple para los grupos de calibre no abelianos. Si uno ignora el problema e intenta utilizar las reglas de Feynman obtenidas a partir de la cuantificación funcional "ingenua", descubre que sus cálculos contienen anomalías inamovibles.

El problema de los cálculos perturbativos en QCD se resolvió introduciendo campos adicionales conocidos como fantasmas de Faddeev-Popov, cuya contribución al lagrangiano de calibración fija compensa la anomalía introducida por el acoplamiento de perturbaciones "físicas" y "no físicas" del campo de calibración no abeliano. Desde la perspectiva de la cuantificación funcional, las perturbaciones "no físicas" de la configuración del campo (las transformaciones de calibración) forman un subespacio del espacio de todas las perturbaciones (infinitesimales); en el caso no abeliano, la incrustación de este subespacio en el espacio más grande depende de la configuración alrededor de la cual tiene lugar la perturbación. El término fantasma en el lagrangiano representa el determinante funcional del jacobiano de esta incrustación, y las propiedades del campo fantasma están dictadas por el exponente deseado en el determinante para corregir la medida funcional en los ejes de perturbación "físicos" restantes.

Haces de calibración y el ideal vertical

La intuición del formalismo BRST se obtiene describiéndolo geométricamente, en el contexto de haces de fibras . Este contexto geométrico contrasta con la imagen tradicional más antigua, la de los campos con valores algebraicos en el espacio de Minkowski , que se proporciona en los textos de teoría cuántica de campos (anteriores) y la ilumina.

En este contexto, un campo de calibración puede entenderse de dos maneras diferentes. En una, el campo de calibración es una sección local del haz de fibras. En la otra, el campo de calibración es poco más que la conexión entre fibras adyacentes, definida en toda la longitud de la fibra. En correspondencia con estas dos concepciones, hay dos formas de ver una transformación de calibración. En el primer caso, una transformación de calibración es simplemente un cambio de sección local. En la relatividad general , esto se conoce como una transformación pasiva . En la segunda visión, una transformación de calibración es un cambio de coordenadas a lo largo de toda la fibra (que surge de la multiplicación por un elemento de grupo g ) que induce un difeomorfismo vertical del haz principal .

Este segundo punto de vista proporciona la base geométrica para el método BRST. A diferencia de una transformación pasiva, está bien definido globalmente en un fibrado principal, con cualquier grupo de estructura sobre una variedad arbitraria. Es decir, el formalismo BRST se puede desarrollar para describir la cuantificación de cualquier fibrado principal sobre cualquier variedad. Para mayor concreción y relevancia para la QFT convencional, gran parte de este artículo se atiene al caso de un fibrado de calibración principal con fibra compacta sobre un espacio de Minkowski de cuatro dimensiones.

Un fibrado de norma principal P sobre una 4-variedad M es localmente isomorfo a U  ×  F , donde U  ⊂  R ⁴ y la fibra F es isomorfa a un grupo de Lie G , el grupo de norma de la teoría de campos (este es un isomorfismo de estructuras de variedad, no de estructuras de grupo; no hay una superficie especial en P que corresponda a 1 en G , por lo que es más apropiado decir que la fibra F es un G - torsor ). La propiedad más básica como fibrado de fibra es la "proyección al espacio base" π :  P  →  M , que define las direcciones verticales en P (las que se encuentran dentro de la fibra π ⁻¹ ( p ) sobre cada punto p en M ). Como fibrado de norma tiene una acción izquierda de G sobre P que respeta la estructura de la fibra, y como fibrado principal también tiene una acción derecha de G sobre P que también respeta la estructura de la fibra y conmuta con la acción izquierda.

La acción izquierda del grupo estructural G sobre P corresponde a un cambio de sistema de coordenadas en una fibra individual. La acción derecha (global) R _g  :  P  →  P para un g fijo en G corresponde a un automorfismo real de cada fibra y, por lo tanto, a una función de P consigo mismo. Para que P pueda ser calificado como un fibrado principal de G , la acción derecha global de cada g en G debe ser un automorfismo con respecto a la estructura de la variedad de P con una dependencia suave de g , es decir, un difeomorfismo P  ×  G  →  P .

