Modelo browniano de mercados financieros

Modelo financiero

Los modelos de movimiento browniano para los mercados financieros se basan en el trabajo de Robert C. Merton y Paul A. Samuelson , como extensiones de los modelos de mercado de un período de Harold Markowitz y William F. Sharpe , y se ocupan de definir los conceptos de mercado financiero. Activos y mercados , carteras , ganancias y riqueza en términos de procesos estocásticos de tiempo continuo .

Según este modelo, estos activos tienen precios continuos que evolucionan continuamente en el tiempo y están impulsados ​​por procesos de movimiento browniano. ^[1] Este modelo requiere el supuesto de activos perfectamente divisibles y un mercado sin fricciones (es decir, que no se producen costos de transacción ni para la compra ni para la venta). Otro supuesto es que los precios de los activos no tienen saltos, es decir, no hay sorpresas en el mercado. Este último supuesto se elimina en los modelos de difusión por salto .

Procesos del mercado financiero

Considere un mercado financiero formado por activos financieros, donde uno de estos activos, llamado mercado de bonos o monetario , está libre de riesgo mientras que los activos restantes , llamados acciones , sí lo son. ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$

Definición

Un mercado financiero se define como aquel que satisface lo siguiente: ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))}$

1. Un espacio de probabilidad . ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$
2. Un intervalo de tiempo . ${\displaystyle [0,T]}$
3. Se adaptó el proceso browniano adimensional a la filtración aumentada . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',}$ ${\displaystyle \;0\leq t\leq T}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$
4. Un proceso medible de tipos de interés del mercado monetario libre de riesgo . ${\displaystyle r(t)\in L_{1}[0,T]}$
5. Una tasa media de retorno medible en el proceso . ${\displaystyle \mathbf {b} :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]}$
6. Un proceso de tasa de retorno de dividendos medible . ${\displaystyle \mathbf {\delta } :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} \in L_{2}[0,T]}$
7. Un proceso de volatilidad medible , tal que . ${\displaystyle \mathbf {\sigma } :[0,T]\times \mathbb {R} ^{N\times D}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}\sum _{d=1}^{D}\int _{0}^{T}\sigma _{n,d}^{2}(s)ds<\infty }$
8. Una variación mensurable, finita, estocástica singularmente continua . ${\displaystyle A(t)}$
9. Las condiciones iniciales dadas por . ${\displaystyle \mathbf {S} (0)=(S_{0}(0),\ldots S_{N}(0))'}$

La filtración aumentada

Sea un espacio de probabilidad y un proceso estocástico de movimiento browniano D-dimensional , con la filtración natural : ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},p)}$ ${\displaystyle \mathbf {W} (t)=(W_{1}(t)\ldots W_{D}(t))',\;0\leq t\leq T}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\triangleq \sigma \left(\{\mathbf {W} (s);\;0\leq s\leq t\}\right),\quad \forall t\in [0,T].}$

Si la medida 0 (es decir, nula bajo medida ) son subconjuntos de , entonces defina la filtración aumentada : ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)\triangleq \sigma \left({\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t)\cup {\mathcal {N}}\right),\quad \forall t\in [0,T]}$

La diferencia entre y es que este último es continuo por la izquierda , en el sentido de que: ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}^{\mathbf {W} }(t);\;0\leq t\leq T\}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)=\sigma \left(\bigcup _{0\leq s<t}{\mathcal {F}}(s)\right),}$

y continuo a la derecha , tal que:

${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)=\bigcap _{t<s\leq T}{\mathcal {F}}(s),}$

mientras que el primero es sólo continuo a la izquierda. ^[2]

Vínculo

Una acción de un bono (mercado monetario) tiene un precio en el tiempo con , es continua, adaptada y tiene una variación finita . Debido a que tiene variación finita, se puede descomponer en una parte absolutamente continua y una parte singularmente continua , mediante el teorema de descomposición de Lebesgue . Definir: ${\displaystyle S_{0}(t)>0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle S_{0}(0)=1}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$ ${\displaystyle S_{0}^{a}(t)}$ ${\displaystyle S_{0}^{s}(t)}$

${\displaystyle r(t)\triangleq {\frac {1}{S_{0}(t)}}{\frac {d}{dt}}S_{0}^{a}(t),}$y

${\displaystyle A(t)\triangleq \int _{0}^{t}{\frac {1}{S_{0}(s)}}dS_{0}^{s}(s),}$

dando como resultado el SDE :

${\displaystyle dS_{0}(t)=S_{0}(t)[r(t)dt+dA(t)],\quad \forall 0\leq t\leq T,}$

que da:

${\displaystyle S_{0}(t)=\exp \left(\int _{0}^{t}r(s)ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T.}$

Por lo tanto, se puede ver fácilmente que si es absolutamente continuo (es decir ), entonces el precio del bono evoluciona como el valor de una cuenta de ahorro libre de riesgo con una tasa de interés instantánea , que es aleatoria, dependiente del tiempo y mensurable. ${\displaystyle S_{0}(t)}$ ${\displaystyle A(\cdot )=0}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$

Cepo

Los precios de las acciones se modelan como similares a los de los bonos, excepto con un componente que fluctúa aleatoriamente (llamado volatilidad ). Como prima por el riesgo originado por estas fluctuaciones aleatorias, la tasa de rendimiento media de una acción es mayor que la de un bono.

