Mapa de momentum

En matemáticas , específicamente en geometría simpléctica , el mapa de momento (o, por falsa etimología, mapa de momentos ^[1] ) es una herramienta asociada con una acción hamiltoniana de un grupo de Lie sobre una variedad simpléctica , utilizada para construir cantidades conservadas para la acción. El mapa de momento generaliza las nociones clásicas de momento lineal y angular . Es un ingrediente esencial en varias construcciones de variedades simplécticas, incluidos los cocientes simplécticos ( Marsden–Weinstein ) , que se analizan a continuación, y los cortes y sumas simplécticos .

Definición formal

Sea una variedad con forma simpléctica . Supóngase que un grupo de Lie actúa sobre mediante simplectomorfismos (es decir, la acción de cada uno en conserva ). Sea el álgebra de Lie de , su dual , y ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \langle \,\cdot ,\cdot \rangle :{\mathfrak {g}}^{*}\times {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R} }$

el emparejamiento entre los dos. Cualquier in induce un campo vectorial en que describe la acción infinitesimal de . Para ser precisos, en un punto del vector es ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \rho (\xi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho (\xi )_{x}}$

${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}\exp(t\xi )\cdot x,}$

donde es la función exponencial y denota la -acción sobre . ^[2] Sea la contracción de este campo vectorial con . Como actúa por simplectomorfismos, se deduce que es cerrado (para todo en ). ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Supongamos que no sólo es cerrado sino también exacto, de modo que para alguna función . Si esto es así, entonces se puede elegir para que la función sea lineal. Una función de momento para la acción sobre es una función tal que ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega \,}$ ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\omega =\mathrm {d} H_{\xi }}$ ${\displaystyle H_{\xi }:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle H_{\xi }}$ ${\displaystyle \xi \mapsto H_{\xi }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$

${\displaystyle \mathrm {d} (\langle \mu ,\xi \rangle )=\iota _{\rho (\xi )}\omega }$

para todos en . Aquí está la función de a definida por . El mapa de momento se define de forma única hasta una constante aditiva de integración (en cada componente conectado). ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \langle \mu ,\xi \rangle (x)=\langle \mu (x),\xi \rangle }$

Una -acción sobre una variedad simpléctica se llama hamiltoniana si es simpléctica y si existe un mapa de momento. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

A menudo también se requiere que un mapa de momento sea -equivariante , donde actúa sobre a través de la acción coadjunta , y a veces este requisito se incluye en la definición de una acción de grupo hamiltoniano. Si el grupo es compacto o semisimple, entonces la constante de integración siempre se puede elegir para hacer que el mapa de momento sea coadjunto equivariante. Sin embargo, en general la acción coadjunta debe modificarse para hacer que el mapa sea equivariante (este es el caso, por ejemplo, para el grupo euclidiano ). La modificación es mediante un cociclo 1- en el grupo con valores en , como lo describió por primera vez Souriau (1970). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Ejemplos de mapas de momento

En el caso de una acción hamiltoniana del círculo , el dual del álgebra de Lie se identifica naturalmente con , y el mapa de momento es simplemente la función hamiltoniana que genera la acción del círculo. ${\displaystyle G=U(1)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Otro caso clásico se da cuando es el fibrado cotangente de y es el grupo euclidiano generado por rotaciones y traslaciones. Es decir, es un grupo de seis dimensiones, el producto semidirecto de y . Los seis componentes del mapa de momento son entonces los tres momentos angulares y los tres momentos lineales. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Sea una variedad suave y sea su fibrado cotangente, con mapa de proyección . Sea la 1-forma tautológica sobre . Supóngase que actúa sobre . La acción inducida de sobre la variedad simpléctica , dada por para es hamiltoniana con mapa de momento para todo . Aquí denota la contracción del campo vectorial , la acción infinitesimal de , con la 1-forma . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle \pi :T^{*}N\rightarrow N}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle T^{*}N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (T^{*}N,\mathrm {d} \tau )}$ ${\displaystyle g\cdot \eta :=(T_{\pi (\eta )}g^{-1})^{*}\eta }$ ${\displaystyle g\in G,\eta \in T^{*}N}$ ${\displaystyle -\iota _{\rho (\xi )}\tau }$ ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \iota _{\rho (\xi )}\tau }$ ${\displaystyle \rho (\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \tau }$

Los hechos mencionados a continuación pueden utilizarse para generar más ejemplos de mapas de momento.