La existencia de la acción global derecha del grupo de estructura selecciona una clase especial de objetos geométricos invariantes derechos en P —aquellos que no cambian cuando son tirados hacia atrás a lo largo de R _g para todos los valores de g en G . Los objetos invariantes derechos más importantes en un fibrado principal son los campos vectoriales invariantes derechos , que forman un ideal del álgebra de Lie de difeomorfismos infinitesimales en P . Aquellos campos vectoriales en P que son tanto invariantes derechos como verticales forman un ideal de , que tiene una relación con todo el fibrado P análoga a la del álgebra de Lie del grupo de calibración G con la fibra G -torsor individual F . ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La "teoría de campos" de interés se define en términos de un conjunto de "campos" (aplicaciones suaves en varios espacios vectoriales) definidos en un fibrado de calibración principal P . Diferentes campos llevan diferentes representaciones del grupo de calibración G , y quizás de otros grupos de simetría de la variedad como el grupo de Poincaré . Se puede definir el espacio de polinomios locales en estos campos y sus derivadas. Se presume que la densidad lagrangiana fundamental de la teoría de uno se encuentra en el subespacio de polinomios que son de valor real e invariantes bajo cualquier grupo de simetría no interrumpido de calibración. También se presume que es invariante no solo bajo la acción izquierda (transformaciones de coordenadas pasivas) y la acción derecha global del grupo de calibración sino también bajo transformaciones de calibración locales (retroceso a lo largo del difeomorfismo infinitesimal asociado con una elección arbitraria de campo vectorial vertical invariante por la derecha ) . ${\displaystyle Pl}$ ${\displaystyle Pl_{0}}$ ${\displaystyle \epsilon \in V{\mathfrak {E}}}$

La identificación de transformaciones de calibración locales con un subespacio particular de campos vectoriales en la variedad P proporciona un mejor marco para tratar con infinitesimales de dimensión infinita: geometría diferencial y cálculo exterior . El cambio en un campo escalar bajo pullback a lo largo de un automorfismo infinitesimal se captura en la derivada de Lie , y la noción de retener solo el término lineal en el campo vectorial se implementa separándolo en la derivada interior y la derivada exterior . En este contexto, las "formas" y el cálculo exterior se refieren exclusivamente a grados de libertad que son duales a campos vectoriales en el fibrado de calibración , no a grados de libertad expresados ​​en índices tensoriales (griegos) en la variedad base o índices matriciales (romanos) en el álgebra de calibración.

La derivada de Lie en una variedad es una operación globalmente bien definida, de un modo que la derivada parcial no lo es. La generalización adecuada del teorema de Clairaut a la estructura de variedad no trivial de P está dada por el corchete de Lie de los campos vectoriales y la nilpotencia de la derivada exterior . Esto proporciona una herramienta esencial para el cálculo: el teorema de Stokes generalizado , que permite la integración por partes y luego la eliminación del término de superficie, siempre que el integrando caiga lo suficientemente rápido en direcciones donde hay un límite abierto. (Este no es un supuesto trivial, pero se puede tratar con técnicas de renormalización como la regularización dimensional , siempre que el término de superficie pueda hacerse invariante de calibre).

El operador BRST y el espacio de Fock asintótico

Central para el formalismo BRST es el operador BRST , definido como la tangente al operador Ward . El operador Ward en cada cuerpo puede identificarse (hasta una convención de signos) con la derivada de Lie a lo largo del cuerpo vectorial vertical asociado con la transformación de calibre local que aparece como un parámetro del operador Ward. El operador BRST en cuerpos se asemeja a la derivada exterior en el fibrado de calibre, o más bien a su restricción a un espacio reducido de formas alternadas que se definen solo en cuerpos vectoriales verticales. Los operadores Ward y BRST están relacionados (hasta una convención de fase introducida por Kugo y Ojima, cuya notación seguiremos en el tratamiento de los vectores de estado a continuación) por . Aquí, es una forma cero (escalar). El espacio es el espacio de polinomios de valor real en los cuerpos y sus derivadas que son invariantes bajo cualquier grupo de simetría no gauge (ininterrumpido). ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle W(\delta \lambda )}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle W(\delta \lambda )X=\delta \lambda \;s_{B}X}$ ${\displaystyle X\in {Pl}_{0}}$ ${\displaystyle {Pl}_{0}}$

Al igual que la derivada exterior, el operador BRST es nilpotente de grado 2, es decir, . La variación de cualquier " forma exacta BRST " con respecto a una transformación de calibre local está dada por la derivada interior . ${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$ ${\displaystyle s_{B}X}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle \iota _{\delta \lambda }.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\iota _{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X&=\iota _{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\\&=s_{B}\left(\iota _{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que esto también es exacto.

El formalismo perturbativo hamiltoniano no se lleva a cabo en el haz de fibras, sino en una sección local. En este formalismo, agregar un término BRST-exacto a una densidad lagrangiana invariante de calibre preserva la relación Esto implica que hay un operador relacionado en el espacio de estados para el cual Es decir, el operador BRST en estados de Fock es una carga conservada del sistema hamiltoniano . Esto implica que el operador de evolución temporal en un cálculo de serie de Dyson no evolucionará una configuración de campo que obedece a una configuración posterior con (o viceversa). ${\displaystyle s_{B}X=0.}$ ${\displaystyle Q_{B}}$ ${\displaystyle [Q_{B},{\mathcal {H}}]=0.}$ ${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0}$ ${\displaystyle Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0}$

