Teorema de Girsanov

Teorema sobre cambios en procesos estocásticos.

Visualización del teorema de Girsanov. El lado izquierdo muestra un proceso de Wiener con deriva negativa bajo una medida canónica P ; en el lado derecho cada camino del proceso está coloreado según su probabilidad bajo la medida martingala Q. La transformación de densidad de P a Q viene dada por el teorema de Girsanov.

En la teoría de la probabilidad , el teorema de Girsanov explica cómo los procesos estocásticos cambian ante cambios de medida . El teorema es especialmente importante en la teoría de las matemáticas financieras , ya que indica cómo convertir desde la medida física , que describe la probabilidad de que un instrumento subyacente (como el precio de una acción o una tasa de interés ) tome un valor o valores particulares, al medida neutral al riesgo que es una herramienta muy útil para evaluar el valor de los derivados sobre el subyacente.

Historia

Resultados de este tipo fueron demostrados por primera vez por Cameron-Martin en la década de 1940 y por Igor Girsanov en 1960. Posteriormente se han extendido a clases de procesos más generales que culminaron en la forma general de Lenglart (1977).

Significado

El teorema de Girsanov es importante en la teoría general de los procesos estocásticos ya que permite el resultado clave de que si Q es una medida absolutamente continua con respecto a P, entonces cada P -semimartingala es una Q -semimartingala.

Declaración del teorema

Primero enunciamos el teorema para el caso especial en el que el proceso estocástico subyacente es un proceso de Wiener . Este caso especial es suficiente para la fijación de precios neutral al riesgo en el modelo de Black-Scholes .

Sea un proceso de Wiener en el espacio de probabilidad de Wiener . Sea un proceso medible adaptado a la filtración natural del proceso Wiener ; suponemos que se han cumplido las condiciones habituales. ${\displaystyle \{W_{t}\}}$ ${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}},P\}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}}$

Dado un proceso adaptado, defina ${\displaystyle X_{t}}$

${\displaystyle Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t},\,}$

donde es la exponencial estocástica de X con respecto a W , es decir ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)_{t}=\exp \left(X_{t}-{\frac {1}{2}}[X]_{t}\right),}$

y denota la variación cuadrática del proceso X . ${\displaystyle [X]_{t}}$

Si es una martingala , entonces se puede definir una medida de probabilidad Q tal que la derivada de radón-Nikodym ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle \{\Omega ,{\mathcal {F}}\}}$

${\displaystyle \left.{\frac {dQ}{dP}}\right|_{{\mathcal {F}}_{t}}=Z_{t}={\mathcal {E}}(X)_{t}}$

Entonces, para cada t, la medida Q restringida a los campos sigma no aumentados es equivalente a P restringida a ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{o}.\,}$

Además, si hay una martingala local bajo P , entonces el proceso ${\displaystyle Y_{t}}$

${\displaystyle {\tilde {Y}}_{t}=Y_{t}-\left[Y,X\right]_{t}}$

es una martingala local Q en el espacio de probabilidad filtrado . ${\displaystyle \{\Omega ,F,Q,\{{\mathcal {F}}_{t}^{W}\}\}}$

Corolario

Si X es un proceso continuo y W es un movimiento browniano bajo la medida P , entonces

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\left[W,X\right]_{t}}$

es el movimiento browniano bajo Q .

El hecho de que sea continuo es trivial; según el teorema de Girsanov es una martingala local Q , y calculando ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$

${\displaystyle \left[{\tilde {W}}\right]_{t}=\left[W\right]_{t}=t}$

De la caracterización que hace Levy del movimiento browniano se deduce que se trata de un movimiento Q browniano.

Comentarios

En muchas aplicaciones comunes, el proceso X está definido por

${\displaystyle X_{t}=\int _{0}^{t}Y_{s}\,dW_{s}.}$

Para X de esta forma entonces una condición necesaria y suficiente para ser una martingala es la condición de Novikov que requiere que ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle E_{P}\left[\exp \left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}Y_{s}^{2}\,ds\right)\right]<\infty .}$

La exponencial estocástica es el proceso Z que resuelve la ecuación diferencial estocástica ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X)}$