Sean los precios por acción estrictamente positivos de las acciones, que son procesos estocásticos continuos que satisfacen: ${\displaystyle S_{1}(t)\ldots S_{N}(t)}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle dS_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}$

Aquí, se proporciona la volatilidad de la acción -ésima, mientras que es su tasa de rendimiento media. ${\displaystyle \sigma _{n,d}(t),\;d=1\ldots D}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b_{n}(t)}$

Para que se produzca un escenario de fijación de precios libre de arbitraje , debe ser como se define anteriormente. La solución a esto es: ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\left[b_{n}(s)-{\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}^{2}(s)\right]ds+A(t)\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N,}$

y los precios de las acciones con descuento son:

${\displaystyle {\frac {S_{n}(t)}{S_{0}(t)}}=S_{n}(0)\exp \left(\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(s)dW_{d}(s)+\int _{0}^{t}\left[b_{n}(s)-r(s)-{\frac {1}{2}}\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}^{2}(s)\right]ds\right),\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}$

Tenga en cuenta que la contribución debida a las discontinuidades en el precio del bono no aparece en esta ecuación. ${\displaystyle A(t)}$

Tasa de dividendo

Cada acción puede tener un proceso de tasa de dividendos asociado que proporcione la tasa de pago de dividendos por precio unitario de la acción en ese momento . Al tener en cuenta esto en el modelo, se obtiene el proceso de rendimiento : ${\displaystyle \delta _{n}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle Y_{n}(t)}$

${\displaystyle dY_{n}(t)=S_{n}(t)\left[b_{n}(t)dt+dA(t)+\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)dW_{d}(t)+\delta _{n}(t)\right],\quad \forall 0\leq t\leq T,\quad n=1\ldots N.}$

Procesos de cartera y ganancia.

Definición

Consideremos un mercado financiero . ${\displaystyle {\mathcal {M}}=(r,\mathbf {b} ,\mathbf {\delta } ,\mathbf {\sigma } ,A,\mathbf {S} (0))}$

Un proceso de cartera para este mercado es un proceso valorado y mensurable tal que: ${\displaystyle (\pi _{0},\pi _{1},\ldots \pi _{N})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{N+1}}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)|\left[|r(t)|dt+dA(t)\right]<\infty }$, casi seguramente ,

${\displaystyle \int _{0}^{T}|\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)[b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)]|dt<\infty }$, casi seguramente, y

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)|^{2}dt<\infty }$, casi con seguridad.

El proceso de ganancias para este portafolio es:

${\displaystyle G(t)\triangleq \int _{0}^{t}\left[\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)\right]\left(r(s)ds+dA(s)\right)+\int _{0}^{t}\left[\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)\left(b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)\right)\right]dt+\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\sum _{n=1}^{N}\mathbf {\sigma } _{n,d}(t)\pi _{n}(t)dW_{d}(s)\quad 0\leq t\leq T}$

Decimos que la cartera se autofinancia si:

${\displaystyle G(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t)}$.

Resulta que para una cartera autofinanciada, el valor apropiado de se determina y, por lo tanto, a veces se lo denomina proceso de cartera. Además, implica pedir dinero prestado en el mercado monetario, mientras que implica tomar una posición corta sobre las acciones. ${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi =(\pi _{1},\ldots \pi _{N})}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi _{0}<0}$ ${\displaystyle \pi _{n}<0}$

El término en la SDE de es el proceso de prima de riesgo y es la compensación recibida a cambio de invertir en la -ésima acción. ${\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)}$ ${\displaystyle G(t)}$ ${\displaystyle n}$

Motivación

Considere intervalos de tiempo y sea el número de acciones de un activo mantenidas en una cartera durante el intervalo de tiempo . Para evitar el caso de uso de información privilegiada (es decir, conocimiento previo del futuro), se requiere que sea mensurable. ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{M}=T}$ ${\displaystyle \nu _{n}(t_{m})}$ ${\displaystyle n=0\ldots N}$ ${\displaystyle [t_{m},t_{m+1}\;m=0\ldots M-1}$ ${\displaystyle \nu _{n}(t_{m})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t_{m})}$

