Topología general

Rama de topología

La curva sinusoidal del topólogo , un ejemplo útil en topología de conjuntos de puntos. Está conectado pero no conectado por camino.

En matemáticas , la topología general (o topología de conjuntos de puntos ) es la rama de la topología que se ocupa de las definiciones y construcciones básicas de la teoría de conjuntos utilizadas en topología. Es la base de la mayoría de las otras ramas de la topología, incluida la topología diferencial , la topología geométrica y la topología algebraica .

Los conceptos fundamentales en la topología de conjuntos de puntos son continuidad , compacidad y conectividad :

• Las funciones continuas , de forma intuitiva, llevan puntos cercanos a puntos cercanos.
• Los conjuntos compactos son aquellos que pueden estar cubiertos por un número finito de conjuntos de tamaño arbitrariamente pequeño.
• Los conjuntos conexos son conjuntos que no se pueden dividir en dos partes que estén muy separadas.

Los términos "cercano", "arbitrariamente pequeño" y "lejos" pueden precisarse utilizando el concepto de conjuntos abiertos . Si cambiamos la definición de 'conjunto abierto', cambiamos lo que son funciones continuas, conjuntos compactos y conjuntos conexos. Cada elección de definición de "conjunto abierto" se denomina topología . Un conjunto con topología se llama espacio topológico .

Los espacios métricos son una clase importante de espacios topológicos donde se puede definir una distancia real no negativa, también llamada métrica , en pares de puntos del conjunto. Tener una métrica simplifica muchas pruebas y muchos de los espacios topológicos más comunes son espacios métricos.

Historia

La topología general surgió de varias áreas, siendo las más importantes las siguientes:

• el estudio detallado de subconjuntos de la línea real (una vez conocido como topología de conjuntos de puntos ; este uso ahora está obsoleto)
• la introducción del concepto múltiple
• el estudio de espacios métricos , especialmente espacios lineales normados , en los primeros días del análisis funcional .

La topología general asumió su forma actual alrededor de 1940. Capta, se podría decir, casi todo en la intuición de continuidad , en una forma técnicamente adecuada que puede aplicarse en cualquier área de las matemáticas.

Una topología en un conjunto.

Sea X un conjunto y sea τ una familia de subconjuntos de X. Entonces τ se llama topología en X si: ^{[1] [2]}

1. Tanto el conjunto vacío como X son elementos de τ
2. Cualquier unión de elementos de τ es un elemento de τ
3. Cualquier intersección de un número finito de elementos de τ es un elemento de τ

Si τ es una topología en X , entonces el par ( X , τ ) se llama espacio topológico . La notación X _τ puede usarse para denotar un conjunto X dotado de la topología particular τ .

Los miembros de τ se llaman conjuntos abiertos en X. Se dice que un subconjunto de X es cerrado si su complemento está en τ (es decir, su complemento es abierto). Un subconjunto de X puede ser abierto, cerrado, ambos ( conjunto clopen ) o ninguno. El conjunto vacío y el propio X están siempre cerrados y abiertos.

Base para una topología

Una base (o base ) B para un espacio topológico X con topología T es una colección de conjuntos abiertos en T tal que cada conjunto abierto en T puede escribirse como una unión de elementos de B. ^{[3] [4]} Decimos que la base genera la topología T . Las bases son útiles porque muchas propiedades de las topologías pueden reducirse a declaraciones sobre una base que genera esa topología y porque muchas topologías se definen más fácilmente en términos de una base que las genera.

Subespacio y cociente

A cada subconjunto de un espacio topológico se le puede dar la topología del subespacio en la que los conjuntos abiertos son las intersecciones de los conjuntos abiertos del espacio mayor con el subconjunto. Para cualquier familia indexada de espacios topológicos, al producto se le puede dar la topología del producto , que se genera mediante las imágenes inversas de conjuntos abiertos de los factores bajo las asignaciones de proyección . Por ejemplo, en productos finitos, una base para la topología del producto consta de todos los productos de conjuntos abiertos. Para productos infinitos, existe el requisito adicional de que en un conjunto abierto básico, todas sus proyecciones, excepto un número finito, son el espacio completo.

