Teorema de convexidad de Kostant

En matemáticas, el teorema de convexidad de Kostant , introducido por Bertram Kostant (1973), se puede utilizar para derivar extensiones teóricas de Lie de la desigualdad de Golden-Thompson y el teorema de Schur-Horn para matrices hermíticas .

El teorema de convexidad de Konstant establece que la proyección de cada órbita coadjunta de un grupo de Lie compacto conexo en el dual de una subálgebra de Cartan es un conjunto convexo . Es un caso especial de un resultado más general para espacios simétricos . El teorema de Kostant es una generalización de un resultado de Schur (1923), Horn (1954) y Thompson (1972) para matrices hermíticas. Demostraron que la proyección sobre las matrices diagonales del espacio de todas las matrices autoadjuntas complejas n por n con valores propios dados Λ = (λ ₁ , ..., λ _n ) es el politopo convexo con vértices todas permutaciones de las coordenadas de Λ.

Grupos de Lie compactos

Sea K un grupo de Lie compacto conexo con toro máximo T y grupo de Weyl W = N _K ( T )/ T . Sean sus álgebras de Lie y . Sea P la proyección ortogonal de sobre para algún producto interno Ad-invariante en . Entonces, para X en , P (Ad( K )⋅ X ) es el politopo convexo con vértices w ( X ) donde w recorre el grupo de Weyl. ${\mathfrak {k}}$ ${\mathfrak {t}}$ ${\mathfrak {k}}$ ${\mathfrak {t}}$ ${\mathfrak {k}}$ ${\mathfrak {t}}$

Espacios simétricos

Sea G un grupo de Lie compacto y σ una involución con K un subgrupo compacto fijado por σ y que contiene el componente identidad del subgrupo de punto fijo de σ. Por lo tanto, G / K es un espacio simétrico de tipo compacto. Sean y sus álgebras de Lie y sea σ también la involución correspondiente de . Sea el espacio propio −1 de σ y sea un subespacio abeliano maximal. Sea Q la proyección ortogonal de sobre para algún producto interno Ad( K )-invariante en . Entonces, para X en , Q (Ad( K )⋅ X ) es el politopo convexo con vértices w ( X ) donde w recorre el grupo de Weyl restringido (el normalizador de en K módulo su centralizador). ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {k}}$ ${\mathfrak {g}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {p}}$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}$

El caso de un grupo de Lie compacto es el caso especial donde G = K × K , K está incrustado diagonalmente y σ es el automorfismo de G intercambiando los dos factores.

Prueba de un grupo de Lie compacto

La prueba de Kostant para espacios simétricos se da en Helgason (1984). Existe una prueba elemental sólo para grupos de Lie compactos que utiliza ideas similares, debida a Wildberger (1993): se basa en una generalización del algoritmo de valores propios de Jacobi a grupos de Lie compactos.

Sea K un grupo de Lie compacto conexo con toro máximo T . Para cada raíz positiva α hay un homomorfismo de SU(2) en K . Un cálculo simple con matrices de 2 por 2 muestra que si Y está en y k varía en esta imagen de SU(2), entonces P (Ad( k )⋅ Y ) traza una línea recta entre P ( Y ) y su reflejo en la raíz α. En particular, el componente en el espacio raíz α -su "coordenada α fuera de la diagonal"- puede enviarse a 0. Al realizar esta última operación, la distancia de P ( Y ) a P (Ad( k )⋅ Y ) está acotada por encima por el tamaño de la coordenada α fuera de la diagonal de Y . Sea m el número de raíces positivas, la mitad de la dimensión de K / T . Partiendo de un Y ₁ arbitrario, tome la coordenada fuera de la diagonal más grande y envíela a cero para obtener Y ₂ . Continúe de esta manera, para obtener una secuencia ( Y _n ). Luego ${\mathfrak {k}}$

\displaystyle {\|P^{\perp }(Y_{n+1})\|^{2}\leq \left({m-1 \sobre m}\right)\|P^{\perp }(Y_{n})\|^{2}.}