La nilpotencia del operador BRST puede entenderse como que su imagen (el espacio de formas exactas BRST ) se encuentra completamente dentro de su núcleo (el espacio de formas cerradas BRST ). El lagrangiano "verdadero", que se presume invariante bajo transformaciones de calibre locales, está en el núcleo del operador BRST pero no en su imagen. Esto implica que el universo de condiciones iniciales y finales puede limitarse a "estados" asintóticos o configuraciones de campo en el infinito temporal, donde el lagrangiano de interacción está "desactivado". Estos estados se encuentran en el núcleo de pero como la construcción es invariante, la matriz de dispersión permanece unitaria. Los estados BRST cerrados y exactos se definen de manera similar a los campos BRST cerrados y exactos; los estados cerrados son aniquilados por mientras que los estados exactos son aquellos que se pueden obtener al aplicarlos a alguna configuración de campo arbitraria. ${\displaystyle Q_{B},}$ ${\displaystyle Q_{B},}$ ${\displaystyle Q_{B}}$

Al definir los estados asintóticos, también se pueden suprimir los estados que se encuentran dentro de la imagen de, pero el razonamiento es un poco más sutil. Habiendo postulado que el lagrangiano "verdadero" de la teoría es invariante de calibración, los "estados" verdaderos del sistema hamiltoniano son clases de equivalencia bajo transformación de calibración local; en otras palabras, dos estados iniciales o finales en la imagen hamiltoniana que difieren solo por un estado BRST-exacto son físicamente equivalentes. Sin embargo, el uso de una prescripción de ruptura de calibración BRST-exacta no garantiza que el hamiltoniano de interacción preservará cualquier subespacio particular de configuraciones de campo cerradas que sean ortogonales al espacio de configuraciones exactas. Este es un punto crucial, a menudo mal manejado en los libros de texto de QFT. No hay un producto interno a priori sobre configuraciones de campo incorporado en el principio de acción; dicho producto interno se construye como parte del aparato perturbativo hamiltoniano. ${\displaystyle Q_{B}}$

La prescripción de cuantificación en la imagen de interacción es construir un espacio vectorial de configuraciones cerradas BRST en un tiempo particular, de modo que esto pueda convertirse en un espacio de Fock de estados intermedios adecuados para la perturbación hamiltoniana. Como es convencional para la segunda cuantificación , el espacio de Fock se proporciona con operadores de escalera para las configuraciones propias de energía-momento (partículas) de cada campo, completo con reglas de (anti-)conmutación apropiadas, así como un producto interno semidefinido positivo . Se requiere que el producto interno sea singular exclusivamente a lo largo de direcciones que corresponden a estados propios exactos BRST del hamiltoniano no perturbado. Esto asegura que cualquier par de estados de Fock cerrados BRST se pueda elegir libremente de las dos clases de equivalencia de configuraciones de campo asintóticas correspondientes a estados propios iniciales y finales particulares del hamiltoniano de campo libre (ininterrumpido).

Las prescripciones de cuantificación deseadas proporcionan un espacio de Fock cociente isomorfo a la cohomología BRST , en el que cada clase de equivalencia cerrada por BRST de estados intermedios (que difieren solo por un estado exacto) está representada por exactamente un estado que no contiene cuantos de los campos exactos de BRST. Este es el espacio de Fock apropiado para los estados asintóticos de la teoría. La singularidad del producto interno a lo largo de los grados de libertad exactos de BRST asegura que la matriz de dispersión física contenga solo campos físicos. Esto contrasta con la dinámica lagrangiana (ingenua, fija en el calibre), en la que las partículas no físicas se propagan a los estados asintóticos. Al trabajar en la cohomología, se garantiza que cada estado asintótico tenga un (y solo uno) estado físico correspondiente (libre de fantasmas).

El operador es hermítico y no nulo, pero su cuadrado es cero. Esto implica que el espacio de Fock de todos los estados anteriores a la reducción cohomológica tiene una norma indefinida y, por lo tanto, no es un espacio de Hilbert. Esto requiere un espacio de Krein para los estados de Fock intermedios cerrados por BRST, con el operador de inversión temporal desempeñando el papel de la "simetría fundamental" que relaciona los productos internos semidefinidos positivos e invariantes de Lorentz. El espacio de estados asintótico es entonces el espacio de Hilbert obtenido mediante el cociente de estados BRST exactos a partir del espacio de Krein. ${\displaystyle Q_{B}}$

En resumen: ningún campo introducido como parte de un procedimiento de fijación de calibre BRST aparecerá en estados asintóticos de la teoría de fijación de calibre. Sin embargo, esto no implica que estos campos "no físicos" estén ausentes en los estados intermedios de un cálculo perturbativo. Esto se debe a que los cálculos perturbativos se realizan en la imagen de interacción . Implican implícitamente estados iniciales y finales del hamiltoniano de no interacción , transformados gradualmente en estados del hamiltoniano completo de acuerdo con el teorema adiabático al "activar" el hamiltoniano de interacción (el acoplamiento de calibre). La expansión de la serie de Dyson en términos de diagramas de Feynman incluirá vértices que acoplan partículas "físicas" (aquellas que pueden aparecer en estados asintóticos del hamiltoniano libre) a partículas "no físicas" (estados de campos que viven fuera del núcleo de o dentro de la imagen de ) y vértices que acoplan partículas "no físicas" entre sí. ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}}$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle s_{B}}$

La respuesta de Kugo-Ojima a las cuestiones de unitarismo

A T. Kugo e I. Ojima se les atribuye comúnmente el descubrimiento del criterio principal de confinamiento del color en la QCD . Su papel en la obtención de una versión correcta del formalismo BRST en el marco lagrangiano parece ser menos apreciado. Es esclarecedor examinar su variante de la transformación BRST, que enfatiza las propiedades hermíticas de los campos recién introducidos, antes de proceder desde un ángulo completamente geométrico.

