La ambigüedad de Gribov

Ambigüedad en la fijación del calibre

En la teoría de gauge , especialmente en las teorías de gauge no abelianas , a menudo se encuentran problemas globales en la fijación de gauge . La fijación de gauge significa elegir un representante de cada órbita de gauge , es decir, elegir una sección de un haz de fibras . El espacio de representantes es una subvariedad (del haz en su totalidad) y representa la condición de fijación de gauge. Idealmente, cada órbita de gauge intersectará esta subvariedad una y solo una vez. Desafortunadamente, esto es a menudo imposible globalmente para las teorías de gauge no abelianas debido a obstrucciones topológicas y lo mejor que se puede hacer es hacer que esta condición sea verdadera localmente. Una subvariedad de fijación de gauge puede no intersecar una órbita de gauge en absoluto o puede intersectarla más de una vez. La dificultad surge porque la condición de fijación de gauge generalmente se especifica como una ecuación diferencial de algún tipo, por ejemplo, que una divergencia se desvanece (como en el gauge de Landau o Lorenz ). Las soluciones a esta ecuación pueden terminar especificando múltiples secciones, o quizás ninguna en absoluto. Esto se llama ambigüedad de Gribov (nombrada en honor a Vladimir Gribov ).

Las ambigüedades de Gribov conducen , entre otras cosas, a una falla no perturbativa de la simetría BRST .

Una forma de resolver el problema de la ambigüedad de Gribov es restringir las integrales funcionales relevantes a una única región de Gribov cuyo límite se denomina horizonte de Gribov . Sin embargo, se puede demostrar que este problema no se resuelve ni siquiera al reducir la región a la primera región de Gribov . La única región para la que se resuelve esta ambigüedad es la región modular fundamental ( FMR ).

Fondo

Al realizar cálculos en teorías de calibre, normalmente es necesario elegir un calibre. Los grados de libertad de calibre no tienen ningún significado físico directo, sino que son un artefacto de la descripción matemática que utilizamos para manejar la teoría en cuestión. Para obtener resultados físicos, estos grados de libertad redundantes deben descartarse de una manera adecuada.

En la teoría de calibre abeliana (es decir, en la QED ) basta con elegir un calibre. Uno de los más populares es el calibre de Lorenz , que tiene la ventaja de ser invariante respecto de Lorentz . En las teorías de calibre no abelianas (como la QCD ) la situación es más complicada debido a la estructura más compleja del grupo de calibre no abeliano. ${\displaystyle \partial ^{\mu }A_{\mu }=0}$

El formalismo de Faddeev-Popov, desarrollado por Ludvig Faddeev y Victor Popov , proporciona una forma de abordar la elección de calibre en teorías no abelianas. Este formalismo introduce el operador de Faddeev-Popov, que es esencialmente el determinante jacobiano de la transformación necesaria para llevar el campo de calibre al calibre deseado. En el llamado calibre de Landau ^{[nota 1]} , este operador tiene la forma ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\;,}$

donde es la derivada covariante en la representación adjunta. El determinante de este operador de Faddeev-Popov se introduce luego en la integral de trayectoria utilizando campos fantasma . ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}}$

Este formalismo, sin embargo, supone que la elección de calibración (como ) es única, es decir, para cada configuración física existe exactamente una que le corresponde y que obedece la condición de calibración. Sin embargo, en las teorías de calibración no abelianas del tipo de Yang-Mills, este no es el caso para una gran clase de calibración, ^{[1] [2] [3]} como señaló por primera vez Gribov. ^[4] ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$

La construcción de Gribov

Gribov se planteó la cuestión de cuántas copias de esta configuración cumplen la condición de Landau, dada una determinada configuración física . No se conocen configuraciones sin representantes. ^[5] Sin embargo, es perfectamente posible que haya más de una. ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }^{a}=0}$

Consideremos dos campos de calibración y , y supongamos que ambos cumplen la condición de calibración de Landau. Si es una copia de calibración de , tendríamos (suponiendo que están infinitesimalmente cerca uno del otro): ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$ ${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'}$ ${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'}$ ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$

${\displaystyle {A_{\mu }^{a}}'=A_{\mu }^{a}+{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}}$

para alguna función . ^{[nota 2]} Si ambos campos obedecen la condición de calibre de Landau, debemos tener que ${\displaystyle \omega ^{b}}$

${\displaystyle \partial _{\mu }{\mathcal {D}}_{\mu }^{ab}\omega ^{b}=0\;,}$

y por lo tanto que el operador Faddeev–Popov tiene al menos un modo cero. ^[5] Si el campo de calibración es infinitesimalmente pequeño, este operador no tendrá modos cero. El conjunto de campos de calibración donde el operador Faddeev–Popov tiene su primer modo cero (cuando comienza desde el origen) se llama "horizonte de Gribov". El conjunto de todos los campos de calibración donde el operador Faddeev–Popov no tiene modos cero (lo que significa que este operador es definido positivo) se llama "primera región de Gribov" . ^[6] ${\displaystyle \Omega }$