Por lo tanto, P ^⊥ ( Y _n ) tiende a 0 y

\displaystyle {\|P(Y_{n+1}-Y_{n})\|\leq \|P^{\perp }(Y_{n})\|.}

Por lo tanto, X _n = P ( Y _n ) es una secuencia de Cauchy, por lo que tiende a X en . Como Y _n = P ( Y _n ) ⊕ P ^⊥ ( Y _n ), Y _n tiende a X . Por otro lado, X _n se encuentra en el segmento de línea que une X _n₊₁ y su reflexión en la raíz α. Por lo tanto, X _n se encuentra en el politopo del grupo de Weyl definido por X _n₊₁ . Estos politopos convexos aumentan a medida que n aumenta y, por lo tanto, P ( Y ) se encuentra en el politopo para X . Esto se puede repetir para cada Z en la órbita K de X . El límite está necesariamente en la órbita del grupo de Weyl de X y, por lo tanto, P (Ad( K )⋅ X ) está contenido en el politopo convexo definido por W ( X ). ${\mathfrak {t}}$

Para probar la inclusión opuesta, tomemos a X como un punto en la cámara de Weyl positiva. Entonces todos los otros puntos Y en la envoltura convexa de W ( X ) pueden obtenerse mediante una serie de caminos en esa intersección que se mueven a lo largo del negativo de una raíz simple. (Esto coincide con una imagen familiar de la teoría de la representación: si por dualidad X corresponde a un peso dominante λ, los otros pesos en el politopo del grupo de Weyl definido por λ son aquellos que aparecen en la representación irreducible de K con el mayor peso λ. Un argumento con operadores de reducción muestra que cada uno de esos pesos está vinculado por una cadena a λ obtenido restando sucesivamente raíces simples de λ. ^[1] ) Cada parte del camino de X a Y puede obtenerse mediante el proceso descrito anteriormente para las copias de SU(2) correspondientes a raíces simples, por lo que todo el politopo convexo se encuentra en P (Ad( K )⋅ X ).

Otras pruebas

Heckman (1982) dio otra prueba del teorema de convexidad para grupos de Lie compactos, también presentado en Hilgert, Hofmann y Lawson (1989). Para grupos compactos, Atiyah (1982) y Guillemin y Sternberg (1982) demostraron que si M es una variedad simpléctica con una acción hamiltoniana de un toro T con álgebra de Lie , entonces la imagen de la función de momentos ${\mathfrak {t}}$

\displaystyle {M\rightarrow {\mathfrak {t}}^{*}}

es un politopo convexo con vértices en la imagen del conjunto de puntos fijos de T (la imagen es un conjunto finito). Tomando para M una órbita coadjunta de K en , el mapa de momentos para T es la composición ${\mathfrak {k}}^{*}$

\displaystyle {M\rightarrow {\mathfrak {k}}^{*}\rightarrow {\mathfrak {t}}^{*}.}

Usando el producto interno Ad-invariante para identificar y , el mapa se convierte en ${\mathfrak {k}}^{*}$ ${\mathfrak {k}}$

\displaystyle {\mathrm {Ad} (K)\cdot X\rightarrow {\mathfrak {t}},}

la restricción de la proyección ortogonal. Tomando X en , los puntos fijos de T en la órbita Ad( K )⋅ X son simplemente la órbita bajo el grupo de Weyl, W ( X ). Por lo tanto, las propiedades de convexidad del mapa de momentos implican que la imagen es el politopo convexo con estos vértices. Ziegler (1992) dio una versión directa simplificada de la prueba utilizando mapas de momentos. ${\mathfrak {t}}$

Duistermaat (1983) demostró que una generalización de las propiedades de convexidad del mapa de momentos podría utilizarse para tratar el caso más general de espacios simétricos. Sea τ una involución suave de M que toma la forma simpléctica ω a −ω y tal que t ∘ τ = τ ∘ t ⁻¹ . Entonces M y el conjunto de puntos fijos de τ (que se supone que no está vacío) tienen la misma imagen bajo el mapa de momentos. Para aplicar esto, sea T = exp , un toro en G . Si X está en como antes, el mapa de momentos produce el mapa de proyección ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}$

\displaystyle {\mathrm {Ad} (G)\cdot X\rightarrow {\mathfrak {a}}.}

Sea τ la función τ( Y ) = − σ( Y ). La función anterior tiene la misma imagen que la del conjunto de puntos fijos de τ, es decir, Ad( K )⋅ X . Su imagen es el politopo convexo con vértices que son la imagen del conjunto de puntos fijos de T sobre Ad( G )⋅ X , es decir, los puntos w ( X ) para w en W = N _K ( T )/C _K ( T ).