Un espacio cociente se define de la siguiente manera: si X es un espacio topológico e Y es un conjunto, y si f  : X → Y es una función sobreyectiva , entonces la topología cociente en Y es la colección de subconjuntos de Y que tienen imágenes inversas abiertas bajo f . En otras palabras, la topología del cociente es la topología más fina en Y para la cual f es continua. Un ejemplo común de topología de cociente es cuando se define una relación de equivalencia en el espacio topológico X. El mapa f es entonces la proyección natural sobre el conjunto de clases de equivalencia .

Ejemplos de espacios topológicos

Un conjunto determinado puede tener muchas topologías diferentes. Si a un conjunto se le da una topología diferente, se lo ve como un espacio topológico diferente.

Topologías discretas y triviales.

A cualquier conjunto se le puede dar una topología discreta , en la que cada subconjunto está abierto. Las únicas secuencias o redes convergentes en esta topología son aquellas que eventualmente son constantes. Además, a cualquier conjunto se le puede dar la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que sólo el conjunto vacío y todo el espacio están abiertos. Cada secuencia y red en esta topología converge a cada punto del espacio. Este ejemplo muestra que en espacios topológicos generales, los límites de las secuencias no tienen por qué ser únicos. Sin embargo, a menudo los espacios topológicos deben ser espacios de Hausdorff donde los puntos límite son únicos.

Topologías cofinitas y cocontables.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cofinita en la que los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y los conjuntos cuyo complemento es finito. Esta es la topología T 1 más pequeña en cualquier conjunto infinito.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología contable , en la que un conjunto se define como abierto si está vacío o su complemento es contable. Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve como contraejemplo en muchas situaciones.

Topologías sobre los números reales y complejos.

Hay muchas maneras de definir una topología en R , el conjunto de números reales . La topología estándar en R se genera mediante intervalos abiertos . El conjunto de todos los intervalos abiertos forma una base para la topología, lo que significa que cada conjunto abierto es una unión de alguna colección de conjuntos de la base. En particular, esto significa que un conjunto es abierto si existe un intervalo abierto de radio distinto de cero alrededor de cada punto del conjunto. De manera más general, a los espacios euclidianos R ⁿ se les puede dar una topología. En la topología habitual en R ^n, los conjuntos abiertos básicos son las bolas abiertas . De manera similar, C , el conjunto de números complejos , y C ⁿ tienen una topología estándar en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas.

A la línea real también se le puede dar la topología de límite inferior . Aquí, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos semiabiertos [ a , b ). Esta topología en R es estrictamente más fina que la topología euclidiana definida anteriormente; una secuencia converge a un punto en esta topología si y sólo si converge desde arriba en la topología euclidiana. Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener muchas topologías distintas definidas en él.

La topología métrica

A cada espacio métrico se le puede dar una topología métrica, en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas definidas por la métrica. Ésta es la topología estándar en cualquier espacio vectorial normado . En un espacio vectorial de dimensión finita, esta topología es la misma para todas las normas.

Más ejemplos

• Existen numerosas topologías en cualquier conjunto finito dado . Estos espacios se denominan espacios topológicos finitos . Los espacios finitos a veces se utilizan para proporcionar ejemplos o contraejemplos a conjeturas sobre espacios topológicos en general.
• Cada variedad tiene una topología natural , ya que es localmente euclidiana. De manera similar, cada simplex y cada complejo simplicial hereda una topología natural de R ⁿ .
• La topología de Zariski se define algebraicamente sobre el espectro de un anillo o una variedad algebraica . En R ⁿ o C ⁿ , los conjuntos cerrados de la topología de Zariski son los conjuntos solución de sistemas de ecuaciones polinómicas .
• Un gráfico lineal tiene una topología natural que generaliza muchos de los aspectos geométricos de los gráficos con vértices y aristas .
• Muchos conjuntos de operadores lineales en el análisis funcional están dotados de topologías que se definen especificando cuándo una secuencia particular de funciones converge a la función cero.
• Cualquier campo local tiene una topología nativa y esta se puede extender a espacios vectoriales sobre ese campo.
• El espacio de Sierpiński es el espacio topológico no discreto más simple. Tiene relaciones importantes con la teoría de la computación y la semántica.
• Si Γ es un número ordinal , entonces el conjunto Γ = [0, Γ) puede estar dotado de la topología de orden generada por los intervalos ( a ,  b ), [0,  b ) y ( a , Γ) donde a y b son elementos de Γ.