Si los campos de calibración tienen copias de calibración, estos campos se contabilizarán en exceso en la integral de trayectoria. Para contrarrestar ese recuento excesivo, Gribov argumentó que deberíamos limitar la integral de trayectoria a la primera región de Gribov. Para ello, consideró el propagador fantasma, que es el valor esperado en vacío de la inversa del operador de Faddeev-Popov. Si este operador es siempre definido positivo, el propagador fantasma no puede tener polos, lo que se denomina "condición de no polo". En la teoría de perturbaciones habitual (utilizando el formalismo habitual de Faddeev-Popov), el propagador sí tiene un polo, lo que significa que dejamos la primera región de Gribov y contamos en exceso algunas configuraciones. ^[7]

Al derivar una expresión perturbativa para el propagador fantasma, Gribov descubre que esta condición de no polo conduce a una condición de la forma ^{[7] [8]}

${\displaystyle \langle \sigma [A]\rangle =\left\langle {\frac {Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}\int {\frac {d^{d}q}{(2\pi )^{d}}}A_{\mu }^{a}(-q){\frac {1}{q^{2}}}A_{\mu }^{a}(q)\right\rangle <1\;,}$

donde N es el número de colores (que es 3 en QCD), g la fuerza de acoplamiento de calibración, V el volumen del espacio-tiempo (que tiende al infinito en la mayoría de las aplicaciones) y d el número de dimensiones del espacio-tiempo (que es 4 en el mundo real). El funcional es una abreviatura de la expresión entre los corchetes angulares. Para imponer esta condición, Gribov propuso introducir una función de paso de Heaviside que contuviera lo anterior en la integral de trayectoria. La representación de Fourier de la función de Heaviside es: ${\displaystyle \sigma [A]}$

${\displaystyle H(1-\sigma [A])=\int _{-i\infty +\epsilon }^{+i\infty +\epsilon }{\frac {d\beta }{2\pi i\beta }}e^{\beta (1-\sigma [A])}\;.}$

En esta expresión, el parámetro se denomina "parámetro de Gribov". La integración sobre este parámetro de Gribov se realiza luego utilizando el método de descenso más pronunciado . Este método da una ecuación para el parámetro de Gribov, que se denomina ecuación de brecha. Al introducir la solución de esta ecuación en la integral de trayectoria se obtiene una teoría de calibración modificada. ${\displaystyle \beta }$

Con la modificación derivada del parámetro Gribov, resulta que el propagador de gluones se modifica a ^{[7] [9]}

${\displaystyle D_{\mu \nu }^{ab}(k)=\delta ^{ab}\left(\delta _{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}\right){\frac {1}{k^{2}+{\frac {2Ng^{2}}{Vd(N^{2}-1)}}{\frac {\beta _{0}}{k^{2}}}}}\;,}$

donde es el valor de que resuelve la ecuación de gap. El propagador fantasma también se modifica y, en el orden de un bucle, muestra un comportamiento . ^[10] ${\displaystyle \beta _{0}}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \propto 1/k^{4}}$

La acción Gribov-Zwanziger

Varios años después, Daniel Zwanziger también consideró el problema de Gribov. Utilizó un enfoque diferente. En lugar de considerar el propagador fantasma, calculó el valor propio más bajo del operador de Faddeev-Popov como una serie perturbativa en el campo de gluones. Esto produjo una cierta función, que llamó la "función horizonte", y el valor esperado de vacío de esta función horizonte debe limitarse a, como máximo, uno para permanecer dentro de la primera región de Gribov. ^[11] Esta condición se puede expresar introduciendo la función horizonte en la integral de trayectoria (de una manera análoga a cómo Gribov hizo lo mismo) e imponiendo una cierta ecuación de brecha en la energía de vacío de la teoría resultante. ^[12] Esto produjo una nueva integral de trayectoria con una acción modificada, que es, sin embargo, no local. En el orden principal, los resultados son idénticos a los encontrados previamente por Gribov.

Para poder manejar más fácilmente la acción que encontró, Zwanziger introdujo campos localizadores. Una vez que la acción se había vuelto local, fue posible demostrar que la teoría resultante es renormalizable ^[13] , es decir, todos los infinitos generados por los diagramas de bucles pueden absorberse modificando multiplicativamente el contenido (constante de acoplamiento, normalización de campo, parámetro de Gribov) ya presente en la teoría sin necesidad de adiciones adicionales.

Zwanziger señaló además que el propagador de gluones resultante no admite una representación espectral de Källén-Lehmann , lo que indica que el gluón ya no puede ser una partícula física. ^[13] Esto a menudo se interpreta como una señalización de confinamiento del color .

