La fijación racional de precios es el supuesto de la economía financiera de que los precios de los activos (y, por lo tanto, los modelos de fijación de precios de los mismos ) reflejarán el precio libre de arbitraje del activo, ya que cualquier desviación de este precio será "arbitrada". Este supuesto es útil para fijar precios de títulos de renta fija, en particular bonos, y es fundamental para fijar precios de instrumentos derivados.
El arbitraje es la práctica de aprovechar un desequilibrio entre dos (o posiblemente más) mercados. Cuando se puede aprovechar este desequilibrio (es decir, después de descontar los costos de transacción, los costos de almacenamiento, los costos de transporte, los dividendos, etc.), el arbitrajista puede "asegurarse" una ganancia sin riesgo comprando y vendiendo simultáneamente en ambos mercados.
En general, el arbitraje garantiza que se cumpla "la ley del precio único "; el arbitraje también iguala los precios de los activos con flujos de efectivo idénticos y fija el precio de los activos con flujos de efectivo futuros conocidos.
El mismo activo debe cotizarse al mismo precio en todos los mercados (" ley del precio único "). Cuando esto no sea así, el arbitrajista:
Dos activos con flujos de efectivo idénticos deben negociarse al mismo precio. Cuando esto no sea así, el arbitrajista:
Un activo con un precio conocido en el futuro debe negociarse hoy a ese precio descontado a la tasa libre de riesgo .
Nótese que esta condición puede verse como una aplicación de la anterior, donde los dos activos en cuestión son el activo a entregar y el activo libre de riesgo.
(a) cuando el precio futuro descontado sea mayor que el precio actual:
(b) cuando el precio futuro descontado sea inferior al precio actual:
El punto (b) sólo es posible para quienes poseen el activo pero no lo necesitan hasta la fecha futura. Puede haber pocas partes de ese tipo si la demanda a corto plazo supera la oferta, lo que lleva a una contracción .
La fijación de precios racionales es un enfoque utilizado para fijar el precio de los bonos a tipo fijo . En este caso, cada flujo de caja del bono puede igualarse negociando (a) algún múltiplo de un bono cupón cero , ZCB, correspondiente a cada fecha de cupón y de una solvencia crediticia equivalente (si es posible, del mismo emisor que el bono que se está valorando) con el vencimiento correspondiente, o (b) en una franja correspondiente a cada cupón y un ZCB para el retorno del capital al vencimiento. Luego, dado que los flujos de caja pueden replicarse, el precio del bono hoy debe ser igual a la suma de cada uno de sus flujos de caja descontados a la misma tasa que cada ZCB (según el § Activos con flujos de caja idénticos). Si este no fuera el caso, el arbitraje sería posible y haría que el precio volviera a estar en línea con el precio basado en los ZCB. La mecánica es la siguiente.
Cuando el precio del bono no está alineado con el valor actual de los ZCB, el arbitrajista podría:
La fórmula de fijación de precios es entonces , donde cada flujo de efectivo se descuenta a la tasa que coincide con la fecha del cupón. A menudo, la fórmula se expresa como , utilizando precios en lugar de tasas, ya que los precios están más disponibles.
Según la lógica descrita, la fijación racional de precios se aplica también a los modelos de tipos de interés en general. En este caso, las curvas de rendimiento en su totalidad deben estar libres de arbitraje con respecto a los precios de los instrumentos individuales . Si no fuera así, los ZCB implícitos en la curva darían lugar a precios de bonos cotizados, por ejemplo, diferentes de los observados en el mercado, lo que presentaría una oportunidad de arbitraje. Los bancos de inversión y otros creadores de mercado en este caso invierten así considerables recursos en el "desmantelamiento de curvas". Véase Bootstrapping (finanzas) y Marco multicurva para conocer los métodos empleados, y Riesgo de modelo para obtener más información.