Algunos datos sobre los mapas de momento

Sean grupos de Lie con álgebras de Lie , respectivamente. ${\displaystyle G,H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}}}$

1. Sea una órbita coadjunta . Entonces existe una estructura simpléctica única en tal que el mapa de inclusión es un mapa de momento. ${\displaystyle {\mathcal {O}}(F),F\in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(F)\hookrightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$
2. Sea , y , un homomorfismo de grupo de Lie, que induce una acción de sobre . Entonces, la acción de sobre es también hamiltoniana, con un mapa de momento dado por , donde es el mapa dual de ( denota el elemento identidad de ). Un caso de especial interés es cuando es un subgrupo de Lie de y es el mapa de inclusión. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \Phi _{G}:M\rightarrow {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \psi :H\rightarrow G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}\circ \Phi _{G}}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}^{*}:{\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle (\mathrm {d} \psi )_{e}:{\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \psi }$
3. Sea una variedad hamiltoniana y una variedad hamiltoniana. Entonces, la acción natural de sobre es hamiltoniana, con mapa de momento la suma directa de los dos mapas de momento y . Aquí , donde denota el mapa de proyección. ${\displaystyle (M_{1},\omega _{1})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M_{2},\omega _{2})}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G\times H}$ ${\displaystyle (M_{1}\times M_{2},\omega _{1}\times \omega _{2})}$ ${\displaystyle \Phi _{G}}$ ${\displaystyle \Phi _{H}}$ ${\displaystyle \omega _{1}\times \omega _{2}:=\pi _{1}^{*}\omega _{1}+\pi _{2}^{*}\omega _{2}}$ ${\displaystyle \pi _{i}:M_{1}\times M_{2}\rightarrow M_{i}}$
4. Sea una variedad hamiltoniana y una subvariedad de invariante bajo tal que la restricción de la forma simpléctica sobre a no es degenerada. Esto imparte una estructura simpléctica a de manera natural. Entonces la acción de sobre también es hamiltoniana, con mapa de momento la composición del mapa de inclusión con el mapa de momento de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$

Cocientes simplécticos

Supóngase que la acción de un grupo de Lie sobre la variedad simpléctica es hamiltoniana, como se definió anteriormente, con un mapa de momento equivariante . De la condición hamiltoniana se deduce que es invariante bajo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \mu :M\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle G}$

Supongamos ahora que actúa libre y apropiadamente sobre . Se deduce que es un valor regular de , por lo que y su cociente son ambos variedades suaves. El cociente hereda una forma simpléctica de ; es decir, hay una única forma simpléctica en el cociente cuyo pullback a es igual a la restricción de a . Por lo tanto, el cociente es una variedad simpléctica, llamada cociente de Marsden-Weinstein , en honor a (Marsden y Weinstein 1974), cociente simpléctico , o reducción simpléctica de por y se denota . Su dimensión es igual a la dimensión de menos el doble de la dimensión de . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M/\!\!/G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

De manera más general, si G no actúa libremente (pero sí de manera adecuada), entonces (Sjamaar y Lerman 1991) demostraron que es un espacio simpléctico estratificado, es decir, un espacio estratificado con estructuras simplécticas compatibles en los estratos. ${\displaystyle M/\!\!/G=\mu ^{-1}(0)/G}$