Las condiciones de fijación del calibre con valor - se consideran donde es un número positivo que determina el calibre. Existen otras posibles fijaciones del calibre, pero quedan fuera del alcance actual. Los campos que aparecen en el lagrangiano son: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G=\xi \partial ^{\mu }A_{\mu },}$ ${\displaystyle \xi }$

• El campo de color QCD, es decir, la forma de conexión con valor - ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$
• El fantasma de Faddeev-Popov , que es un campo escalar de valor α con estadísticas fermiónicas. ${\displaystyle c^{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• El antifantasma , también es un campo escalar con valor α y estadísticas fermiónicas. ${\displaystyle b_{i}={\bar {c}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• El campo auxiliar que es un campo escalar de valor -con estadísticas bosónicas. ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El campo se utiliza para tratar las transformaciones de calibres, las áreas y las fijaciones de los calibres. En realidad, existen algunas sutilezas asociadas con la fijación de los calibres debido a las ambigüedades de Gribov, pero no se tratarán aquí. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle B}$

La densidad lagrangiana BRST es

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {matter}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{1 \over 4g^{2}}\operatorname {Tr} [F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }]+{1 \over 2g^{2}}\operatorname {Tr} [BB]-{1 \over g^{2}}\operatorname {Tr} [BG]-{\xi \over g^{2}}\operatorname {Tr} [\partial ^{\mu }bD_{\mu }c]}$

Aquí, es la derivada covariante con respecto al campo de calibración (conexión). El campo fantasma de Faddeev–Popov tiene una interpretación geométrica como una versión de la forma de Maurer–Cartan en , que relaciona cada campo vectorial vertical invariante por la derecha con su representación (hasta una fase) como un campo valuado en . Este campo debe entrar en las fórmulas para transformaciones de calibración infinitesimales en objetos (como fermiones , bosones de calibración y el fantasma mismo) que llevan una representación no trivial del grupo de calibración. ${\displaystyle D_{\mu }}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle \delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle c}$

Si bien la densidad lagrangiana no es invariante respecto de BRST, su integral sobre todo el espacio-tiempo, la acción sí lo es. La transformación de los campos bajo una transformación de calibre infinitesimal está dada por ${\displaystyle \delta \lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=\delta \lambda {\tfrac {i}{2}}[c,c]\\\delta b=\delta {\bar {c}}&=\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que es el corchete de Lie , NO el conmutador . Estos pueden escribirse en una forma equivalente, utilizando el operador de carga en lugar de . El operador de carga BRST se define como ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ ${\displaystyle Q_{B}}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$ ${\displaystyle Q_{B}}$

${\displaystyle Q_{B}=c^{i}\left(L_{i}-{\frac {1}{2}}{{f_{i}}^{j}}_{k}b_{j}c^{k}\right)}$

donde son los generadores infinitesimales del grupo de Lie y son sus constantes de estructura . Utilizando esto, la transformación se da como ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle f_{ij}{}^{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{B}A_{\mu }&=D_{\mu }c\\Q_{B}c&={i \over 2}[c,c]\\Q_{B}b&=B\\Q_{B}B&=0\end{aligned}}}$

Los detalles del sector de materia no están especificados, ya que se deja la forma del operador Ward en él; estos no son importantes siempre que la representación del álgebra de calibración en los campos de materia sea consistente con su acoplamiento a . Las propiedades de los otros campos son fundamentalmente analíticas en lugar de geométricas. El sesgo es hacia las conexiones con es dependiente de calibración y no tiene un significado geométrico particular. El anti-fantasma no es nada más que un multiplicador de Lagrange para el término de fijación de calibración, y las propiedades del campo escalar están completamente dictadas por la relación . Estos campos son todos hermíticos en las convenciones de Kugo-Ojima, pero el parámetro es un " número c anti-conmutativo " anti-hermítico. Esto da como resultado una incomodidad innecesaria con respecto a las fases y el paso de parámetros infinitesimales a través de operadores; esto se puede resolver con un cambio de convenciones. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \delta A_{\mu }}$ ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$ ${\displaystyle b={\bar {c}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B}$ ${\displaystyle \delta \lambda }$