Direcciones adicionales

En Kostant (1973) el teorema de convexidad se deduce de un teorema de convexidad más general concerniente a la proyección sobre el componente A en la descomposición de Iwasawa G = KAN de un grupo de Lie semisimple real G . El resultado discutido anteriormente para grupos de Lie compactos K corresponde al caso especial cuando G es la complejización de K : en este caso el álgebra de Lie de A puede identificarse con . La versión más general del teorema de Kostant también ha sido generalizada a espacios simétricos semisimples por van den Ban (1986). Kac y Peterson (1984) dieron una generalización para grupos de dimensión infinita. $i{\mathfrak {t}}$

Notas

^
Ver:
- Humphreys 1997
- Duistermaat y Kolk 2000

Referencias

Atiyah, MF (1982), "Convexidad y hamiltonianos conmutativos", Bull. London Math. Soc. , 14 : 1–15, CiteSeerX 10.1.1.396.48 , doi :10.1112/blms/14.1.1
Duistermaat, JJ (1983), "Convexidad y rigidez para restricciones de funciones hamiltonianas a conjuntos de puntos fijos de una involución antisimpléctica", Trans. Amer. Math. Soc. , 275 : 417–429, doi : 10.1090/s0002-9947-1983-0678361-2
Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), Grupos de mentiras , Universitext, Springer, ISBN 978-3540152934
Guillemin, V.; Sternberg, S. (1982), "Propiedades de convexidad del mapeo de momentos", Invent. Math. , 67 (3): 491–513, doi :10.1007/bf01398933
Helgason, Sigurdur (1984), Grupos y análisis geométrico: geometría integral, operadores diferenciales invariantes y funciones esféricas, Academic Press, págs. 473–476, ISBN 978-0-12-338301-3
Hilgert, Joaquín; Hofmann, Karl Heinrich; Lawson, Jimmie D. (1989), Grupos de Lie, conos convexos y semigrupos , Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853569-0
Heckman, GJ (1982), "Proyecciones de órbitas y comportamiento asintótico de multiplicidades para grupos de Lie compactos y conexos", Invent. Math. , 67 (2): 333–356, doi :10.1007/bf01393821
Horn, Alfred (1954), "Matrices doblemente estocásticas y la diagonal de una matriz de rotación", Amer. J. Math. , 76 (3): 620–630, doi :10.2307/2372705, JSTOR 2372705
Humphreys, James E. (1997), Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 9 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3540900535
Kac, VG; Peterson, DH (1984), "Estructura unitaria en representaciones de grupos de dimensión infinita y un teorema de convexidad", Invent. Math. , 76 : 1–14, doi :10.1007/bf01388487, hdl : 2027.42/46611
Kostant, Bertram (1973), "Sobre la convexidad, el grupo Weyl y la descomposición de Iwasawa", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 6 (4): 413–455, doi : 10.24033/asens.1254 , ISSN 0012-9593, SEÑOR 0364552
Schur, I. (1923), "Uber eine Klasse von Mittelbildungen mit Anwendungen auf der Determinanten Theorie", Sitzungsberichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft , 22 : 9-20
Tam, T.; Liu, X. (2018). Desigualdades matriciales y sus extensiones a grupos de Lie . Estados Unidos: CRC Press. ISBN 9780429889288.
Thompson, Colin J. (1972), "Desigualdades y órdenes parciales en espacios matriciales", Indiana Univ. Math. J. , 21 (5): 469–480, doi : 10.1512/iumj.1972.21.21037
van den Ban, Erik P. (1986), "Un teorema de convexidad para espacios simétricos semisimples", Pacific J. Math. , 124 : 21–55, doi : 10.2140/pjm.1986.124.21
Wildberger, NJ (1993), "Diagonalización en álgebras de Lie compactas y una nueva prueba de un teorema de Kostant", Proc. Amer. Math. Soc. , 119 (2): 649–655, doi : 10.1090/s0002-9939-1993-1151817-6
Ziegler, François (1992), "Sobre el teorema de la convexidad de Kostant", Proc. América. Matemáticas. Soc. , 115 (4): 1111–1113, doi : 10.1090/s0002-9939-1992-1111441-7