Dualidad (matemáticas)

En matemáticas , una dualidad traduce conceptos, teoremas o estructuras matemáticas en otros conceptos, teoremas o estructuras de forma uno a uno , a menudo (pero no siempre) mediante una operación de involución : si el dual de $A$ es $B$ , entonces el dual de $B$ es $A$ . Estas involuciones a veces tienen puntos fijos , de modo que el dual de $A$ es $A$ mismo. Por ejemplo, el teorema de Desargues es autodual en este sentido bajo la dualidad estándar en geometría proyectiva .

En contextos matemáticos, la dualidad tiene numerosos significados. ^[1] Ha sido descrito como "un concepto muy generalizado e importante en las matemáticas (modernas)" ^[2] y "un tema general importante que tiene manifestaciones en casi todas las áreas de las matemáticas". ^[3]

Muchas dualidades matemáticas entre objetos de dos tipos corresponden a emparejamientos , funciones bilineales de un objeto de un tipo y otro objeto del segundo tipo a alguna familia de escalares. Por ejemplo, la dualidad del álgebra lineal corresponde de esta manera a mapas bilineales de pares de espacios vectoriales a escalares, la dualidad entre distribuciones y las funciones de prueba asociadas corresponde al emparejamiento en el que se integra una distribución contra una función de prueba, y la dualidad de Poincaré corresponde de manera similar. al número de intersección , visto como un emparejamiento entre subvariedades de una variedad determinada. ^[4]

Desde el punto de vista de la teoría de categorías , la dualidad también puede verse como un functor , al menos en el ámbito de los espacios vectoriales. Este funtor asigna a cada espacio su espacio dual, y la construcción pullback asigna a cada flecha $f : V \to W$ su dual $f * : W * \to V *$ .

Ejemplos introductorios

En palabras de Michael Atiyah ,

La dualidad en matemáticas no es un teorema, sino un "principio". ^[5]

La siguiente lista de ejemplos muestra las características comunes de muchas dualidades, pero también indica que el significado preciso de dualidad puede variar de un caso a otro.

Complemento de un subconjunto

Una dualidad simple, quizás la más simple, surge al considerar subconjuntos de un conjunto fijo $S.$ Para cualquier subconjunto $A \subseteq S$ , el complemento $A c$ ^[6] consta de todos aquellos elementos de $S$ que no están contenidos en $A$ . Es nuevamente un subconjunto de $S$ . Tomar el complemento tiene las siguientes propiedades:

Aplicándolo dos veces se devuelve el conjunto original, es decir , $(A c) c = A.$ A esto se hace referencia diciendo que la operación de tomar el complemento es una involución .
Una inclusión de conjuntos $A \subseteq B$ se convierte en una inclusión en la dirección opuesta $B c \subseteq A c$ .
Dados dos subconjuntos $A$ y $B$ de $S$ , $A$ está contenido en $B c$ si y sólo si $B$ está contenido en $A c$ .

Esta dualidad aparece en topología como una dualidad entre subconjuntos abiertos y cerrados de algún espacio topológico fijo $X$ : un subconjunto $U$ de $X$ es cerrado si y sólo si su complemento en $X$ es abierto. Debido a esto, muchos teoremas sobre conjuntos cerrados son duales con respecto a los teoremas sobre conjuntos abiertos. Por ejemplo, cualquier unión de conjuntos abiertos es abierta, por lo que dualmente, cualquier intersección de conjuntos cerrados es cerrada. ^[7] El interior de un conjunto es el conjunto abierto más grande que contiene, y el cierre del conjunto es el conjunto cerrado más pequeño que lo contiene. Debido a la dualidad, el complemento del interior de cualquier conjunto U $es$ igual al cierre del complemento de $U.$

cono doble

La construcción de doble cono proporciona una dualidad en la geometría . Dado un conjunto de puntos en el plano (o más generalmente puntos en ), el cono dual se define como el conjunto que consta de aquellos puntos que satisfacen $C$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ $(x_{1},x_{2})$

x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}\geq 0

^[8]

(c_{1},c_{2})

C

C

C^{**}

C

C

Al aplicar la operación dos veces se obtiene un conjunto posiblemente mayor: para todos , está contenido en . (Para algunos , concretamente los conos, los dos son en realidad iguales). $C$ $C$ $C^{**}$ $C$

Las otras dos propiedades se mantienen sin cambios:

Sigue siendo cierto que una inclusión se convierte en inclusión en la dirección opuesta ( ). $C\subseteq D$ $D^{*}\subseteq C^{*}$
Dados dos subconjuntos y del plano, está contenido en si y sólo si está contenido en . $C$ $D$ $C$ $D^{*}$ $D$ $C^{*}$

Espacio vectorial dual

Un ejemplo muy importante de dualidad surge en álgebra lineal al asociar a cualquier espacio vectorial $V$ su espacio vectorial dual $V *$ . Sus elementos son los funcionales lineales , donde $K$ es el campo sobre el cual se define $V.$ Las tres propiedades del cono dual se trasladan a este tipo de dualidad al reemplazar subconjuntos de por espacio vectorial e inclusiones de dichos subconjuntos por aplicaciones lineales. Eso es: $\varphi :V\to K$ $\mathbb {R} ^{2}$

Aplicando la operación de tomar el espacio vectorial dual dos veces se obtiene otro espacio vectorial $V **$ . Siempre hay un mapa $V \to V **$ . Para algunos $V$ , es decir, precisamente los espacios vectoriales de dimensión finita , este mapa es un isomorfismo .
Un mapa lineal $V \to W$ da lugar a un mapa en la dirección opuesta ( $W * \to V *$ ).
Dados dos espacios vectoriales $V$ y $W$ , los mapas de $V$ a $W *$ corresponden a los mapas de $W$ a $V *$ .

Una característica particular de esta dualidad es que $V$ y $V *$ son isomorfos para ciertos objetos, concretamente espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, esto es en cierto sentido una coincidencia afortunada, ya que dar tal isomorfismo requiere una cierta elección, por ejemplo, la elección de una base de $V.$ Esto también es cierto en el caso de que $V$ sea un espacio de Hilbert , mediante el teorema de representación de Riesz .

Teoría de Galois

En todas las dualidades analizadas antes, el dual de un objeto es del mismo tipo que el objeto mismo. Por ejemplo, el dual de un espacio vectorial es nuevamente un espacio vectorial. Muchas declaraciones de dualidad no son de este tipo. Más bien, tales dualidades revelan una estrecha relación entre objetos de naturaleza aparentemente diferente. Un ejemplo de esta dualidad más general proviene de la teoría de Galois . Para una extensión de Galois fija $K / F$ , se puede asociar el grupo de Galois $Gal(K / E)$ a cualquier campo intermedio $E$ (es decir, $F \subseteq E \subseteq K$ ). Este grupo es un subgrupo del grupo de Galois $G = Gal(K / F)$ . Por el contrario, para cualquier subgrupo $H \subseteq G$ existe el campo fijo $K H$ que consta de elementos fijados por los elementos en $H.$

En comparación con lo anterior, esta dualidad tiene las siguientes características:

Una extensión $F \subseteq F'$ de campos intermedios da lugar a una inclusión de grupos de Galois en dirección opuesta: $Gal(K / F') \subseteq Gal(K / F)$ .
Asociar $Gal(K / E)$ a $E$ y $K H$ a $H$ son inversos entre sí. Este es el contenido del teorema fundamental de la teoría de Galois .

Dualidades que invierten el orden

Diagrama de Hasse del conjunto potencia de ${1,2,3,4}$ , parcialmente ordenado por $\subset$ . El poset dual, es decir, ordenar por $\supset$ , se obtiene girando el diagrama al revés. Los nodos verdes forman un conjunto superior y un conjunto inferior en el orden original y dual, respectivamente.

Dado un poset $P = (X, \leq)$ (abreviatura de conjunto parcialmente ordenado; es decir, un conjunto que tiene una noción de ordenamiento pero en el que dos elementos no necesariamente pueden colocarse en orden entre sí), el poset dual $P d = (X, \geq )$ comprende el mismo conjunto de fundamentos pero la relación inversa . Ejemplos familiares de órdenes parciales duales incluyen

las relaciones de subconjunto y superconjunto $\subset$ y $\supset$ en cualquier colección de conjuntos, como los subconjuntos de un conjunto fijo $S.$ Esto da lugar al primer ejemplo de dualidad mencionado anteriormente.
las divisiones y relaciones múltiplos de los números enteros .
el descendiente y el antepasado de las relaciones en el conjunto de los humanos.