Ya sabemos, a partir de la relación del operador BRST con la derivada exterior y del fantasma de Faddeev–Popov con la forma de Maurer–Cartan, que el fantasma corresponde (hasta una fase) a una 1-forma valuada en . Para que la integración de un término como sea significativa, el anti-fantasma debe llevar representaciones de estas dos álgebras de Lie (el ideal vertical y el álgebra de calibración ) duales a las llevadas por el fantasma. En términos geométricos, debe ser dual en términos de fibra a y un rango menos que una forma superior en . Del mismo modo, el cuerpo auxiliar debe llevar la misma representación de (hasta una fase) que , así como la representación de dual a su representación trivial en Es decir, es una forma superior -dual en términos de fibra en . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$ ${\displaystyle A_{\mu }.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V{\mathfrak {E}}}$

Los estados de una partícula de la teoría se discuten en el límite desacoplado adiabáticamente g  → 0. Hay dos tipos de cuantos en el espacio de Fock del hamiltoniano de calibración fija que se encuentran completamente fuera del núcleo del operador BRST: los del antifantasma de Faddeev-Popov y el bosón de calibración polarizado hacia adelante. Esto se debe a que ninguna combinación de campos que contengan es aniquilada por y el lagrangiano tiene un término de ruptura de calibración que es igual, hasta una divergencia, a ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle {\bar {c}}}$ ${\displaystyle s_{B}}$

${\displaystyle s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\xi s_{B}{\bar {c}}\right)\right).}$

De la misma manera, hay dos tipos de cuantos que se encontrarán completamente en la imagen del operador BRST: los del fantasma de Faddeev-Popov y el campo escalar , que se "come" al completar el cuadrado en la integral funcional para convertirse en el bosón de calibración polarizado hacia atrás. Estos son los cuatro tipos de cuantos "no físicos" que no aparecen en los estados asintóticos de un cálculo perturbativo. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle B}$

El anti-fantasma se considera un escalar de Lorentz en aras de la invariancia de Poincaré en . Sin embargo, su ley de (anti-)conmutación relativa a ie su prescripción de cuantificación, que ignora el teorema de estadística de espín al dar la estadística de Fermi-Dirac a una partícula de espín 0, se dará por el requisito de que el producto interno en nuestro espacio de Fock de estados asintóticos sea singular a lo largo de direcciones correspondientes a los operadores de elevación y descenso de alguna combinación de campos no cerrados BRST y exactos BRST. Esta última afirmación es la clave para la "cuantificación BRST", en oposición a la mera "simetría BRST" o "transformación BRST". ${\displaystyle -i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c}$ ${\displaystyle c}$

(Debe completarse en el lenguaje de la cohomología BRST, con referencia al tratamiento de Kugo-Ojima del espacio de Fock asintótico).

Fijación de calibre en cuantificación BRST

Si bien la simetría BRST, con su carga correspondiente Q , captura elegantemente la esencia de la invariancia de calibración, presenta un desafío para la cuantificación de la integral de trayectoria. La integral de trayectoria ingenua, que suma todas las configuraciones de calibración, sobrecuenta enormemente los estados físicamente distintos debido a la redundancia introducida por las transformaciones de calibración. Este sobrecuentaje se manifiesta como una divergencia en la integral de trayectoria que surge de la integración sobre las órbitas de calibración. Para abordar esto, presentamos un procedimiento de fijación de calibración dentro del marco BRST.

La idea central es restringir la integral de trayectoria a un conjunto representativo de configuraciones de calibre, eliminando los grados de libertad de calibre redundantes. Esto se logra introduciendo una función de fijación de calibre , denotada f(A) , donde A representa el campo de calibre. La elección específica de f(A) determina el calibre. Diferentes elecciones conducen a diferentes representaciones de la misma teoría física, aunque los resultados físicos finales deben ser independientes de esta elección.

El procedimiento de fijación de calibre dentro de la cuantificación BRST se implementa añadiendo un término a la densidad lagrangiana que depende tanto de la función de fijación de calibre como de los campos fantasma. Este término se construye para que sea exacto a BRST, lo que significa que se puede escribir como la variación BRST de alguna cantidad. Esto garantiza que la acción modificada aún posea simetría BRST.

Una forma general para la densidad lagrangiana de fijación de calibre es:

${\displaystyle L_{gf}=-iQ(f(A)*{\bar {c}})}$

donde es el campo antifantasma. El factor de -i es una convención. Dado que Q² = 0 , la variación BRST de L _gf es cero, lo que preserva la invariancia BRST de la acción total. ${\displaystyle {\bar {c}}}$

Ilustremos esto con dos ejemplos comunes:

1. Calibre Gupta-Bleuler (Lorenz) en electromagnetismo:

En este calibre, la función de fijación del calibre es . La densidad lagrangiana de fijación del calibre se convierte en: ${\displaystyle f(A)=\partial _{\mu }A^{\mu }}$

${\displaystyle L_{gf}=-iQ((\partial _{\mu }A^{\mu })*{\bar {c}})=-i((\partial _{\mu }\partial ^{\mu }c)*{\bar {c}}-(\partial _{\mu }A^{\mu })*B)}$

donde B es un campo auxiliar de Nakanishi-Lautrup introducido para reescribir la condición de calibración. Después de integrar B en la integral de trayectoria, obtenemos la forma conocida:

${\displaystyle L_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}(\partial _{\mu }A^{\mu })^{2}+(\partial _{\mu }{\bar {c}})(\partial ^{\mu }c)}$

donde ξ es un parámetro de calibración. El calibre de Lorenz corresponde al calibre de Feynman ( ξ = 1 ). Nótese que los campos fantasma permanecen acoplados al campo de calibración a través de la variación de BRST.

