Las finanzas matemáticas , también conocidas como finanzas cuantitativas y matemáticas financieras , son un campo de las matemáticas aplicadas que se ocupa del modelado matemático de los mercados financieros .
En general, existen dos ramas distintas de las finanzas que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: la fijación de precios de derivados, por un lado, y la gestión de riesgos y carteras, por el otro. [1] Las finanzas matemáticas se superponen en gran medida con los campos de las finanzas computacionales y la ingeniería financiera . Este último se centra en aplicaciones y modelado, a menudo con la ayuda de modelos estocásticos de activos , mientras que el primero se centra, además del análisis, en la construcción de herramientas de implementación para los modelos. También está relacionada la inversión cuantitativa , que se basa en modelos estadísticos y numéricos (y últimamente en el aprendizaje automático ) en contraposición al análisis fundamental tradicional a la hora de gestionar carteras .
La tesis doctoral del matemático francés Louis Bachelier , defendida en 1900, se considera el primer trabajo académico sobre finanzas matemáticas. Pero las finanzas matemáticas surgieron como disciplina en la década de 1970, tras el trabajo de Fischer Black , Myron Scholes y Robert Merton sobre la teoría de la fijación de precios de opciones. La inversión matemática se originó a partir de la investigación del matemático Edward Thorp , quien utilizó métodos estadísticos para inventar primero el conteo de cartas en el blackjack y luego aplicó sus principios a la inversión sistemática moderna. [2]
La materia tiene una estrecha relación con la disciplina de la economía financiera , que se ocupa de gran parte de la teoría subyacente involucrada en las matemáticas financieras. Mientras que los economistas capacitados utilizan modelos económicos complejos que se basan en relaciones empíricas observadas, por el contrario, el análisis financiero matemático derivará y ampliará los modelos matemáticos o numéricos sin necesariamente establecer un vínculo con la teoría financiera, tomando como insumo los precios de mercado observados. Ver: Valoración de opciones ; Modelamiento financiero ; Fijación de precios de activos . El teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje es uno de los teoremas clave en finanzas matemáticas, mientras que la ecuación y fórmula de Black-Scholes se encuentran entre los resultados clave. [3]
Hoy en día, muchas universidades ofrecen programas de grado y de investigación en finanzas matemáticas.
Hay dos ramas distintas de las finanzas que requieren técnicas cuantitativas avanzadas: fijación de precios de derivados y gestión de riesgos y carteras. Una de las principales diferencias es que utilizan diferentes probabilidades, como la probabilidad neutral al riesgo (o probabilidad de fijación de precios de arbitraje), denotada por "Q", y la probabilidad real (o actuarial), denotada por "P".
El objetivo de la fijación de precios de derivados es determinar el precio justo de un valor determinado en términos de valores más líquidos cuyo precio está determinado por la ley de la oferta y la demanda . El significado de "justo" depende, por supuesto, de si uno considera comprar o vender el valor. Ejemplos de valores cuyo precio se cotiza son opciones simples y exóticas , bonos convertibles , etc.
Una vez que se ha determinado un precio justo, el operador vendedor puede crear un mercado para el valor. Por lo tanto, la fijación de precios de derivados es un complejo ejercicio de "extrapolación" para definir el valor de mercado actual de un título, que luego es utilizado por la comunidad de vendedores. La fijación de precios de derivados cuantitativos fue iniciada por Louis Bachelier en La teoría de la especulación ("Théorie de la spéculation", publicada en 1900), con la introducción del proceso más básico y más influyente, el movimiento browniano , y sus aplicaciones a la fijación de precios de opciones. [4] [5] El movimiento browniano se deriva utilizando la ecuación de Langevin y el paseo aleatorio discreto . [6] Bachelier modeló la serie temporal de cambios en el logaritmo de los precios de las acciones como un paseo aleatorio en el que los cambios a corto plazo tenían una varianza finita . Esto provoca que los cambios a más largo plazo sigan una distribución gaussiana . [7]
La teoría permaneció latente hasta que Fischer Black y Myron Scholes , junto con las contribuciones fundamentales de Robert C. Merton , aplicaron el segundo proceso más influyente, el movimiento browniano geométrico , a la fijación de precios de opciones . Por esto M. Scholes y R. Merton recibieron en 1997 el Premio Nobel de Ciencias Económicas . Black no era elegible para el premio porque murió en 1995. [8]
El siguiente paso importante fue el teorema fundamental de fijación de precios de activos de Harrison y Pliska (1981), según el cual el precio corriente adecuadamente normalizado P 0 de un título está libre de arbitraje y, por lo tanto, es verdaderamente justo sólo si existe un proceso estocástico P t con valor esperado constante que describe su evolución futura: [9]
Un proceso que satisface ( 1 ) se llama " martingala ". Una martingala no premia el riesgo. Por lo tanto, la probabilidad del proceso normalizado de precios de valores se denomina "neutral al riesgo" y normalmente se indica con la letra de pizarra " ".
La relación ( 1 ) debe mantenerse para todos los tiempos t: por lo tanto, los procesos utilizados para la fijación de precios de derivados se establecen naturalmente en un tiempo continuo.
Los cuantos que operan en el mundo Q de la fijación de precios de derivados son especialistas con un profundo conocimiento de los productos específicos que modelan.
Los valores tienen un precio individual y, por tanto, los problemas en el mundo Q son de baja dimensión por naturaleza. La calibración es uno de los principales desafíos del mundo Q: una vez que un proceso paramétrico de tiempo continuo ha sido calibrado para un conjunto de valores negociados a través de una relación como ( 1 ), se utiliza una relación similar para definir el precio de nuevos derivados.
