En finanzas , el modelo binomial de valoración de opciones ( BOPM ) proporciona un método numérico generalizable para la valoración de opciones . Esencialmente, el modelo utiliza un modelo de "tiempo discreto" ( basado en celosía ) del precio variable a lo largo del tiempo del instrumento financiero subyacente , abordando casos en los que falta la fórmula cerrada de Black-Scholes .
El modelo binomial fue propuesto por primera vez por William Sharpe en la edición de 1978 de Investments ( ISBN 013504605X ), [1] y formalizado por Cox , Ross y Rubinstein en 1979 [2] y por Rendleman y Bartter en ese mismo año. [3]
Para ver árboles binomiales aplicados a derivados de renta fija y tipos de interés, consulte Modelo de celosía (finanzas) § Derivados de tipos de interés .
El enfoque del modelo de valoración de opciones binomiales se ha utilizado ampliamente porque es capaz de manejar una variedad de condiciones para las cuales otros modelos no se pueden aplicar fácilmente. Esto se debe en gran medida a que el BOPM se basa en la descripción de un instrumento subyacente durante un período de tiempo y no en un solo punto. En consecuencia, se utiliza para valorar opciones americanas que son ejercitables en cualquier momento en un intervalo determinado, así como opciones de Bermudas que son ejercitables en momentos específicos. Al ser relativamente simple, el modelo se puede implementar fácilmente en software de computadora (incluida una hoja de cálculo ).
Aunque computacionalmente es más lenta que la fórmula de Black-Scholes , es más precisa, particularmente para opciones a más largo plazo sobre valores con pago de dividendos . Por estas razones, los profesionales de los mercados de opciones utilizan ampliamente varias versiones del modelo binomial. [ cita necesaria ]
Para opciones con varias fuentes de incertidumbre (por ejemplo, opciones reales ) y para opciones con características complicadas (por ejemplo, opciones asiáticas ), los métodos binomiales son menos prácticos debido a varias dificultades, y en su lugar se utilizan comúnmente modelos de opciones de Monte Carlo . Al simular una pequeña cantidad de pasos de tiempo, la simulación Monte Carlo consumirá más tiempo computacional que BOPM (consulte los métodos Monte Carlo en finanzas ). Sin embargo, el peor tiempo de ejecución de BOPM será O(2 n ) , donde n es el número de pasos de tiempo en la simulación. Las simulaciones de Monte Carlo generalmente tendrán una complejidad de tiempo polinomial y serán más rápidas para una gran cantidad de pasos de simulación. Las simulaciones de Monte Carlo también son menos susceptibles a errores de muestreo, ya que las técnicas binomiales utilizan unidades de tiempo discretas. Esto se vuelve más cierto cuanto más pequeñas se vuelven las unidades discretas.
El modelo de fijación de precios binomial rastrea la evolución de las variables subyacentes clave de la opción en tiempo discreto. Esto se realiza mediante una red binomial (Árbol), durante un número de pasos de tiempo entre las fechas de valoración y vencimiento. Cada nodo de la red representa un posible precio del subyacente en un momento dado.
La valoración se realiza de forma iterativa, comenzando en cada uno de los nodos finales (aquellos que se pueden alcanzar en el momento del vencimiento) y luego avanzando hacia atrás a través del árbol hasta el primer nodo (fecha de valoración). El valor calculado en cada etapa es el valor de la opción en ese momento.
La valoración de opciones utilizando este método es, como se describe, un proceso de tres pasos:
El árbol de precios se produce avanzando desde la fecha de valoración hasta el vencimiento.
En cada paso, se supone que el instrumento subyacente subirá o bajará en un factor específico ( o ) por paso del árbol (donde, por definición, y ). Entonces, si es el precio actual, en el próximo período el precio será o .
Los factores de subida y bajada se calculan utilizando la volatilidad subyacente , y la duración de un paso, medida en años (utilizando la convención de recuento de días del instrumento subyacente). De la condición de que la varianza del logaritmo del precio sea , tenemos:
Arriba está el método original de Cox, Ross y Rubinstein (CRR); Existen otras técnicas para generar la red, como el árbol de "igualdad de probabilidades", consulte. [4] [5]
El método CRR garantiza que el árbol sea recombinante, es decir, si el activo subyacente sube y luego baja (u,d), el precio será el mismo que si se hubiera movido hacia abajo y luego hacia arriba (d,u). Los caminos se fusionan o recombinan. Esta propiedad reduce el número de nodos del árbol y, por tanto, acelera el cálculo del precio de la opción.
Esta propiedad también permite que el valor del activo subyacente en cada nodo se calcule directamente mediante una fórmula y no requiere que el árbol se construya primero. El valor del nodo será:
¿Dónde está el número de ticks ascendentes y el número de ticks bajistas?
En cada nodo final del árbol, es decir, al vencimiento de la opción, el valor de la opción es simplemente su valor intrínseco o de ejercicio:
Donde K es el precio de ejercicio y es el precio al contado del activo subyacente en el enésimo período .
Una vez que se completa el paso anterior, se encuentra el valor de la opción para cada nodo, comenzando en el penúltimo paso de tiempo y regresando al primer nodo del árbol (la fecha de valoración) donde el resultado calculado es el valor de la opción.
En resumen: el "valor binomial" se encuentra en cada nodo, utilizando el supuesto de neutralidad del riesgo ; consulte Valoración neutral al riesgo . Si se permite el ejercicio en el nodo, entonces el modelo toma el mayor entre el valor binomial y el de ejercicio en el nodo.
Los pasos son los siguientes:
Al calcular el valor en el siguiente paso de tiempo calculado (es decir, un paso más cerca de la valoración), el modelo debe utilizar el valor seleccionado aquí, para "Opción arriba"/"Opción abajo", según corresponda, en la fórmula del nodo. El algoritmo aparte demuestra el enfoque que calcula el precio de una opción de venta estadounidense, aunque se generaliza fácilmente para opciones de compra y para opciones europeas y de Bermudas:
Supuestos similares sustentan tanto el modelo binomial como el modelo de Black-Scholes , por lo que el modelo binomial proporciona una aproximación en tiempo discreto al proceso continuo subyacente al modelo de Black-Scholes. El modelo binomial supone que los movimientos del precio siguen una distribución binomial ; para muchos ensayos, esta distribución binomial se acerca a la distribución log-normal asumida por Black-Scholes. Entonces, en este caso, para las opciones europeas sin dividendos, el valor del modelo binomial converge con el valor de la fórmula de Black-Scholes a medida que aumenta el número de pasos de tiempo. [4] [5]
Además, cuando se analiza como un procedimiento numérico, el método binomial CRR puede verse como un caso especial del método explícito de diferencias finitas para la EDP de Black-Scholes ; consulte los métodos de diferencias finitas para la valoración de opciones . [6]