2. ξ-Gauges en las teorías de Yang-Mills:

Para las teorías de calibración no abelianas, se puede definir una clase generalizada de ξ-calibradores con la función de fijación de calibración , donde a es el índice del grupo de calibración. La densidad lagrangiana de fijación de calibración se convierte entonces en: ${\displaystyle f(A)=\partial _{\mu }A^{\mu a}+\xi B^{a}}$

${\displaystyle L_{gf}=-iQ((\partial _{\mu }A^{\mu a}+\xi B^{a})*{\bar {c}}^{a})=B^{a}(\partial _{\mu }A^{\mu a})+(\xi /2)B^{a}B^{a}+{\bar {c}}^{a}(\partial _{\mu }D^{\mu }c)^{a}}$

donde D ^μ es la derivada covariante. El campo auxiliar B ^a se puede integrar, lo que da como resultado:

${\displaystyle L_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}(\partial _{\mu }A^{\mu a})^{2}+{\bar {c}}^{a}(\partial _{\mu }D^{\mu }c)^{a}}$

Nuevamente, ξ es un parámetro de calibre, y diferentes elecciones de ξ corresponden a diferentes calibres dentro de esta familia.

La introducción del término de fijación de calibre L _gf modifica la acción y, en consecuencia, la integral de trayectoria. Fundamentalmente, se conserva la simetría BRST, lo que garantiza que los observables físicos permanezcan independientes de la elección del calibre. Además, el procedimiento de fijación de calibre rompe la simetría de calibre original de la acción clásica, lo que hace que la integral de trayectoria quede bien definida. Los campos fantasma, introducidos originalmente para compensar los grados de libertad no físicos, ahora desempeñan un papel crucial en el mantenimiento de la unitaridad de la teoría en la versión cuantizada.

Aproximación matemática a BRST

Esta sección sólo se aplica a las teorías de calibración clásicas, es decir, aquellas que pueden describirse con restricciones de primera clase . El formalismo más general se describe utilizando el formalismo de Batalin-Vilkovisky .

La construcción BRST ^[1] se aplica a una situación de una acción hamiltoniana de un grupo de calibración en un espacio de fases . Sea el álgebra de Lie de y un valor regular del mapa de momentos . Sea . Suponga que la -acción en es libre y propia, y considere el espacio de -órbitas en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$

La mecánica hamiltoniana de una teoría de calibración se describe mediante restricciones de primera clase que actúan sobre un espacio simpléctico . es la subvariedad que satisface las restricciones de primera clase. La acción de la simetría de calibración se divide en órbitas de calibración . La reducción simpléctica es el cociente de por las órbitas de calibración. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \Phi _{i}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$

Según la geometría algebraica , el conjunto de funciones suaves sobre un espacio es un anillo. El complejo de Koszul-Tate (las restricciones de primera clase no son regulares en general) describe el álgebra asociada con la reducción simpléctica en términos del álgebra . ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$

Primero, utilizando ecuaciones que definen dentro de , construya un complejo de Koszul ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle ...\to K^{1}(\Phi )\to C^{\infty }(M)\to 0}$

para que y para . ${\displaystyle H^{0}(K(\Phi ))=C^{\infty }(M_{0})}$ ${\displaystyle H^{p}(K(\Phi ))=0}$ ${\displaystyle p\neq 0}$

Luego, para la fibración se considera el complejo de formas exteriores verticales . Localmente, es isomorfo a , donde es el álgebra exterior del dual de un espacio vectorial . Utilizando la resolución de Koszul definida anteriormente, se obtiene un complejo bigrado ${\displaystyle M_{0}\to {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle (\Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0}),d_{vert})}$ ${\displaystyle \Omega _{vert}^{\cdot }(M_{0})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}\otimes C^{\infty }({\tilde {M}})}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\cdot }V^{*}}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle K^{i,j}=\Lambda ^{i}V^{*}\otimes \Lambda ^{j}V\otimes C^{\infty }(M).}$

Finalmente (y este es el paso menos trivial), se define un diferencial en el que se eleva a y tal que y ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle K=\oplus _{i,j}K^{i,j}}$ ${\displaystyle d_{vert}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (s_{B})^{2}=0}$

${\displaystyle H_{s_{B}}^{0}=C^{\infty }({\tilde {M}})}$

respecto a la calificación por el número fantasma  : . ${\displaystyle K^{n}=\oplus _{i-j=n}K^{i,j}}$