Funciones continuas

La continuidad se expresa en términos de vecindades : f es continua en algún punto x  ∈  X si y sólo si para cualquier vecindad V de f ( x ) , existe una vecindad U de x tal que f ( U ) ⊆  V . Intuitivamente, la continuidad significa que no importa cuán "pequeño" se vuelva V , siempre hay una U que contiene x que se asigna dentro de V y cuya imagen debajo de f contiene f ( x ) . Esto es equivalente a la condición de que las preimágenes de los conjuntos abiertos (cerrados) en Y estén abiertas (cerradas) en X. En espacios métricos, esta definición es equivalente a la definición ε –δ que se utiliza a menudo en el análisis.

Un ejemplo extremo: si a un conjunto X se le da la topología discreta , todas las funciones

${\displaystyle f\colon X\rightarrow T}$

a cualquier espacio topológico T son continuos. Por otro lado, si X está equipado con la topología indiscreta y el conjunto espacial T es al menos T 0 , entonces las únicas funciones continuas son las funciones constantes. Por el contrario, cualquier función cuyo rango sea indiscreto es continua.

Definiciones alternativas

Existen varias definiciones equivalentes para una estructura topológica y, por tanto, existen varias formas equivalentes de definir una función continua.

Definición de barrio

Las definiciones basadas en preimágenes suelen ser difíciles de utilizar directamente. El siguiente criterio expresa continuidad en términos de vecindades : f es continua en algún punto x  ∈  X si y sólo si para cualquier vecindad V de f ( x ), existe una vecindad U de x tal que f ( U ) ⊆  V . Intuitivamente, la continuidad significa que no importa cuán "pequeño" se vuelva V , siempre hay una U que contiene x que se asigna dentro de V.

Si X e Y son espacios métricos, equivale a considerar el sistema de vecindad de bolas abiertas centrado en x y f ( x ) en lugar de todas las vecindades. Esto devuelve la definición de continuidad δ-ε anterior en el contexto de espacios métricos. Sin embargo, en los espacios topológicos generales, no existe noción de cercanía o distancia.

Tenga en cuenta, sin embargo, que si el espacio objetivo es Hausdorff , sigue siendo cierto que f es continua en a si y sólo si el límite de f cuando x se acerca a a es f ( a ). En un punto aislado , toda función es continua.

Secuencias y redes

En varios contextos, la topología de un espacio se especifica convenientemente en términos de puntos límite . En muchos casos, esto se logra especificando cuándo un punto es el límite de una secuencia , pero para algunos espacios que son demasiado grandes en algún sentido, también se especifica cuándo un punto es el límite de conjuntos más generales de puntos indexados por una secuencia dirigida . conjunto , conocido como redes . ^[5] Una función es continua sólo si lleva límites de secuencias a límites de secuencias. En el primer caso, también es suficiente la preservación de los límites; en este último, una función puede preservar todos los límites de las secuencias y aun así no ser continua, y la preservación de las redes es una condición necesaria y suficiente.