Una transformada de dualidad es un antiautomorfismo involutivo $f$ de un conjunto parcialmente ordenado $S$ , es decir, una involución de orden inverso $f : S \to S.$ ^[9]^[10] En varios casos importantes, estas propiedades simples determinan la transformación de forma única hasta algunas simetrías simples. Por ejemplo, si $f 1$ , $f 2$ son dos transformadas de dualidad, entonces su composición es un automorfismo de orden de $S$ ; por lo tanto, dos transformaciones de dualidad cualesquiera difieren sólo por un automorfismo de orden. Por ejemplo, todos los automorfismos de orden de un conjunto de potencias S $= 2 R$ son inducidos por permutaciones de $R.$

Un concepto definido para un orden parcial $P$ corresponderá a un concepto dual en el poset dual $P d$ . Por ejemplo, un elemento mínimo de $P$ será un elemento máximo de $P d$ : minimalidad y maximalidad son conceptos duales en la teoría del orden. Otros pares de conceptos duales son límites superior e inferior , conjuntos inferiores y conjuntos superiores , e ideales y filtros .

En topología, los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados son conceptos duales: el complemento de un conjunto abierto es cerrado y viceversa. En la teoría matroide , la familia de conjuntos complementarios a los conjuntos independientes de una matroide determinada forman otra matroide, llamada matroide dual .

Dualidades que invierten dimensiones

Hay muchas dualidades distintas pero interrelacionadas en las que los objetos geométricos o topológicos corresponden a otros objetos del mismo tipo, pero con una inversión de las dimensiones de las características de los objetos. Un ejemplo clásico de esto es la dualidad de los sólidos platónicos , en la que el cubo y el octaedro forman un par dual, el dodecaedro y el icosaedro forman un par dual y el tetraedro es autodual. El poliedro dual de cualquiera de estos poliedros puede formarse como la cáscara convexa de los puntos centrales de cada cara del poliedro primario, de modo que los vértices del poliedro dual se corresponden uno a uno con las caras del poliedro primario. De manera similar, cada arista del dual corresponde a una arista del primal, y cada cara del dual corresponde a un vértice del primal. Estas correspondencias preservan la incidencia: si dos partes del poliedro primario se tocan, también lo hacen las dos partes correspondientes del poliedro dual . De manera más general, utilizando el concepto de reciprocidad polar , cualquier poliedro convexo , o más generalmente cualquier politopo convexo , corresponde a un poliedro dual o politopo dual, con una característica $i$ -dimensional de un politopo $n -dimensional correspondiente a un$ $(n - i - 1)$ Característica dimensional del politopo dual. La naturaleza de la dualidad que preserva la incidencia se refleja en el hecho de que las redes frontales de los poliedros o politopos primarios y duales son en sí mismos duales de teoría de orden. La dualidad de politopos y la dualidad de la teoría del orden son ambas involuciones : el politopo dual del politopo dual de cualquier politopo es el politopo original, y al invertir todas las relaciones de orden dos veces se regresa al orden original. La elección de un centro de polaridad diferente conduce a politopos duales geométricamente diferentes, pero todos tienen la misma estructura combinatoria.

A partir de cualquier poliedro tridimensional se puede formar un gráfico plano , el gráfico de sus vértices y aristas. El poliedro dual tiene una gráfica dual , una gráfica con un vértice por cada cara del poliedro y con una arista por cada dos caras adyacentes. El mismo concepto de dualidad de grafos planos puede generalizarse a grafos que se dibujan en el plano pero que no provienen de un poliedro tridimensional, o más generalmente a graficaciones incrustadas en superficies de género superior: se puede dibujar un grafo dual colocando un vértice dentro de cada región delimitada por un ciclo de bordes en la incrustación y dibujando un borde que conecta dos regiones cualesquiera que comparten un borde límite. Un ejemplo importante de este tipo proviene de la geometría computacional : la dualidad para cualquier conjunto finito $S$ de puntos en el plano entre la triangulación de Delaunay de $S$ y el diagrama de Voronoi de $S.$ Al igual que con los poliedros duales y los politopos duales, la dualidad de los gráficos en las superficies es una involución de inversión de dimensiones: cada vértice en el gráfico incrustado primario corresponde a una región de la incrustación dual, cada borde en el primario es atravesado por un borde en el dual , y cada región del primal corresponde a un vértice del dual. El gráfico dual depende de cómo está incrustado el gráfico primario: diferentes incrustaciones planas de un solo gráfico pueden conducir a diferentes gráficos duales. La dualidad matroide es una extensión algebraica de la dualidad del gráfico plano, en el sentido de que la matroide dual de la matroide gráfica de un gráfico plano es isomorfa a la matroide gráfica del gráfico dual.