Así, el operador BRST o diferencial BRST logra en el nivel de funciones lo que la reducción simpléctica hace en el nivel de variedades. ${\displaystyle s_{B}}$

Hay dos antiderivadas y que se anticonmutan entre sí. La antiderivada BRST está dada por . El operador es nilpotente ; ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle \delta +d+\mathrm {more} }$ ${\displaystyle s_{B}}$ ${\displaystyle s^{2}=(\delta +d)^{2}=\delta ^{2}+d^{2}+(\delta d+d\delta )=0}$

Considérese el álgebra supercommutativa generada por y los generadores impares de Grassman , es decir, el producto tensorial de un álgebra de Grassman y . Existe una antiderivación única que satisface y para todos . La homología cero está dada por . ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta {\mathcal {P}}_{i}=-\Phi _{i}}$ ${\displaystyle \delta f=0}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$

Un campo vectorial longitudinal sobre es un campo vectorial sobre el cual es tangente en todas partes a las órbitas de calibración. El corchete de Lie de dos campos vectoriales longitudinales es en sí mismo otro campo vectorial longitudinal. Las formas longitudinales son duales al álgebra exterior de vectores. es esencialmente la derivada exterior longitudinal definida por ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\begin{aligned}d\omega (V_{0},\ldots ,V_{k})=&\sum _{i}(-1)^{i}d_{{}_{V_{i}}}(\omega (V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,V_{k}))\\&+\sum _{i<j}(-1)^{i+j}\omega ([V_{i},V_{j}],V_{0},\ldots ,{\widehat {V}}_{i},\ldots ,{\widehat {V}}_{j},\ldots ,V_{k})\end{aligned}}}$

La cohomología cero de la derivada exterior longitudinal es el álgebra de funciones invariantes de calibre.

La construcción BRST se aplica cuando uno tiene una acción hamiltoniana de un grupo de Lie compacto y conexo en un espacio de fases . ^{[2] [3]} Sea el álgebra de Lie de (a través de la correspondencia grupo de Lie–álgebra de Lie ) y (el dual de un valor regular del mapa de momento . Sea . Suponga que la -acción en es libre y propia, y considere el espacio de -órbitas en , que también se conoce como cociente de reducción simpléctica . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle 0\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle M_{0}=\Phi ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}=M_{0}/G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle {\widetilde {M}}=M/\!\!/G}$

Primero, utilizando la secuencia regular de funciones que definen dentro de , construya un complejo de Koszul ${\displaystyle M_{0}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

La diferencial , , en este complejo es una derivación -lineal impar (álgebra diferencial) del -álgebra graduada . Esta derivación impar se define extendiendo el homomorfismo del álgebra de Lie de la acción hamiltoniana. El complejo de Koszul resultante es el complejo de Koszul del -módulo , donde es el álgebra simétrica de , y la estructura del módulo proviene de un homomorfismo de anillo inducido por la acción hamiltoniana . ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)}$

Este complejo de Koszul es una resolución del módulo , es decir, ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle C^{\infty }(M_{0})}$

${\displaystyle H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}}$

Luego, considere el complejo Chevalley-Eilenberg para el complejo Koszul considerado como un módulo graduado diferencial sobre el álgebra de Lie : ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K^{\bullet ,\bullet }=C^{\bullet }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).}$

El diferencial "horizontal" se define en los coeficientes ${\displaystyle d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }}$

${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)}$

por la acción de y sobre como derivada exterior de formas diferenciales invariantes por la derecha en el grupo de Lie , cuya álgebra de Lie es . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Sea Tot( K ) un complejo tal que

${\displaystyle \operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}}$

con un diferencial D  =  d  + δ. Los grupos de cohomología de (Tot( K ),  D ) se calculan utilizando una secuencia espectral asociada al complejo doble . ${\displaystyle (K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )}$

El primer término de la secuencia espectral calcula la cohomología del diferencial "vertical" : ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})}$, si j = 0 y cero en caso contrario.

El primer término de la secuencia espectral puede interpretarse como el complejo de formas diferenciales verticales

${\displaystyle (\Omega ^{\bullet }{\operatorname {vert} }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })}$

para el haz de fibras . ${\displaystyle M_{0}\to {\widetilde {M}}}$

El segundo término de la secuencia espectral calcula la cohomología del diferencial "horizontal" en : ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle E_{1}^{\bullet ,\bullet }}$

${\displaystyle E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, si y cero en caso contrario. ${\displaystyle i=j=0}$

La secuencia espectral colapsa en el segundo término, de modo que , que se concentra en el grado cero. ${\displaystyle E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}}$

Por lo tanto,

${\displaystyle H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})}$, si p = 0 y 0 en caso contrario.