Un derivado es un instrumento que permite comprar y vender el mismo activo en dos mercados: el mercado spot y el mercado de derivados . Las finanzas matemáticas suponen que cualquier desequilibrio entre los dos mercados se resolverá mediante arbitraje. Por lo tanto, en un contrato de derivados con un precio correcto, el precio del derivado, el precio de ejercicio (o tasa de referencia ) y el precio spot estarán relacionados de manera que el arbitraje no sea posible. Véase Teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje .
En un contrato de futuros , para que no sea posible el arbitraje, el precio pagado en el momento de la entrega (el precio a plazo ) debe ser el mismo que el costo (incluido el interés) de comprar y almacenar el activo. En otras palabras, el precio a plazo racional representa el valor futuro esperado del activo subyacente descontado a la tasa libre de riesgo (el "activo con un precio futuro conocido", como se mencionó anteriormente); consulte Paridad al contado-futuro . Por lo tanto, para un activo simple que no paga dividendos, el valor del futuro/a plazo, , se encontrará acumulando el valor presente en el momento del vencimiento por la tasa de rendimiento libre de riesgo .
Esta relación puede modificarse para costos de almacenamiento, dividendos, rendimientos de dividendos y rendimientos de conveniencia; consulte precios de contratos de futuros .
Cualquier desviación de esta igualdad permite el arbitraje como sigue:
La lógica de la valoración de los swaps se sustenta en una fijación racional de precios . En este caso, dos contrapartes "intercambian" obligaciones, intercambiando en la práctica flujos de efectivo calculados en función de un monto principal nocional, y el valor del swap es el valor actual (VP) de ambos conjuntos de flujos de efectivo futuros "compensados" entre sí.
Para que un contrato de swap no tenga arbitraje, los términos de este contrato son tales que, inicialmente, el valor actual neto de estos flujos de efectivo futuros sea igual a cero; véase Swap (finanzas) § Valuación y fijación de precios . Una vez negociados, los swaps también pueden (deben) fijarse mediante una fijación de precios racional.
Los ejemplos a continuación corresponden a swaps de tasas de interés y son representativos de una fijación de precios puramente racional, ya que excluyen el riesgo crediticio , aunque el principio se aplica a cualquier tipo de swap .
Consideremos un swap de tasa de interés fija a flotante en el que la Parte A paga una tasa fija (" tasa de swap ") y la Parte B paga una tasa flotante. En este caso, la tasa fija sería tal que el valor actual de los pagos futuros a tasa fija por parte de la Parte A es igual al valor actual de los pagos futuros a tasa flotante esperados (es decir, el VPN es cero). Si este no fuera el caso, un arbitrajista, C, podría:
La parte flotante de un swap de tipos de interés se puede "descomponer" en una serie de acuerdos de tipos a plazo . En este caso, dado que el swap tiene pagos idénticos a los del FRA, se debe aplicar la fijación de precios libre de arbitraje como se indica anteriormente, es decir, el valor de esta parte es igual al valor de los FRA correspondientes. De manera similar, la parte "de recepción fija" de un swap se puede valorar comparándola con un bono con el mismo cronograma de pagos. (De manera relacionada, dado que sus subyacentes tienen los mismos flujos de efectivo, las opciones sobre bonos y las swaptions son equiparables). Véase más información en Swap (finanzas) § Uso de precios de bonos .
Como se indicó anteriormente, cuando se conoce (o se espera) el valor futuro de un activo, este valor se puede utilizar para determinar el precio racional del activo en la actualidad. Sin embargo, en un contrato de opciones , el ejercicio depende del precio del activo subyacente y, por lo tanto, el pago es incierto. Por lo tanto, los modelos de fijación de precios de opciones incluyen una lógica que "fija" o "infiere" este valor futuro; ambos enfoques ofrecen resultados idénticos. Los métodos que fijan los flujos de efectivo futuros suponen una fijación de precios libre de arbitraje , y los que infieren el valor esperado suponen una valoración neutral al riesgo .