En la teoría de la optimización también se produce una especie de dualidad geométrica , pero no una que invierta las dimensiones. Un programa lineal puede especificarse mediante un sistema de variables reales (las coordenadas de un punto en el espacio euclidiano ), un sistema de restricciones lineales (especificando que el punto se encuentra en un semiespacio ; la intersección de estos semiespacios es un politopo convexo, el factible región del programa) y una función lineal (qué optimizar). Todo programa lineal tiene un problema dual con la misma solución óptima, pero las variables del problema dual corresponden a restricciones del problema primario y viceversa. $\mathbb {R} ^{n}$

Dualidad en lógica y teoría de conjuntos.

En lógica, las funciones o relaciones $A$ y $B$ se consideran duales si $A (\neg x) = \neg B (x)$ , donde ¬ es la negación lógica . La dualidad básica de este tipo es la dualidad de los cuantificadores ∃ y ∀ en la lógica clásica. Estos son duales porque $\exists x .\neg P (x)$ y $\neg\forall x . P (x)$ son equivalentes para todos los predicados P en lógica clásica: si existe una x para la cual P no se cumple, entonces es falso que P se cumpla para todo x (pero lo contrario no se cumple constructivamente). De esta dualidad lógica fundamental se derivan varias otras:

Se dice que una fórmula es satisfactoria en un determinado modelo si hay asignaciones a sus variables libres que la hacen verdadera; es válido si cada asignación a sus variables libres lo hace verdadero. La satisfacibilidad y la validez son duales porque las fórmulas inválidas son precisamente aquellas cuyas negaciones son satisfacibles, y las fórmulas insatisfactorias son aquellas cuyas negaciones son válidas. Esto puede verse como un caso especial del ítem anterior, en el que los cuantificadores varían sobre las interpretaciones.
En lógica clásica, los operadores $\land$ y $\lor$ son duales en este sentido, porque $(\neg x \land \neg y)$ y $\neg(x \lor y)$ son equivalentes. Esto significa que para cada teorema de la lógica clásica existe un teorema dual equivalente. Las leyes de De Morgan son ejemplos. De manera más general, $\land (\neg x i) = \neg \lor x i$ . El lado izquierdo es verdadero si y solo si $\forall i .\neg x i$ , y el lado derecho si y solo si ¬∃ i . xyo .
En lógica modal , $□ p$ significa que la proposición $p$ es "necesariamente" verdadera, y $◊ p$ que $p$ es "posiblemente" verdadera. La mayoría de las interpretaciones de la lógica modal asignan significados duales a estos dos operadores. Por ejemplo, en la semántica de Kripke , " $p$ es posiblemente verdadero" significa "existe algún mundo $W$ tal que $p$ es verdadero en $W$ ", mientras que " $p$ es necesariamente verdadero" significa "para todos los mundos $W$ , $p$ es verdadero en $W$ ". La dualidad de $□$ y $◊$ se deriva entonces de la dualidad análoga de $\forall$ y $\exists$ . Otros operadores modales duales se comportan de manera similar. Por ejemplo, la lógica temporal tiene operadores que denotan "será verdadero en algún momento en el futuro" y "será verdadero en todo momento en el futuro", que son igualmente duales.

De éstas se derivan otras dualidades análogas:

La unión y la intersección de la teoría de conjuntos son duales bajo el operador de complemento de conjuntos $\cdot C$ . Es decir, $A C \cap B C = (A \cup B) C$ , y más generalmente, $\cap A Cα = (\cup A α) C$ . Esto se desprende de la dualidad de $\forall$ y $\exists$ : un elemento $x$ es miembro de $\cap A Cα $ si y solo si $\forall α .\neg x \in A α$ , y es miembro de $(\cup A α) C$ si y solo si $\neg\exists α . x \in A α$ .

Objetos duales

Un grupo de dualidades se puede describir dotando, para cualquier objeto matemático $X$ , el conjunto de morfismos $Hom (X, D)$ en algún objeto fijo $D$ , con una estructura similar a la de $X.$ A esto a veces se le llama Hom interno . En general, esto produce una dualidad verdadera sólo para elecciones específicas de $D$ , en cuyo caso $X * = Hom ($ X $,$ $D$ $)$ $se$ conoce como el dual de $X.$ Siempre hay una aplicación de $X$ al bidual , es decir, al dual del dual,

X\to X^{**}:=(X^{*})^{*}=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (X,D),D).

x \in X

f : X \to D

Hom(X, D)

f (x)

X

Espacios vectoriales duales revisados

La construcción del espacio vectorial dual.