Propiedades de la primera región de Gribov

Como la primera región de Gribov desempeña un papel fundamental en la resolución de la ambigüedad de Gribov, ha atraído atención adicional a lo largo de los años desde el primer artículo de Gribov. El calibre de Landau puede definirse como el calibre que extrema la función

${\displaystyle ||A||^{2}=\int d^{d}xA_{\mu }^{a}(x)A_{\mu }^{a}(x)\;.}$

Un extremo simple (máximo o mínimo) de este funcional es el calibre de Landau habitual. Exigir un mínimo (que es equivalente a exigir que el operador de Faddeev-Popov sea positivo) nos lleva a la primera región de Gribov. ^[6]

Sin embargo, esta condición aún incluye mínimos relativos. Se ha demostrado que todavía hay copias de Gribov dentro de la primera región de Gribov que están relacionadas entre sí mediante una transformación de calibre topológicamente trivial. ^[14] El espacio de funciones de calibre que minimizan absolutamente la función definida anteriormente se denomina "región modular fundamental". Sin embargo, se desconoce cómo restringir la integral de trayectoria a esta región. ${\displaystyle ||A||^{2}}$

Se ha demostrado que la primera región de Gribov está limitada en todas las direcciones, ^[15] de modo que no se tienen en cuenta configuraciones de campo arbitrariamente grandes al restringir la integral de trayectoria a esta región. ^[16] Además, la primera región de Gribov es convexa y todas las configuraciones físicas tienen al menos un representante dentro de ella. ^[17]

Desarrollos posteriores

En 2013 se demostró que los dos formalismos, el de Gribov y el de Zwanziger, son equivalentes a todos los órdenes en la teoría de perturbaciones. ^[18]

Un desafío para el formalismo de Gribov-Zwanziger es que la simetría BRST está rota. ^[19] Esta ruptura puede interpretarse como una ruptura de simetría dinámica . ^[20] La ruptura es "suave" (es decir, proporcional a un parámetro con dimensión de masa positiva, en este caso el parámetro de Gribov), de modo que aún se puede demostrar la renormalización. Sin embargo, la unitaridad sigue siendo problemática. Más recientemente, sin embargo, se ha hecho en la literatura una afirmación de una acción Gribov-Zwanziger preservada por BRST.

Durante mucho tiempo, las simulaciones en red parecieron indicar que los propagadores de gluones y fantasmas modificados propuestos por Gribov y Zwanziger eran correctos. Sin embargo, en 2007, las computadoras se habían vuelto lo suficientemente fuertes como para investigar la región de momentos bajos, donde los propagadores están más modificados, y resultó que la imagen de Gribov-Zwanziger no es correcta. En cambio, el propagador de gluones pasa a un valor constante cuando el momento se lleva a cero, y el propagador de fantasmas todavía va como 1/ k ² en momentos bajos. ^[21] Este es el caso tanto para 3 como para 4 dimensiones espacio-temporales. ^[22] Se ha propuesto una solución a esta discrepancia, agregando condensados ​​a la acción de Gribov-Zwanziger. ^[23]

Notas

1. En la teoría de calibre cuántico, el término "calibre de Lorenz" generalmente se refiere a calibres más generales de la forma , donde la función generalmente se promedia. ${\displaystyle \partial _{\mu }A_{\mu }(x)=f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$
2. La derivada covariante aquí contiene el campo de calibre . ${\displaystyle A_{\mu }^{a}}$

Referencias

1. Cantante 1978.
2. Maas 2013, sección 2.4.
3. Vandersickel y Zwanziger 2012, pág. 178.
4. Gribov 1978.
5. Gribov 1978, sección 2.
6. Vandersickel y Zwanziger 2012, pág. 188.
7. Gribov 1978, sección 6.
8. Vandersickel 2011, sección 3.1.
9. Vandersickel y Zwanziger 2012, pág. 197.
10. Vandersickel y Zwanziger 2012, pág. 198.
11. Zwanziger 1989, sección 3.
12. Zwanziger 1989, sección 4.
13. Zwanziger 1989, sección 5.
14. van Baal 1992.
15. Dell'Antonio y Zwanziger 1989.
16. Maas 2013, pág. 211.
17. Vandersickel y Zwanziger 2012, pág. 189.
18. Capri y otros. 2013.
19. Vandersickel y Zwanziger 2012, pág. 2013.
20. Vandersickel y Zwanziger 2012, pág. 225.
21. Cucchieri y Mendes 2007.
22. Vandersickel y Zwanziger 2012, pág. 179.
23. Vandersickel y Zwanziger 2012, 4.2.

Fuentes

• Capri, Márcio AL; Dudal, David; Guimarães, Marcelo S.; Palhares, Letícia F.; Sorella, Silvio P. (2013). "Una prueba de todos los órdenes de la equivalencia entre las condiciones sin polos de Gribov y las condiciones del horizonte de Zwanziger". Física. Letón. B . 719 (4–5): 448–453. arXiv : 1212.2419 . Código Bib : 2013PhLB..719..448C. doi :10.1016/j.physletb.2013.01.039. S2CID  54216810.
• Cucchieri, Attilio; Mendes, Tereza (2007). "¿Qué pasa con los propagadores de gluones y fantasmas IR en el calibre de Landau? Una respuesta desconcertante a partir de enormes redes". PoS . LAT2007: 297. arXiv : 0710.0412 . Código Bibliográfico :2007slft.confE.297C.
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