En detalle, una función f : X → Y es secuencialmente continua si siempre que una secuencia ( x _n ) en X converge a un límite x , la secuencia ( f ( x _n ) ) converge a f ( x ). ^[6] Así, las funciones secuencialmente continuas "preservan los límites secuenciales". Toda función continua es secuencialmente continua. Si X es un primer espacio contable y la elección contable se cumple, entonces lo contrario también se cumple: cualquier función que preserve límites secuenciales es continua. En particular, si X es un espacio métrico, la continuidad secuencial y la continuidad son equivalentes. Para espacios que no son los primeros contables, la continuidad secuencial puede ser estrictamente más débil que la continuidad. (Los espacios para los cuales las dos propiedades son equivalentes se denominan espacios secuenciales ). Esto motiva la consideración de redes en lugar de secuencias en espacios topológicos generales. Las funciones continuas preservan los límites de las redes y, de hecho, esta propiedad caracteriza a las funciones continuas.

Definición del operador de cierre

En lugar de especificar los subconjuntos abiertos de un espacio topológico, la topología también puede ser determinada por un operador de cierre (denotado cl), que asigna a cualquier subconjunto A ⊆ X su cierre , o un operador interior (denotado int), que asigna a cualquier subconjunto subconjunto A de X su interior . En estos términos, una función

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {cl} )\to (X',\mathrm {cl} ')\,}$

entre espacios topológicos es continua en el sentido anterior si y sólo si para todos los subconjuntos A de X

${\displaystyle f(\mathrm {cl} (A))\subseteq \mathrm {cl} '(f(A)).}$

Es decir, dado cualquier elemento x de X que esté en la clausura de cualquier subconjunto A , f ( x ) pertenece a la clausura de f ( A ). Esto equivale al requisito de que para todos los subconjuntos A ' de X '

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {cl} '(A'))\supseteq \mathrm {cl} (f^{-1}(A')).}$

Además,

${\displaystyle f\colon (X,\mathrm {int} )\to (X',\mathrm {int} ')\,}$

es continua si y sólo si

${\displaystyle f^{-1}(\mathrm {int} '(A))\subseteq \mathrm {int} (f^{-1}(A))}$

para cualquier subconjunto A de X .

Propiedades

Si f : X → Y y g : Y → Z son continuas, entonces también lo es la composición g ∘ f : X → Z . Si f : X → Y es continua y

• X es compacto , entonces f ( X ) es compacto.
• X es conexo , entonces f ( X ) es conexo.
• X está conectado por ruta , entonces f ( X ) está conectado por ruta.
• X es Lindelöf , entonces f ( X ) es Lindelöf.
• X es separable , entonces f ( X ) es separable.

Las posibles topologías en un conjunto fijo X están parcialmente ordenadas : se dice que una topología τ _{1 es} más burda que otra topología τ ₂ (notación: τ ₁ ⊆ τ ₂ ) si cada subconjunto abierto con respecto a τ ₁ también está abierto con respecto a τ ₂ . Entonces, el mapa de identidad

identificación _X : ( X , τ ₂ ) → ( X , τ ₁ )

es continua si y sólo si τ ₁ ⊆ τ ₂ (ver también comparación de topologías ). De manera más general, una función continua

${\displaystyle (X,\tau _{X})\rightarrow (Y,\tau _{Y})}$

permanece continuo si la topología τ _Y se reemplaza por una topología más gruesa y/o τ _X se reemplaza por una topología más fina .

Homeomorfismos

Simétrico al concepto de mapa continuo es un mapa abierto , para el cual las imágenes de conjuntos abiertos están abiertas. De hecho, si una función abierta f tiene una función inversa , esa inversa es continua, y si una aplicación continua g tiene una función inversa, esa inversa es abierta. Dada una función biyectiva f entre dos espacios topológicos, la función inversa f ⁻¹ no necesita ser continua. Una función biyectiva continua con función inversa continua se llama homeomorfismo .

Si una biyección continua tiene como dominio un espacio compacto y su codominio es Hausdorff , entonces es un homeomorfismo.

Definición de topologías mediante funciones continuas.

Dada una función

${\displaystyle f\colon X\rightarrow S,\,}$

donde X es un espacio topológico y S es un conjunto (sin una topología especificada), la topología final en S se define dejando que los conjuntos abiertos de S sean aquellos subconjuntos A de S para los cuales f ⁻¹ ( A ) está abierto en X . Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más burda que la topología final en S. Por tanto, la topología final se puede caracterizar como la topología más fina en S que hace que f sea continua. Si f es sobreyectiva , esta topología se identifica canónicamente con la topología cociente bajo la relación de equivalencia definida por f .