V^{*}=\operatorname {Hom} (V,K)

aplicaciones lineales

V \to V **

dimensión

V

Isomorfismos de $V$ y $V *$ y espacios producto internos

Un espacio vectorial $V$ es isomorfo a $V *$ precisamente si $V$ es de dimensión finita. En este caso, tal isomorfismo es equivalente a una forma bilineal no degenerada.

\varphi :V\times V\to K

V

espacio producto interior

K

números reales definida positiva geometría de Riemann

V

espacio tangente variedad métricas de Riemann estrella de Hodge álgebra exterior

n

k -formas

(

n

-

k

)

las ecuaciones de Maxwell magnéticos eléctricos

Dualidad en geometría proyectiva

El cuadrilátero completo , una configuración de cuatro puntos y seis rectas en el plano proyectivo (izquierda) y su configuración dual, el cuadrilátero completo, con cuatro rectas y seis puntos (derecha).

En algunos planos proyectivos , es posible encontrar transformaciones geométricas que asignan cada punto del plano proyectivo a una línea, y cada línea del plano proyectivo a un punto, de manera que se preserve la incidencia. ^[11] Para tales planos surge un principio general de dualidad en planos proyectivos : dado cualquier teorema en tal geometría proyectiva plana, intercambiar los términos "punto" y "línea" en todas partes da como resultado un teorema nuevo, igualmente válido. ^[12] Un ejemplo sencillo es que la afirmación "dos puntos determinan una única recta, la recta que pasa por estos puntos" tiene la doble afirmación de que "dos rectas determinan un único punto, el punto de intersección de estas dos rectas". Para obtener más ejemplos, consulte Teoremas duales .

El espacio vectorial dual ofrece una explicación conceptual de este fenómeno en algunos planos (especialmente en los planos de campo). De hecho, los puntos en el plano proyectivo corresponden a espacios subvectoriales unidimensionales ^[13] mientras que las líneas en el plano proyectivo corresponden a espacios subvectoriales de dimensión 2. La dualidad en tales geometrías proyectivas surge de asignar a un unidimensional el subespacio de consistir en aquellos mapas lineales que satisfacen . Como consecuencia de la fórmula de dimensión del álgebra lineal , este espacio es bidimensional, es decir, corresponde a una recta en el plano proyectivo asociado a . $\mathbb {RP} ^{2}$ $V\subset \mathbb {R} ^{3}$ $W$ $V$ $(\mathbb {R} ^{3})^{*}$ $f:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ $f(V)=0$ $(\mathbb {R} ^{3})^{*}$

La forma bilineal (definida positiva)

\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ,\langle x,y\rangle =\sum _{i=1}^{3}x_{i}y_{i}

ortogonalidad la dualidad en la geometría proyectiva

\mathbb {RP} ^{2}

V\subset \mathbb {R} ^{3}

\left\{w\in \mathbb {R} ^{3},\langle v,w\rangle =0{\text{ for all }}v\in V\right\}

Espacios vectoriales topológicos y espacios de Hilbert

En el ámbito de los espacios vectoriales topológicos , existe una construcción similar, reemplazando el espacio vectorial dual por el espacio vectorial dual topológico . Existen varias nociones de espacio dual topológico, y cada una de ellas da lugar a un determinado concepto de dualidad. Un espacio vectorial topológico que es canónicamente isomorfo a su bidual se llama espacio reflexivo : $X$ $X''$

X\cong X''.

Ejemplos:

Como en el caso de dimensión finita, en cada espacio de Hilbert $H$ su producto interno $⟨\cdot, \cdot⟩$ define un mapa $H\to H^{*},v\mapsto (w\mapsto \langle w,v\rangle ),$ que es una biyección debido al teorema de representación de Riesz . Como corolario, todo espacio de Hilbert es un espacio de Banach reflexivo .
El espacio normado dual de un $L p$ -espacio es $L q$ donde $1/ p + 1/ q = 1$ siempre que $1 \leq p < \infty$ , pero el dual de $L \infty$ es mayor que $L 1$ . Por tanto, $L 1$ no es reflexivo.
Las distribuciones son funcionales lineales en espacios apropiados de funciones. Son un medio técnico importante en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales (PDE): en lugar de resolver una PDE directamente, puede ser más fácil resolver primero la PDE en el "sentido débil", es decir, encontrar una distribución que satisfaga la PDE y , segundo, mostrar que la solución debe, de hecho, ser una función. ^[14] Todos los espacios estándar de distribuciones — ,, — son espacios reflexivos localmente convexos. ^[15] ${\mathcal {D}}'(U)$ ${\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})$ ${\mathcal {C}}^{\infty }(U)'$