Por lo tanto, las ganancias incrementales en cada intervalo de negociación de dicha cartera son:

${\displaystyle G(0)=0,}$

${\displaystyle G(t_{m+1})-G(t_{m})=\sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m})[Y_{n}(t_{m+1})-Y_{n}(t_{m})],\quad m=0\ldots M-1,}$

y es la ganancia total en el tiempo , mientras que el valor total de la cartera es . ${\displaystyle G(t_{m})}$ ${\displaystyle [0,t_{m}]}$ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}\nu _{n}(t_{m})S_{n}(t_{m})}$

Defina , deje que la partición de tiempo llegue a cero y sustitúyala por como se definió anteriormente, para obtener el SDE correspondiente para el proceso de ganancias. Aquí se indica la cantidad en dólares invertida en el activo en ese momento , no la cantidad de acciones que se poseen. ${\displaystyle \pi _{n}(t)\triangleq \nu _{n}(t)}$ ${\displaystyle Y(t)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(t)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$

Procesos de ingreso y riqueza

Definición

Dado un mercado financiero , entonces un proceso de ingreso acumulativo es una semimartingala y representa el ingreso acumulado en el tiempo , debido a fuentes distintas a las inversiones en los activos del mercado financiero. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \Gamma (t)\;0\leq t\leq T}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle N+1}$

Un proceso de riqueza se define entonces como: ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle X(t)\triangleq G(t)+\Gamma (t)}$

y representa la riqueza total de un inversor en ese momento . Se dice que la cartera está financiada si: ${\displaystyle 0\leq t\leq T}$ ${\displaystyle \Gamma (t)}$

${\displaystyle X(t)=\sum _{n=0}^{N}\pi _{n}(t).}$

El SDE correspondiente al proceso de riqueza, mediante sustituciones adecuadas, pasa a ser:

${\displaystyle dX(t)=d\Gamma (t)+X(t)\left[r(t)dt+dA(t)\right]+\sum _{n=1}^{N}\left[\pi _{n}(t)\left(b_{n}(t)+\delta _{n}(t)-r(t)\right)\right]+\sum _{d=1}^{D}\left[\sum _{n=1}^{N}\pi _{n}(t)\sigma _{n,d}(t)\right]dW_{d}(t)}$.

Tenga en cuenta que, nuevamente, en este caso, el valor de se puede determinar a partir de . ${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi _{n},\;n=1\ldots N}$

Mercados viables

La teoría estándar de las finanzas matemáticas se restringe a los mercados financieros viables, es decir, aquellos en los que no hay oportunidades de arbitraje . Si tales oportunidades existen, implica la posibilidad de obtener ganancias arbitrariamente grandes y libres de riesgo.

Definición

En un mercado financiero , un proceso de cartera autofinanciado se considera una oportunidad de arbitraje si el proceso asociado gana , de manera casi segura y estricta. Se dice que un mercado en el que no existe tal cartera es viable . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \pi (t)}$ ${\displaystyle G(T)\geq 0}$ ${\displaystyle P[G(T)>0]>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

Trascendencia

En un mercado viable existe un proceso adaptado tal que para casi todos : ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(t)}$ ${\displaystyle \theta :[0,T]\times \mathbb {R} ^{D}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$

${\displaystyle b_{n}(t)+\mathbf {\delta } _{n}(t)-r(t)=\sum _{d=1}^{D}\sigma _{n,d}(t)\theta _{d}(t)}$.

Esto se llama precio de mercado del riesgo y relaciona la prima de la acción con su volatilidad . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{n,\cdot }}$

Por el contrario, si existe un proceso D-dimensional tal que satisfaga el requisito anterior, y: ${\displaystyle \theta (t)}$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty }$

${\displaystyle \mathbb {E} \left[\exp \left\{-\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}\theta _{d}(t)dW_{d}(t)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt\right\}\right]=1}$,

entonces el mercado es viable.

Además, un mercado viable sólo puede tener un mercado monetario (bono) y, por tanto, sólo una tasa libre de riesgo. Por lo tanto, si la acción -ésima no implica riesgo (es decir ) y no paga dividendos (es decir ), entonces su tasa de rendimiento es igual a la tasa del mercado monetario (es decir ) y su precio sigue el del bono (es decir ). ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \sigma _{n,d}=0,\;d=1\ldots D}$ ${\displaystyle \delta _{n}(t)=0}$ ${\displaystyle b_{n}(t)=r(t)}$ ${\displaystyle S_{n}(t)=S_{n}(0)S_{0}(t)}$

Mercado financiero estándar

Definición

Se dice que un mercado financiero es estándar si: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$

(i) Es viable.

