Espacio interior del producto indefinido

En matemáticas , en el campo del análisis funcional , un espacio de producto interno indefinido

${\displaystyle (K,\langle \cdot ,\,\cdot \rangle ,J)}$

es un espacio vectorial complejo de dimensión infinita equipado con un producto interno indefinido ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle \,}$

y un producto interno semidefinido positivo

${\displaystyle (x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle ,}$

donde el operador métrico es un endomorfismo de obedecer ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle J^{3}=J.\,}$

El espacio de producto interno indefinido en sí no es necesariamente un espacio de Hilbert ; pero la existencia de un producto interno semidefinido positivo implica que se puede formar un espacio cociente en el que hay un producto interno definido positivo. Dada una topología lo suficientemente fuerte en este espacio cociente, tiene la estructura de un espacio de Hilbert, y muchos objetos de interés en aplicaciones típicas caen en este espacio cociente. ${\displaystyle K}$

Un espacio de producto interno indefinido se denomina espacio de Kerin (o -espacio ) si es definido positivo y posee una topología mayor. Los espacios de Kerin reciben su nombre en honor al matemático soviético Mark Grigorievich Kerin . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle (x,\,y)}$ ${\displaystyle K}$

Productos internos y el operador métrico

Consideremos un espacio vectorial complejo dotado de una forma hermítica indefinida . En la teoría de espacios de Kerin es habitual denominar a dicha forma hermítica un producto interno indefinido . Los siguientes subconjuntos se definen en términos de la norma cuadrada inducida por el producto interno indefinido: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle }$

${\displaystyle K_{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle =0\}}$("neutral")

${\displaystyle K_{++}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle >0\}}$("positivo")

${\displaystyle K_{--}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,x\rangle <0\}}$("negativo")

${\displaystyle K_{+0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{++}\cup K_{0}}$("no negativo")

${\displaystyle K_{-0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{--}\cup K_{0}}$("no positivo")

Un subespacio que se encuentra dentro de se llama subespacio neutro . De manera similar, un subespacio que se encuentra dentro de ( ) se llama semidefinido positivo ( negativo ) y un subespacio que se encuentra dentro de ( ) se llama definido positivo ( negativo ) . Un subespacio en cualquiera de las categorías anteriores puede llamarse semidefinido y cualquier subespacio que no sea semidefinido se llama indefinido . ${\displaystyle L\subset K}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle K_{+0}}$ ${\displaystyle K_{-0}}$ ${\displaystyle K_{++}\cup \{0\}}$ ${\displaystyle K_{--}\cup \{0\}}$

Sea nuestro espacio de producto interior indefinido también equipado con una descomposición en un par de subespacios , llamada descomposición fundamental , que respeta la estructura compleja en . Por lo tanto, los operadores de proyección lineal correspondientes coinciden con la identidad en y anulan , y conmutan con la multiplicación por la de la estructura compleja. Si esta descomposición es tal que y , entonces se llama espacio de producto interior indefinido ; si , entonces se llama espacio de Krein , sujeto a la existencia de una topología mayor en (una topología localmente convexa donde el producto interior es conjuntamente continuo). ${\displaystyle K=K_{+}\oplus K_{-}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle P_{\pm }}$ ${\displaystyle K_{\pm }}$ ${\displaystyle K_{\mp }}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle K_{+}\subset K_{+0}}$ ${\displaystyle K_{-}\subset K_{-0}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\pm }\subset K_{\pm \pm }\cup \{0\}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El operador se denomina operador métrico (de fase real) o simetría fundamental , y puede utilizarse para definir el producto interno de Hilbert : ${\displaystyle J\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ P_{+}-P_{-}}$ ${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$

${\displaystyle (x,\,y)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle x,\,Jy\rangle =\langle x,\,P_{+}y\rangle -\langle x,\,P_{-}y\rangle }$