Otros objetos duales

La red dual de una red $L$ viene dada por ^{[ se necesita aclaración ]}

\operatorname {Hom} (L,\mathbf {Z} ),

variedades tóricas^[16]dual de Pontryagin grupos topológicos localmente compactos G

\operatorname {Hom} (G,S^{1}),

homomorfismos de grupo

Categorías duales

Categoría opuesta y funtores adjuntos

En otro grupo de dualidades, los objetos de una teoría se traducen en objetos de otra teoría y las correspondencias entre objetos en la primera teoría se traducen en morfismos en la segunda teoría, pero con dirección invertida. Usando el lenguaje de la teoría de categorías , esto equivale a un functor contravariante entre dos categorías $C$ y $D$ :

F : C \to D

que para dos objetos cualesquiera X e Y de C da un mapa

Hom C (X, Y) \to Hom D (F (Y), F (X))

Ese funtor puede ser o no una equivalencia de categorías . Hay varias situaciones en las que dicho functor es una equivalencia entre la categoría opuesta $C op$ de $C$ y $D.$ Usando una dualidad de este tipo, cada afirmación de la primera teoría puede traducirse en una afirmación "dual" de la segunda teoría, donde la dirección de todas las flechas debe invertirse. ^[17] Por lo tanto, cualquier dualidad entre las categorías $C$ y $D$ es formalmente lo mismo que una equivalencia entre $C$ y $D op$ ( $C op$ y $D$ ). Sin embargo, en muchas circunstancias las categorías opuestas no tienen un significado inherente, lo que hace de la dualidad un concepto adicional y separado. ^[18]

Una categoría que es equivalente a su dual se llama autodual . Un ejemplo de categoría autodual es la categoría de espacios de Hilbert . ^[19]

Muchas nociones de teoría de categorías vienen en pares en el sentido de que se corresponden entre sí al considerar la categoría opuesta. Por ejemplo, los productos cartesianos $Y 1 \times Y 2$ y las uniones disjuntas $Y 1 ⊔ Y 2$ de conjuntos son duales entre sí en el sentido de que

Hom (X, Y 1 \times Y 2) = Hom (X, Y 1) \times Hom (X, Y 2)

Hom (Y 1 ⊔ Y 2, X) = Hom (Y 1, X) \times Hom (Y 2, X)

para cualquier conjunto $X$ . Este es un caso particular de un fenómeno de dualidad más general, bajo el cual los límites en una categoría $C$ corresponden a colimites en la categoría opuesta $C op$ ; Otros ejemplos concretos de esto son epimorfismos versus monomorfismo , en particular módulos de factores (o grupos, etc.) versus submódulos , productos directos versus sumas directas (también llamados coproductos para enfatizar el aspecto de dualidad). Por lo tanto, en algunos casos, las pruebas de ciertas afirmaciones pueden reducirse a la mitad, utilizando este fenómeno de dualidad. Otras nociones que se muestran relacionadas por tal dualidad categórica son los módulos proyectivos e inyectivos en álgebra homológica , ^[20] fibraciones y cofibraciones en topología y, más generalmente, categorías de modelos . ^[21]

Dos funtores $F : C \to D$ y $G : D \to C$ son adjuntos si para todos los objetos c en C y d en D

Hom D (F(c), re) ≅ Hom C (c, G (d))

de forma natural. En realidad, la correspondencia de límites y colimites es un ejemplo de adjuntos, ya que existe un adjunto

colim : CI \leftrightarrow C : Δ

entre el functor colimit que asigna a cualquier diagrama en $C$ indexado por alguna categoría $I$ su colimit y el funtor diagonal que asigna cualquier objeto $c$ de $C$ al diagrama constante que tiene $c$ en todos los lugares. Doblemente,

Δ: C \leftrightarrow C I : lím

Espacios y funciones

La dualidad de Gelfand es una dualidad entre las álgebras C* conmutativas A y los espacios compactos de Hausdorff. X es la misma: asigna a X el espacio de funciones continuas (que desaparecen en el infinito) de X a C , los números complejos. Por el contrario, el espacio X puede reconstruirse a partir de A como el espectro de A. Tanto la dualidad de Gelfand como la de Pontryagin se pueden deducir de una manera en gran medida formal y teórica de categorías. ^[22]

De manera similar , existe una dualidad en la geometría algebraica entre anillos conmutativos y esquemas afines : para cada anillo conmutativo A hay un espectro afín, Spec A. Por el contrario, dado un esquema afín S , se recupera un anillo tomando secciones globales de la estructura gavilla O _S. Además, los homomorfismos de anillo están en correspondencia uno a uno con los morfismos de esquemas afines, por lo que existe una equivalencia

(Anillos conmutativos) ^op ≅ (esquemas afines) ^[23]

Los esquemas afines son los componentes básicos de los esquemas locales . Por tanto, el resultado anterior dice que la teoría local de esquemas es lo mismo que el álgebra conmutativa , el estudio de los anillos conmutativos.