Para ello, (en su forma más simple, aunque ampliamente utilizada) ambos enfoques suponen un "modelo binomial" para el comportamiento del instrumento subyacente , que permite sólo dos estados: al alza o a la baja. Si S es el precio actual, entonces en el próximo período el precio será S al alza o S a la baja . Aquí, el valor de la acción en el estado al alza es S × u, y en el estado a la baja es S × d (donde u y d son multiplicadores con d < 1 < u y suponiendo que d < 1+r < u; véase el modelo binomial de opciones ). Entonces, dados estos dos estados, el enfoque "libre de arbitraje" crea una posición que tiene un valor idéntico en cualquiera de los dos estados: por lo tanto, se conoce el flujo de efectivo en un período y se puede aplicar el precio de arbitraje. El enfoque neutral al riesgo infiere el valor esperado de la opción a partir de los valores intrínsecos en los dos nodos posteriores.
Aunque esta lógica parece muy alejada de la fórmula de Black-Scholes y del enfoque reticular del modelo de opciones binomiales , de hecho subyace a ambos modelos; véase la PDE de Black-Scholes . El supuesto de un comportamiento binomial en el precio subyacente es defendible a medida que aumenta el número de pasos de tiempo entre el día de hoy (valoración) y el ejercicio, y el período por paso de tiempo es correspondientemente corto. El modelo de opciones binomiales permite un gran número de pasos de tiempo muy cortos (si se codifica correctamente), mientras que Black-Scholes, de hecho, modela un proceso continuo .
Los ejemplos que se muestran a continuación tienen acciones como subyacente, pero pueden generalizarse a otros instrumentos. El valor de una opción de venta puede derivarse como se muestra a continuación, o puede encontrarse a partir del valor de la opción de compra utilizando la paridad put-call .
En este caso, el pago futuro se "bloquea" mediante el método de "cobertura delta" o de " cartera replicada ". Como en el caso anterior, este pago se descuenta y el resultado se utiliza en la valoración de la opción actual.
Es posible crear una posición que consista en Δ acciones y 1 opción de compra vendida, de modo que el valor de la posición sea idéntico en los estados S al alza y S a la baja , y por lo tanto se conozca con certeza (véase Cobertura delta ). Este valor cierto corresponde al precio forward anterior ("Un activo con un precio futuro conocido"), y como se indicó anteriormente, para que no sea posible el arbitraje, el valor actual de la posición debe ser su valor futuro esperado descontado a la tasa libre de riesgo, r . El valor de una opción de compra se obtiene entonces igualando los dos.
Es posible crear una posición compuesta por Δ acciones y $ B prestados a la tasa libre de riesgo, que producirá flujos de efectivo idénticos a una opción sobre la acción subyacente. La posición creada se conoce como una "cartera replicante" ya que sus flujos de efectivo replican los de la opción. Como se muestra arriba ("Activos con flujos de efectivo idénticos"), en ausencia de oportunidades de arbitraje, dado que los flujos de efectivo producidos son idénticos, el precio de la opción hoy debe ser el mismo que el valor de la posición hoy.
Obsérvese que aquí no hay descuento: la tasa de interés aparece solo como parte de la construcción. Por lo tanto, este enfoque se utiliza con preferencia a otros en los que no está claro si la tasa libre de riesgo se puede aplicar como la tasa de descuento en cada punto de decisión o si, en cambio, se requeriría una prima sobre la tasa libre de riesgo , que difiere según el estado. El mejor ejemplo de esto sería el análisis de opciones reales [1], donde las acciones de la gerencia realmente cambian las características de riesgo del proyecto en cuestión y, por lo tanto, la tasa de retorno requerida podría diferir en los estados ascendente y descendente. Aquí, en las fórmulas anteriores, tenemos: "Δ × S up - B × (1 + r up )..." y "Δ × S down - B × (1 + r down )...". Consulte Valuación de opciones reales § Consideraciones técnicas . (Otro caso en el que los supuestos de modelado pueden apartarse de la fijación de precios racional es la valuación de las opciones sobre acciones de los empleados ).