En un espacio de Kerin, el producto interno de Hilbert es definido positivo, lo que da la estructura de un espacio de Hilbert (bajo una topología adecuada). Bajo la restricción más débil , algunos elementos del subespacio neutro aún pueden ser neutrales en el producto interno de Hilbert, pero muchos no lo son. Por ejemplo, los subespacios son parte del subespacio neutro del producto interno de Hilbert, porque un elemento obedece a . Pero un elemento ( ) que se encuentre en porque tendrá una norma cuadrada positiva bajo el producto interno de Hilbert. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K_{\pm }\subset K_{\pm 0}}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle K_{0}\cap K_{\pm }}$ ${\displaystyle k\in K_{0}\cap K_{\pm }}$ ${\displaystyle (k,\,k)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle k,\,Jk\rangle =\pm \langle k,\,k\rangle =0}$ ${\displaystyle k=k_{+}+k_{-}}$ ${\displaystyle k_{\pm }\in K_{\pm }}$ ${\displaystyle K_{0}}$ ${\displaystyle \langle k_{-},\,k_{-}\rangle =-\langle k_{+},\,k_{+}\rangle }$

Observamos que la definición del producto interno indefinido como forma hermítica implica que:

${\displaystyle \langle x,\,y\rangle ={\frac {1}{4}}(\langle x+y,\,x+y\rangle -\langle x-y,\,x-y\rangle )}$

(Nota: Esto no es correcto para formas hermíticas de valor complejo. Solo da la parte real). Por lo tanto, el producto interno indefinido de dos elementos cualesquiera que difieren solo en un elemento es igual a la norma cuadrada de su media . En consecuencia, el producto interno de cualquier elemento distinto de cero con cualquier otro elemento debe ser cero, para que no podamos construir alguno cuyo producto interno con tenga el signo incorrecto para ser la norma cuadrada de . ${\displaystyle x,\,y\in K}$ ${\displaystyle x-y\in K_{0}}$ ${\displaystyle {\frac {x+y}{2}}}$ ${\displaystyle k_{0}\in (K_{0}\cap K_{\pm })}$ ${\displaystyle k_{\pm }\in K_{\pm }}$ ${\displaystyle k_{\pm }+2\lambda k_{0}}$ ${\displaystyle k_{\pm }}$ ${\displaystyle k_{\pm }+\lambda k_{0}\in K_{\pm }}$

Argumentos similares sobre el producto interno de Hilbert (que puede demostrarse que es una forma hermítica, lo que justifica el nombre de "producto interno") llevan a la conclusión de que su espacio neutro es precisamente , que los elementos de este espacio neutro tienen un producto interno de Hilbert cero con cualquier elemento de , y que el producto interno de Hilbert es semidefinido positivo. Por lo tanto, induce un producto interno definido positivo (también denotado ) en el espacio cociente , que es la suma directa de . Por lo tanto, es un espacio de Hilbert (dada una topología adecuada). ${\displaystyle K_{00}=(K_{0}\cap K_{+})\oplus (K_{0}\cap K_{-})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K/K_{00}}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ K_{\pm }/(K_{0}\cap K_{\pm })}$ ${\displaystyle ({\tilde {K}},\,(\cdot ,\,\cdot ))}$

Propiedades y aplicaciones

Los espacios de Kerin surgen de manera natural en situaciones en las que el producto interno indefinido tiene una propiedad analíticamente útil (como la invariancia de Lorentz ) de la que carece el producto interno de Hilbert. También es común que uno de los dos productos internos, normalmente el indefinido, esté definido globalmente en una variedad y el otro sea dependiente de coordenadas y, por lo tanto, esté definido solo en una sección local.