La geometría no conmutativa se inspira en la dualidad de Gelfand y estudia las álgebras C* no conmutativas como si fueran funciones en algún espacio imaginado. La dualidad Tannaka-Krein es un análogo no conmutativo de la dualidad Pontryagin. ^[24]

Conexiones Galois

En una serie de situaciones, las dos categorías que son duales entre sí surgen en realidad de conjuntos parcialmente ordenados , es decir, existe cierta noción de que un objeto "es más pequeño" que otro. Una dualidad que respeta los ordenamientos en cuestión se conoce como conexión de Galois . Un ejemplo es la dualidad estándar en la teoría de Galois mencionada en la introducción: una extensión de campo mayor corresponde (bajo el mapeo que asigna a cualquier extensión L ⊃ K (dentro de algún campo fijo mayor Ω) el grupo de Galois Gal (Ω / L ) —a un grupo más pequeño. ^[25]

La colección de todos los subconjuntos abiertos de un espacio topológico X forma un álgebra de Heyting completa . Existe una dualidad, conocida como dualidad de Piedra , que conecta espacios sobrios y locales espaciales .

Teorema de representación de Birkhoff que relaciona redes distributivas y órdenes parciales

Dualidad de Pontryagin

La dualidad de Pontryagin da una dualidad en la categoría de grupos abelianos localmente compactos : dado cualquier grupo G , el grupo de caracteres

χ( GRAMO ) = Hom ( GRAMO , S ¹ )

dado por homomorfismos de grupo continuos desde G al grupo circular S ¹ puede estar dotado de la topología compacta-abierta . La dualidad de Pontryagin establece que el grupo de caracteres es nuevamente abeliano localmente compacto y que

GRAMO ≅ χ(χ( GRAMO )). ^[26]

Además, los grupos discretos corresponden a grupos abelianos compactos ; los grupos finitos corresponden a grupos finitos. Por un lado, Pontryagin es un caso especial de la dualidad de Gelfand. Por otro lado, es la razón conceptual del análisis de Fourier , ver más abajo.

Dualidades analíticas

En el análisis , los problemas se resuelven frecuentemente pasando a la descripción dual de funciones y operadores.

La transformada de Fourier cambia entre funciones en un espacio vectorial y su dual:

{\widehat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx,

f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .

ffunción L 2RR ^Nconvolución espacios funcionalesRR ^N,Re ⁻²^πixξmecánicos cuánticos

{\widehat {f}}

f(-x)={\widehat {\widehat {f}}}(x)

La transformada de Laplace es similar a la transformada de Fourier e intercambia operadores de multiplicación por polinomios con operadores diferenciales lineales de coeficiente constante .
La transformación de Legendre es una dualidad analítica importante que cambia entre velocidades en la mecánica lagrangiana y momentos en la mecánica hamiltoniana .

Homología y cohomología

Los teoremas que muestran que ciertos objetos de interés son espacios duales (en el sentido del álgebra lineal) de otros objetos de interés a menudo se denominan dualidades . Muchas de estas dualidades están dadas por un emparejamiento bilineal de dos K -espacios vectoriales

UN ⊗ B → K .

Para emparejamientos perfectos , existe, por tanto, un isomorfismo de A al dual de B.

Dualidad de Poincaré

La dualidad de Poincaré de una variedad compleja compacta suave X viene dada por un emparejamiento de cohomología singular con coeficientes C (de manera equivalente, cohomología de gavilla de la gavilla constante C )

H ^yo (X) ⊗ H ^{2 norte - yo} (X) → C ,

donde n es la dimensión (compleja) de X . ^[27] La dualidad de Poincaré también se puede expresar como una relación de homología singular y cohomología de De Rham , afirmando que el mapa

(\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega

(integrar una forma k diferencial sobre un ciclo dimensional 2 n − k -(real)) es una combinación perfecta.