Conexiones planas sobre una superficie

El espacio de conexiones en el fibrado trivial sobre una superficie tiene una forma simpléctica de dimensión infinita ${\displaystyle \Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \Sigma \times G}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle :=\int _{\Sigma }{\text{tr}}(\alpha \wedge \beta ).}$

El grupo de calibración actúa sobre las conexiones por conjugación . Identifique mediante el emparejamiento de integración. Luego, el mapa ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\text{Map}}(\Sigma ,G)}$ ${\displaystyle g\cdot A:=g^{-1}(\mathrm {d} g)+g^{-1}Ag}$ ${\displaystyle {\text{Lie}}({\mathcal {G}})=\Omega ^{0}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})=\Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})^{*}}$

${\displaystyle \mu :\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{2}(\Sigma ,{\mathfrak {g}}),\qquad A\;\mapsto \;F:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]}$

que envía una conexión a su curvatura es un mapa de momentos para la acción del grupo de calibración sobre las conexiones. En particular, el espacio de módulos de las conexiones planas módulo equivalencia de calibración se da por reducción simpléctica. ${\displaystyle \mu ^{-1}(0)/{\mathcal {G}}=\Omega ^{1}(\Sigma ,{\mathfrak {g}})/\!\!/{\mathcal {G}}}$

Véase también

• Cociente GIT
• La cuantificación conmuta con la reducción
• Grupo de Poisson-Lie
• Colector tórico
• Mecánica geométrica
• Mapa de Kirwan
• Teorema de convexidad de Kostant
• Cuantización BRST

Notas

1. "Mapa de momentos" es un nombre inapropiado y físicamente incorrecto. Es una traducción errónea de la noción francesa " momento de aplicación" . Vea esta pregunta de mathoverflow para conocer la historia del nombre.
2. El campo vectorial ρ(ξ) se denomina a veces campo vectorial de Killing en relación con la acción del subgrupo de un parámetro generado por ξ. Véase, por ejemplo, (Choquet-Bruhat y DeWitt-Morette 1977)

Referencias

• J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques , Maîtrises de mathématiques, Dunod, París, 1970. ISSN  0750-2435.
• SK Donaldson y PB Kronheimer , La geometría de cuatro variedades , Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9 . 
• Dusa McDuff y Dietmar Salamon, Introducción a la topología simpléctica , Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9 . 
• Choquet-Bruhat, Yvonne ; DeWitt-Morette, Cécile (1977), Análisis, variedades y física , Amsterdam: Elsevier, ISBN 978-0-7204-0494-4
• Ortega, Juan-Pablo; Ratiu, Tudor S. (2004). Mapas de momento y reducción hamiltoniana . Progreso en Matemáticas. Vol. 222. Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
• Audin, Michèle (2004), Acciones de toros en variedades simplécticas , Progress in Mathematics, vol. 93 (segunda edición revisada), Birkhäuser, ISBN 3-7643-2176-8
• Guillemin, Victor ; Sternberg, Shlomo (1990), Técnicas simplécticas en física (Segunda ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-38990-9
• Woodward, Chris (2010), Mapas de momentos y teoría de invariantes geométricos , Les cours du CIRM, vol. 1, EUDML, págs. 55–98, arXiv : 0912.1132 , Bibcode :2009arXiv0912.1132W
• Bruguières, Alain (1987), "Propriétés de convexité de l'application moment" (PDF) , Astérisque , Séminaire Bourbaki, 145–146: 63–87
• Marsden, Jerrold ; Weinstein, Alan (1974), "Reducción de variedades simplécticas con simetría", Reports on Mathematical Physics , 5 (1): 121–130, Bibcode :1974RpMP....5..121M, doi :10.1016/0034-4877(74)90021-4
• Sjamaar, Reyer; Lerman, Eugene (1991), "Espacios simplécticos estratificados y reducción", Annals of Mathematics , 134 (2): 375–422, doi :10.2307/2944350, JSTOR  2944350