${\displaystyle Z_{t}=1+\int _{0}^{t}Z_{s}\,dX_{s}.\,}$

La medida Q construida anteriormente no es equivalente a P en ya que este solo sería el caso si la derivada de Radon-Nikodym fuera una martingala uniformemente integrable, lo que no es la martingala exponencial descrita anteriormente. Por otro lado, siempre que se cumpla la condición de Novikov, las medidas son equivalentes en . ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$

Además, combinando esta observación anterior en este caso, vemos que el proceso

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}Y_{s}ds}$

porque es un movimiento browniano Q. Ésta fue la formulación original de Igor Girsanov del teorema anterior. ${\displaystyle t\in [0,T]}$

Solicitud de financiación

Este teorema se puede utilizar para mostrar en el modelo de Black-Scholes la única medida neutral al riesgo, es decir, la medida en la que el valor razonable de un derivado es el valor esperado descontado, Q, se especifica por

${\displaystyle {\frac {dQ}{dP}}={\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}{\frac {r_{s}-\mu _{s}}{\sigma _{s}}}\,dW_{s}\right).}$

Aplicación a las ecuaciones de Langevin

Otra aplicación de este teorema, también dada en el artículo original de Igor Girsanov, es para ecuaciones diferenciales estocásticas . Específicamente, consideremos la ecuación

${\displaystyle dX_{t}=\mu (t,X_{t})dt+dW_{t},}$

donde denota un movimiento browniano. Aquí y son funciones deterministas fijas. Suponemos que esta ecuación tiene una solución fuerte única en . En este caso, el teorema de Girsanov se puede utilizar para calcular funcionales directamente en términos de un funcional relacionado para el movimiento browniano. Más específicamente, tenemos para cualquier funcional acotado en funciones continuas que ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle C([0,T])}$

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (W)\exp \left(\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}\mu (s,W_{s})^{2}ds\right)\right].}$

Esto se sigue aplicando el teorema de Girsanov y la observación anterior al proceso de martingala.

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})dW_{s}.}$

En particular, observamos que con la notación anterior, el proceso

${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}=W_{t}-\int _{0}^{t}\mu (s,W_{s})ds}$

es un movimiento browniano Q. Reescribiendo esto en forma diferencial como

${\displaystyle dW_{t}=d{\tilde {W}}_{t}+\mu (t,W_{t})dt,}$

vemos que la ley de bajo Q resuelve la ecuación que define , como es un movimiento browniano Q. En particular, vemos que el lado derecho puede escribirse como , donde Q es la medida tomada con respecto al proceso Y, por lo que el resultado ahora es simplemente el enunciado del teorema de Girsanov. ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle {\tilde {W}}_{t}}$ ${\displaystyle E_{Q}[\Phi (W)]}$

Una forma más general de esta aplicación es que si ambos

${\displaystyle dX_{t}=\mu (X_{t},t)dt+\sigma (X_{t},t)dW_{t},}$ ${\displaystyle dY_{t}=(\mu (Y_{t},t)+\nu (Y_{t},t))dt+\sigma (Y_{t},t)dW_{t},}$

admitir soluciones sólidas únicas , entonces, para cualquier funcional acotada , tenemos eso ${\displaystyle [0,T]}$ ${\displaystyle C([0,T])}$

${\displaystyle E\Phi (X)=E\left[\Phi (Y)\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)}{\sigma (Y_{s},s)}}dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}{\frac {\nu (Y_{s},s)^{2}}{\sigma (Y_{s},s)^{2}}}ds\right)\right].}$

Ver también

• Teorema de Cameron-Martin  : teorema que define la traducción de medidas gaussianas (medidas de Wiener) en espacios de Hilbert.

Referencias

• Liptser, Robert S.; Shiriaev, AN (2001). Estadísticas de procesos aleatorios (2ª, ed. rev. y exp.). Saltador. ISBN 3-540-63929-2.
• Dellacherie, C.; Meyer, P.-A. (mil novecientos ochenta y dos). "Descomposición de Supermartingales, Aplicaciones". Probabilidades y Potencial . vol. B. Traducido por Wilson, JP Holanda Septentrional. págs. 183–308. ISBN 0-444-86526-8.
• Lenglart, E. (1977). "Transformación de martingales locales par changement absolue continu de probabilités". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeit (en francés). 39 : 65–70. doi : 10.1007/BF01844873 .

enlaces externos

• Notas sobre cálculo estocástico que contienen una prueba simple y esquemática del teorema de Girsanov.