Véase también

• Formalismo de Batalin-Vilkovisky
• Cromodinámica cuántica

Referencias

Citas

1. JMFigueroa-O'Farrill, T. Kimura. Cuantificación geométrica BRST --Comunicaciones en física matemática, 1991 - Springer
2. Figueroa-O'Farrill y Kimura 1991, págs. 209-229
3. Kostant y Sternberg 1987, págs. 49-113

Tratamientos de libros de texto

• El capítulo 16 de Peskin & Schroeder ( ISBN  0-201-50397-2 o ISBN 0-201-50934-2 ) aplica la "simetría BRST" para razonar sobre la cancelación de anomalías en el lagrangiano de Faddeev-Popov. Este es un buen comienzo para los no expertos en QFT, aunque se omiten las conexiones con la geometría y el tratamiento del espacio de Fock asintótico es solo un esbozo. 
• El capítulo 12 de M. Göckeler y T. Schücker ( ISBN 0-521-37821-4 o ISBN 0-521-32960-4 ) analiza la relación entre el formalismo BRST y la geometría de los fibrados de calibración. Es sustancialmente similar al artículo de Schücker de 1987. ^[1]  

Tratamiento matemático

• Figueroa-O'Farrill, JM; Kimura, T. (1991). "Cuantización geométrica de BRST I. Precuantización". Commun. Math. Phys . 136 (2). Springer-Verlag : 209–229. Bibcode :1991CMaPh.136..209F. doi :10.1007/BF02100022. ISSN  0010-3616. MR  1096113. S2CID  120119621.
• Kostant, B.; Sternberg, S. (1987). "Reducción simpléctica, cohomología BRS y álgebras de Clifford de dimensión infinita". Ann. Phys . 176 (1). Elsevier : 49–113. Bibcode :1987AnPhy.176...49K. doi :10.1016/0003-4916(87)90178-3.

Literatura primaria

Artículos originales del BRST:

• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), "Cohomología BRST local en teorías de calibración", Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode :2000PhR...338..439B, doi :10.1016/S0370-1573(00)00049-1, ISSN  0370-1573, MR  1792979, S2CID  119420167
• Becchi, C.; Rouet, A.; Stora, R. (1974). "El modelo abeliano de Higgs Kibble, unitaridad del operador S". Physics Letters B . 52 (3). Elsevier BV: 344–346. Bibcode :1974PhLB...52..344B. doi :10.1016/0370-2693(74)90058-6. ISSN  0370-2693.
• Becchi, C.; Rouet, A.; Stora, R. (1975). "Renormalización del modelo abeliano de Higgs-Kibble". Comunicaciones en Física Matemática . 42 (2). Springer Science y Business Media LLC: 127–162. Código bibliográfico : 1975CMaPh..42..127B. doi :10.1007/bf01614158. ISSN  0010-3616. S2CID  120552882.
• Becchi, C; Rouet, A; Stora, R (1976). "Renormalización de las teorías de calibración". Anales de Física . 98 (2). Elsevier BV: 287–321. Bibcode :1976AnPhy..98..287B. doi :10.1016/0003-4916(76)90156-1. ISSN  0003-4916.
• IV Tyutin, "Invariancia de calibre en teoría de campos y física estadística en formalismo de operadores", Lebedev Physics Institute, preimpresión 39 (1975), arXiv:0812.0580.
• Kugo, Taichiro; Ojima, Izumi (1979). "Formalismo de operadores covariantes locales de teorías de calibración no abelianas y problema de confinamiento de quarks". Suplemento de Progreso de la Física Teórica . 66 . Oxford University Press (OUP): 1–130. Bibcode :1979PThPS..66....1K. doi : 10.1143/ptps.66.1 . ISSN  0375-9687.
• Una versión más accesible de Kugo-Ojima está disponible en línea en una serie de artículos, comenzando con: Kugo, T.; Ojima, I. (1978-12-01). "Formulación canónica manifiestamente covariante de las teorías de campo de Yang-Mills. I: -- Formalismo general --". Progreso de la física teórica . 60 (6). Oxford University Press (OUP): 1869–1889. Bibcode :1978PThPh..60.1869K. doi : 10.1143/ptp.60.1869 . ISSN  0033-068X.Esta es probablemente la mejor referencia para la cuantificación BRST en lenguaje mecánico cuántico (a diferencia del geométrico).
• Se puede encontrar mucha información sobre la relación entre los invariantes topológicos y el operador BRST en: E. Witten, "Topological quantum field theory", Commun. Math. Phys. 117, 3 (1988), pp. 353–386

Perspectivas alternativas

• Los sistemas BRST se analizan brevemente desde una perspectiva de teoría de operadores en: SS Horuzhy y AV Voronin, "Observaciones sobre la estructura matemática de las teorías BRST", Comm. Math. Phys. 123, 4 (1989) págs. 677–685
• Una perspectiva de teoría de la medida sobre el método BRST se puede encontrar en las notas de la conferencia de Carlo Becchi de 1996.

Enlaces externos

• Cohomología de Brst en arxiv.org

1. Thomas Schücker. "La construcción cohomológica de las soluciones de Stora". Comm. Math. Phys. 109 (1) 167 - 175, 1987.