(ii) El número de acciones no es mayor que la dimensión del proceso de movimiento browniano subyacente . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbf {W} (t)}$

(iii) El precio de mercado del proceso de riesgo satisface: ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \int _{0}^{T}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt<\infty }$, casi con seguridad.

(iv) El proceso positivo es una martingala . ${\displaystyle Z_{0}(t)=\exp \left\{-\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}\theta _{d}(t)dW_{d}(t)-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}\sum _{d=1}^{D}|\theta _{d}(t)|^{2}dt\right\}}$

Comentarios

En caso de que el número de acciones sea mayor que la dimensión , en violación del punto (ii), del álgebra lineal, se puede ver que hay acciones cuyas volatilidades (dadas por el vector ) son una combinación lineal de las volatilidades de otras acciones ( porque el rango de es ). Por tanto, las acciones pueden ser sustituidas por fondos mutuos equivalentes. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle N-D}$ ${\displaystyle (\sigma _{n,1}\ldots \sigma _{n,D})}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle D}$

La medida martingala estándar para el mercado estándar, se define como: ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T)}$

${\displaystyle P_{0}(A)\triangleq \mathbb {E} [Z_{0}(T)\mathbf {1} _{A}],\quad \forall A\in {\mathcal {F}}(T)}$.

Tenga en cuenta que y son absolutamente continuos entre sí, es decir, son equivalentes. Además, según el teorema de Girsanov , ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {W} _{0}(t)\triangleq \mathbf {W} (t)+\int _{0}^{t}\theta (s)ds}$,

es un proceso de movimiento browniano bidimensional en la filtración con respecto a . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}(t);\;0\leq t\leq T\}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

Mercados financieros completos

Un mercado financiero completo es aquel que permite una cobertura eficaz del riesgo inherente a cualquier estrategia de inversión.

Definición

Sea un mercado financiero estándar y una variable aleatoria medible, tal que: ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(T)}$

${\displaystyle P_{0}\left[{\frac {B}{S_{0}(T)}}>-\infty \right]=1}$.

${\displaystyle x\triangleq \mathbb {E} _{0}\left[{\frac {B}{S_{0}(T)}}\right]<\infty }$,

Se dice que el mercado está completo si cada uno de ellos es financiable , es decir, si existe un proceso de cartera financiado , tal que su proceso de riqueza asociado satisfaga ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (\pi _{n}(t);\;n=1\ldots N)}$ ${\displaystyle X(t)}$

${\displaystyle X(t)=B}$, casi con seguridad.

Motivación

Si una estrategia de inversión particular requiere un pago en el momento , cuyo monto se desconoce en el momento , entonces una estrategia conservadora sería reservar una cantidad para cubrir el pago. Sin embargo, en un mercado completo es posible reservar menos capital (es decir, ) e invertirlo de modo que en algún momento haya crecido hasta alcanzar el tamaño de . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=\sup _{\omega }B(\omega )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle B}$

Corolario

Un mercado financiero estándar es completo si y sólo si , y el proceso de volatilidad no es singular para casi todos , con respecto a la medida de Lebesgue . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle N=D}$ ${\displaystyle N\times D}$ ${\displaystyle \sigma (t)}$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$

Ver también

• Modelo negro-Scholes
• Precios de martingala
• finanzas matemáticas
• Método Montecarlo

Notas

1. Tsekov, Roumen (2013). "Mercados brownianos". Mentón. Física. Lett . 30 (8): 088901. arXiv : 1010.2061 . Código Bib :2013ChPhL..30h8901T. doi :10.1088/0256-307X/30/8/088901. S2CID  18675919.
2. Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991). Movimiento browniano y cálculo estocástico . Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97655-8.

Referencias

Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1998). Métodos de finanzas matemáticas . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-94839-2.

Korn, Ralf; Korn, Elke (2001). Fijación de precios de opciones y optimización de carteras: métodos modernos de matemáticas financieras . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas. ISBN 0-8218-2123-7.

Merton, RC (1 de agosto de 1969). "Selección de cartera de por vida en condiciones de incertidumbre: el caso del tiempo continuo" (PDF) . La Revista de Economía y Estadística . 51 (3): 247–257. doi :10.2307/1926560. ISSN  0034-6535. JSTOR  1926560. S2CID  8863885. Archivado desde el original (PDF) el 12 de noviembre de 2019.

Merton, RC (1970). "Consumo óptimo y reglas de cartera en un modelo de tiempo continuo". Revista de teoría económica . 3 (4): 373–413. doi :10.1016/0022-0531(71)90038-x. hdl : 1721.1/63980 .