Las principales herramientas cuantitativas necesarias para manejar procesos Q en tiempo continuo son el cálculo estocástico , la simulación y las ecuaciones diferenciales parciales (PDE) de Itô . [10]
La gestión de riesgos y carteras tiene como objetivo modelar la distribución de probabilidad derivada estadísticamente de los precios de mercado de todos los valores en un horizonte de inversión futuro determinado.
Esta distribución de probabilidad "real" de los precios de mercado normalmente se indica con la letra de pizarra " " , a diferencia de la probabilidad "neutral al riesgo" " " utilizada en la fijación de precios de derivados. A partir de la distribución P, la comunidad compradora toma decisiones sobre qué valores comprar para mejorar el perfil prospectivo de pérdidas y ganancias de sus posiciones consideradas como cartera. Cada vez más, los elementos de este proceso están automatizados; consulte Esquema de finanzas § Inversión cuantitativa para obtener una lista de artículos relevantes.
Por su trabajo pionero, Markowitz y Sharpe , junto con Merton Miller , compartieron el Premio Nobel de Ciencias Económicas de 1990 , otorgado por primera vez por un trabajo en finanzas.
El trabajo de selección de carteras de Markowitz y Sharpe introdujo las matemáticas en la gestión de inversiones . Con el tiempo, las matemáticas se han vuelto más sofisticadas. Gracias a Robert Merton y Paul Samuelson, los modelos de un período fueron reemplazados por modelos de movimiento browniano de tiempo continuo , y la función de utilidad cuadrática implícita en la optimización de media-varianza fue reemplazada por funciones de utilidad cóncavas crecientes más generales. [11] Además, en los últimos años la atención se ha desplazado hacia el riesgo de estimación, es decir, los peligros de asumir incorrectamente que el análisis avanzado de series de tiempo por sí solo puede proporcionar estimaciones completamente precisas de los parámetros del mercado. [12] Ver Gestión de riesgos financieros § Gestión de inversiones .
Se han dedicado muchos esfuerzos al estudio de los mercados financieros y de cómo los precios varían con el tiempo. Charles Dow , uno de los fundadores de Dow Jones & Company y The Wall Street Journal , enunció un conjunto de ideas sobre el tema que hoy se denomina Teoría de Dow . Ésta es la base del llamado método de análisis técnico , que intenta predecir cambios futuros. Uno de los principios del "análisis técnico" es que las tendencias del mercado dan una indicación del futuro, al menos a corto plazo. Muchos académicos cuestionan las afirmaciones de los analistas técnicos. [ cita necesaria ]
Las consecuencias de la crisis financiera de 2009, así como los múltiples Flash Crashes de principios de la década de 2010, provocaron disturbios sociales en la población general y malestares éticos en la comunidad científica que desencadenaron cambios notables en las finanzas cuantitativas (QF). Más específicamente, se ordenó a las finanzas matemáticas que cambiaran y se volvieran más realistas en lugar de más convenientes. El auge simultáneo de Big data y Data Science contribuyó a facilitar estos cambios. Más específicamente, en términos de definición de nuevos modelos, vimos un aumento significativo en el uso de Machine Learning , superando a los modelos tradicionales de Finanzas Matemáticas. [13]
A lo largo de los años, se han desarrollado modelos matemáticos y estrategias de fijación de precios de derivados cada vez más sofisticados, pero su credibilidad se vio dañada por la crisis financiera de 2007-2010 . La práctica contemporánea de las finanzas matemáticas ha sido objeto de críticas por parte de figuras dentro del campo, especialmente por Paul Wilmott y Nassim Nicholas Taleb , en su libro The Black Swan . [14] Taleb afirma que los precios de los activos financieros no pueden caracterizarse mediante los modelos simples actualmente en uso, lo que hace que gran parte de las prácticas actuales, en el mejor de los casos, sean irrelevantes y, en el peor, peligrosamente engañosas. Wilmott y Emanuel Derman publicaron el Manifiesto de los modeladores financieros en enero de 2009 [15] , que aborda algunas de las preocupaciones más graves. Organismos como el Instituto para el Nuevo Pensamiento Económico están intentando desarrollar nuevas teorías y métodos. [dieciséis]
En general, se dice cada vez más que modelar los cambios mediante distribuciones con varianza finita es inapropiado. [17] En la década de 1960 , Benoit Mandelbrot descubrió que los cambios en los precios no siguen una distribución gaussiana , sino que se modelan mejor mediante distribuciones alfaestables de Lévy . [18] La escala del cambio, o volatilidad, depende de la duración del intervalo de tiempo elevado a una potencia de un poco más de 1/2. Es más probable que se produzcan grandes cambios hacia arriba o hacia abajo que lo que se calcularía utilizando una distribución gaussiana con una desviación estándar estimada . Pero el problema es que no resuelve el problema, ya que hace que la parametrización sea mucho más difícil y el control de riesgos sea menos confiable. [14]
Quizás lo más fundamental: si bien los modelos financieros matemáticos pueden generar ganancias en el corto plazo, este tipo de modelado a menudo entra en conflicto con un principio central de la macroeconomía moderna, la crítica de Lucas -o expectativas racionales- que afirma que las relaciones observadas pueden no ser son de naturaleza estructural y, por lo tanto, puede que no sea posible explotarlos para políticas públicas o con fines de lucro a menos que hayamos identificado relaciones utilizando análisis causal y econometría . [19] Los modelos financieros matemáticos, por lo tanto, no incorporan elementos complejos de la psicología humana que son críticos para modelar los movimientos macroeconómicos modernos, como el pánico autocumplido que motiva las corridas bancarias .
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