Aquí el valor de la opción se calcula utilizando el supuesto de neutralidad de riesgo . Bajo este supuesto, el " valor esperado " (en oposición al valor "fijo") se descuenta . El valor esperado se calcula utilizando los valores intrínsecos de los dos nodos posteriores: "Opción al alza" y "Opción a la baja", con u y d como multiplicadores de precio como se indicó anteriormente. Estos se ponderan luego por sus respectivas probabilidades: "probabilidad" p de un movimiento al alza en el subyacente y "probabilidad" (1-p) de un movimiento a la baja. El valor esperado se descuenta luego a r , la tasa libre de riesgo .
Cabe señalar que, en el caso anterior, la fórmula neutral al riesgo no se refiere al rendimiento esperado o previsto del subyacente, ni a su volatilidad : p, como se resuelve, se relaciona con la medida neutral al riesgo en contraposición a la distribución de probabilidad real de los precios. No obstante, tanto la fijación de precios sin arbitraje como la valoración neutral al riesgo arrojan resultados idénticos. De hecho, se puede demostrar que la "cobertura delta" y la "valoración neutral al riesgo" utilizan fórmulas idénticas expresadas de forma diferente. Dada esta equivalencia, es válido suponer "neutralidad al riesgo" al fijar el precio de los derivados. Una relación más formal se describe a través del teorema fundamental de la fijación de precios sin arbitraje .
La teoría de precios de arbitraje (APT), una teoría general de precios de activos , ha cobrado influencia en la fijación de precios de las acciones . La APT sostiene que el rendimiento esperado de un activo financiero puede modelarse como una función lineal de varios factores macroeconómicos , donde la sensibilidad a los cambios en cada factor está representada por un coeficiente beta específico del factor :
La tasa de retorno derivada del modelo se utilizará entonces para fijar el precio correcto del activo: el precio del activo debe ser igual al precio esperado al final del período descontado a la tasa implícita en el modelo. Si el precio diverge, el arbitraje debe volver a equilibrarlo. En este caso, para realizar el arbitraje, el inversor "crea" un activo con un precio correcto (un activo sintético ), una cartera con la misma exposición neta a cada uno de los factores macroeconómicos que el activo con un precio incorrecto, pero con un retorno esperado diferente. Consulte el artículo sobre la teoría de precios de arbitraje para obtener detalles sobre la construcción de la cartera. El arbitrajista está entonces en condiciones de obtener una ganancia libre de riesgo de la siguiente manera:
Obsérvese que, en el "arbitraje real", el inversor obtiene una rentabilidad garantizada , mientras que en el arbitraje APT, el inversor obtiene una rentabilidad esperada positiva . El APT, por tanto, supone un "arbitraje de expectativas", es decir, que el arbitraje por parte de los inversores hará que los precios de los activos vuelvan a estar en línea con los rendimientos esperados por el modelo.
El modelo de fijación de precios de activos de capital (CAPM, por sus siglas en inglés) es una teoría anterior y (más) influyente sobre la fijación de precios de activos. Aunque se basa en supuestos diferentes, el CAPM puede, en algunos sentidos, considerarse un "caso especial" del APT; en concreto, la línea de mercado de valores del CAPM representa un modelo de un solo factor del precio de los activos, donde beta es la exposición a los cambios en el "valor del mercado" en su conjunto.
Los métodos de valoración clásicos, como el modelo Black-Scholes o el modelo Merton, no pueden tener en cuenta el riesgo sistémico de contraparte que está presente en sistemas con interconexión financiera. [2] Se pueden encontrar más detalles sobre la valoración de activos y derivados sin arbitraje y neutral al riesgo en el artículo sobre riesgo sistémico (véase también valoración en riesgo sistémico ).
