La condición de Novikov

En teoría de probabilidad , la condición de Novikov es la condición suficiente para que un proceso estocástico que adopta la forma de la derivada de Radon-Nikodym en el teorema de Girsanov sea una martingala . Si se cumple junto con otras condiciones, el teorema de Girsanov puede aplicarse a un proceso estocástico de movimiento browniano para cambiar de la medida original a la nueva medida definida por la derivada de Radon-Nikodym.

Esta condición fue sugerida y demostrada por Alexander Novikov . Existen otros resultados que pueden utilizarse para demostrar que la derivada de Radon-Nikodym es una martingala, como el criterio más general de la condición de Kazamaki , sin embargo, la condición de Novikov es el resultado más conocido.

Supongamos que es un proceso adaptado con valor real en el espacio de probabilidad y es un movimiento browniano adaptado : ^{[1] : 334} ${\displaystyle (X_{t})_{0\leq t\leq T}}$ ${\displaystyle \left(\Omega ,({\mathcal {F}}_{t}),\mathbb {P} \right)}$ ${\displaystyle (W_{t})_{0\leq t\leq T}}$

Si la condición

${\displaystyle \mathbb {E} \left[e^{{\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|X|_{t}^{2}\,dt}\right]<\infty }$

se cumple entonces el proceso

${\displaystyle \ {\mathcal {E}}\left(\int _{0}^{t}X_{s}\;dW_{s}\right)\ =e^{\int _{0}^{t}X_{s}\,dW_{s}-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}X_{s}^{2}\,ds},\quad 0\leq t\leq T}$

es una martingala bajo la medida de probabilidad y la filtración . Aquí denota la exponencial de Doléans-Dade . ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

Referencias

1. Pascucci, Andrea (2011). Métodos PDE y Martingala en la valoración de opciones . Bocconi & Springer. Vol. 2. Milán: Springer-Verlag . ISBN. 978-88-470-1780-1.

Enlaces externos

• Krogstad, HE (2003). "Comentarios sobre el teorema de Girsanov" (PDF) . FMI . Archivado desde el original (PDF) el 1 de diciembre de 2005.