En muchas aplicaciones, el producto interno semidefinido positivo depende de la descomposición fundamental elegida, que, en general, no es única. Pero se puede demostrar (por ejemplo, cf. Proposición 1.1 y 1.2 en el artículo de H. Langer a continuación) que dos operadores métricos cualesquiera y compatibles con el mismo producto interno indefinido en dan como resultado espacios de Hilbert y cuyas descomposiciones y tienen dimensiones iguales. Aunque los productos internos de Hilbert en estos espacios cocientes no coinciden generalmente, inducen normas cuadradas idénticas, en el sentido de que las normas cuadradas de las clases de equivalencia y en las que se encuentra un dado si son iguales. Todas las nociones topológicas en un espacio de Kerin, como la continuidad , la cerrazón de los conjuntos y el espectro de un operador en , se entienden con respecto a esta topología del espacio de Hilbert . ${\displaystyle (\cdot ,\,\cdot )}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J^{\prime }}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}^{\prime }}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}_{\pm }^{\prime }}$ ${\displaystyle {\tilde {k}}\in {\tilde {K}}}$ ${\displaystyle {\tilde {k}}^{\prime }\in {\tilde {K}}^{\prime }}$ ${\displaystyle k\in K}$ ${\displaystyle {\tilde {K}}}$

Parte isótropa y subespacios degenerados

Sean , , subespacios de . El subespacio para todos se llama compañero ortogonal de , y es la parte isótropa de . Si , se llama no degenerado ; en caso contrario, es degenerado . Si para todos , entonces se dice que los dos subespacios son ortogonales , y escribimos . Si donde , escribimos . Si, además, esta es una suma directa , escribimos . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L^{[\perp ]}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \{x\in K:\langle x,\,y\rangle =0}$ ${\displaystyle y\in L\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{0}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ L\cap L^{[\perp ]}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L^{0}=\{0\}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \langle x,\,y\rangle =0}$ ${\displaystyle x\in L_{1},\,\,y\in L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}[\perp ]L_{2}}$ ${\displaystyle L=L_{1}+L_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}[\perp ]L_{2}}$ ${\displaystyle L=L_{1}[+]L_{2}}$ ${\displaystyle L=L_{1}[{\dot {+}}]L_{2}}$

Espacio de Pontryagin

Si , el espacio de Kerin se llama espacio de Pontryagin o espacio - . (Convencionalmente, al producto interno indefinido se le da el signo que lo hace finito.) En este caso se conoce como el número de cuadrados positivos de . Los espacios de Pontryagin reciben su nombre de Lev Semenovich Pontryagin . ${\displaystyle \kappa :=\min\{\dim K_{+},\dim K_{-}\}<\infty }$ ${\displaystyle (K,\langle \cdot ,\,\cdot \rangle ,J)}$ ${\displaystyle \Pi _{\kappa }}$ ${\displaystyle \dim K_{+}}$ ${\displaystyle \dim K_{+}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle }$

Operador de pesos

Un operador simétrico A en un espacio de producto interno indefinido K con dominio K se llama operador Pesonen si ( x , x ) = 0 = ( x , Ax ) implica x = 0.

Referencias

• Azizov, T.Ya.; Iokhvidov, IS : Operadores lineales en espacios con una métrica indefinida , John Wiley & Sons, Chichester, 1989, ISBN  0-471-92129-7 .
• Bognár, J.: Espacios de producto interior indefinidos , Springer-Verlag, Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1974, ISBN 3-540-06202-5 . 
• Langer, H. (2001) [1994], "Espacio de Kerin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Langer, H. : Funciones espectrales de operadores definitizables en espacios de Krein , Actas de análisis funcional de una conferencia celebrada en Dubrovnik, Yugoslavia, del 2 al 14 de noviembre de 1981, Lecture Notes in Mathematics, 948 , Springer-Verlag Berlín-Heidelberg-Nueva York, 1982, 1-46, ISSN  0075-8434.
• Nikol'skii, NK; Pavlov, BS (2001) [1994], "Espacio de Hilbert con una métrica indefinida", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Nikol'skii, NK; Pavlov, BS (2001) [1994], "Espacio de Pontriagin", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press