La dualidad de Poincaré también invierte dimensiones; corresponde al hecho de que, si una variedad topológica se representa como un complejo de celdas , entonces el dual del complejo (una generalización de dimensiones superiores del gráfico dual plano) representa la misma variedad. En la dualidad de Poincaré, este homeomorfismo se refleja en un isomorfismo del k -ésimo grupo de homología y el ( n - k )ésimo grupo de cohomología .

Dualidad en geometría algebraica y aritmética.

El mismo patrón de dualidad es válido para una variedad proyectiva suave sobre un campo separablemente cerrado , utilizando en su lugar cohomología l-ádica con coeficientes Q _ℓ . ^[28] Esto se generaliza aún más a variedades posiblemente singulares , utilizando en su lugar la cohomología de intersección , una dualidad llamada dualidad de Verdier . ^[29] La dualidad de Serre o la dualidad coherente son similares a las afirmaciones anteriores, pero se aplican a la cohomología de haces coherentes . ^[30]

Resulta que con un nivel creciente de generalidad, una cantidad cada vez mayor de conocimientos técnicos es útil o necesaria para comprender estos teoremas: la formulación moderna de estas dualidades se puede hacer usando categorías derivadas y ciertos functores de imagen directos e inversos de haces (con respecto a la topología analítica clásica sobre variedades para la dualidad de Poincaré, las gavillas l-ádicas y la topología étale en el segundo caso, y con respecto a las gavillas coherentes para la dualidad coherente).

Otro grupo más de enunciados de dualidad similares se encuentra en aritmética : cohomología étale de campos finitos , locales y globales (también conocida como cohomología de Galois , ya que la cohomología étale sobre un campo es equivalente a la cohomología de grupo del grupo de Galois (absoluto) del campo) admitir parejas similares. El grupo absoluto de Galois G ( F _q ) de un campo finito, por ejemplo, es isomorfo a la terminación profinita de Z , los números enteros. Por lo tanto, la combinación perfecta (para cualquier módulo G M ) ${\widehat {\mathbf {Z} }}$

H ^norte ( GRAMO , METRO ) × H ^{1− n} ( GRAMO , Hom ( METRO , Q / Z )) → Q / Z ^[31]

es una consecuencia directa de la dualidad de Pontryagin de grupos finitos. Para los campos local y global, existen afirmaciones similares ( dualidad local y dualidad global o Poitou-Tate ). ^[32]

Ver también

funtor adjunto
categoría autonoma
Cuerpo convexo y cuerpo polar.
Variedad abeliana dual
base dual
Dual (teoría de categorías)
código dual
Dualidad (ingeniería eléctrica)
Dualidad (optimización)
Módulo dualizador
Gavilla dualizadora
celosía dual
Doble norma
Números duales , cierta álgebra asociativa ; El término "dual" aquí es sinónimo de doble y no tiene relación con las nociones dadas anteriormente.
sistema dual
dualidad koszul
Langlands dual
Programación lineal # Dualidad
Lista de dualidades
dualidad matlis
Dualidad de Petrie
Dualidad de Pontryagin
S-dualidad
T-dualidad , simetría especular

Notas

^ Atiyah 2007, pag. 1
^ Kostrikin 2001, esta cita es la primera oración de la sección final denominada comentarios en este documento de una sola página.
^ Gowers 2008, pag. 187, col. 1
^ Gowers 2008, pag. 189, col. 2
^ Atiyah 2007, pag. 1
^ El complemento también se denota como $S \ A$ .
^ Rudin (1976, pág.34)
^ Más precisamente, es el cono convexo cerrado más pequeño que contiene . $C^{**}$ $C$
^ Artstein-Avidan y Milman 2007
^ Artstein-Avidan y Milman 2008
^ Veblen y joven 1965.
^ (Veblen & Young 1965, Capítulo I, Teorema 11)
^ De manera más general, se pueden considerar los planos proyectivos sobre cualquier campo, como los números complejos o los campos finitos o incluso los anillos de división .
^ Ver regularidad elíptica .
^ Edwards (1965, 8.4.7).
^ Fulton 1993
^ Mac Lane 1998, cap. II.1.
^ (Lam 1999, §19C)
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^ Ver (Lang 2002, Teorema VI.1.1) para extensiones finitas de Galois.
^ (Loomis 1953, p.151, sección 37D)
^ Griffiths y Harris 1994, pág. 56
^ Milne 1980, cap. VI.11
^ Iversen 1986, cap. VII.3, VII.5
^ Hartshorne 1966, cap. III.7
^ Milne (2006, ejemplo I.1.10)
^ Mazur (1973); Milne (2006)

Referencias

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