Dualmente, para una función f de un conjunto S a un espacio topológico, la topología inicial en S tiene como subconjuntos abiertos A de S aquellos subconjuntos para los cuales f ( A ) está abierto en X. Si S tiene una topología existente, f es continua con respecto a esta topología si y solo si la topología existente es más fina que la topología inicial en S. Por tanto, la topología inicial se puede caracterizar como la topología más burda en S que hace que f sea continua. Si f es inyectiva, esta topología se identifica canónicamente con la topología subespacial de S , vista como un subconjunto de X.

Una topología en un conjunto S está determinada únicamente por la clase de todas las funciones continuas en todos los espacios topológicos X. Asimismo , se puede aplicar una idea similar a los mapas. ${\displaystyle S\rightarrow X}$ ${\displaystyle X\rightarrow S.}$

Conjuntos compactos

Formalmente, un espacio topológico X se llama compacto si cada una de sus cubiertas abiertas tiene una subcubierta finita . En caso contrario se denomina no compacto . Explícitamente, esto significa que por cada colección arbitraria

${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$

de subconjuntos abiertos de X tales que

${\displaystyle X=\bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha },}$

existe un subconjunto finito J de A tal que

${\displaystyle X=\bigcup _{i\in J}U_{i}.}$

Algunas ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica , típicamente influenciadas por la escuela francesa de Bourbaki , utilizan el término cuasicompacto para la noción general y reservan el término compacto para espacios topológicos que son tanto de Hausdorff como cuasicompactos . Un conjunto compacto a veces se denomina compactum , plural compacta .

Todo intervalo cerrado en R de longitud finita es compacto . Más es cierto: en R ⁿ , un conjunto es compacto si y sólo si es cerrado y acotado. (Ver teorema de Heine-Borel ).

Toda imagen continua de un espacio compacto es compacta.

Un subconjunto compacto de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Toda biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es necesariamente un homeomorfismo .

Cada secuencia de puntos en un espacio métrico compacto tiene una subsecuencia convergente.

Toda variedad compacta de dimensión finita puede estar incrustada en algún espacio euclidiano R ⁿ .

Conjuntos conectados

Un espacio topológico X se dice desconectado si es la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos . En caso contrario, se dice que X es conexo . Se dice que un subconjunto de un espacio topológico es conexo si lo está bajo su topología subespacial . Algunos autores excluyen el conjunto vacío (con su topología única) como un espacio conexo, pero este artículo no sigue esa práctica.

Para un espacio topológico X las siguientes condiciones son equivalentes:

1. X está conectado.
2. X no se puede dividir en dos conjuntos cerrados no vacíos y disjuntos .
3. Los únicos subconjuntos de X que son a la vez abiertos y cerrados ( conjuntos cerrados ) son X y el conjunto vacío.
4. Los únicos subconjuntos de X con límite vacío son X y el conjunto vacío.
5. X no se puede escribir como la unión de dos conjuntos separados no vacíos .
6. Las únicas funciones continuas de X a {0,1}, el espacio de dos puntos dotado de topología discreta, son constantes.

Todo intervalo en R es conexo .

La imagen continua de un espacio conectado está conectada.

Componentes conectados

Los subconjuntos conectados máximos (ordenados por inclusión ) de un espacio topológico no vacío se denominan componentes conectados del espacio. Los componentes de cualquier espacio topológico X forman una partición de  X : son disjuntos , no vacíos y su unión es el espacio completo. Cada componente es un subconjunto cerrado del espacio original. De ello se deduce que, en el caso de que su número sea finito, cada componente es también un subconjunto abierto. Sin embargo, si su número es infinito, este podría no ser el caso; por ejemplo, los componentes conexos del conjunto de los números racionales son conjuntos de un punto, que no son abiertos.

Sea el componente conectado de x en un espacio topológico X , y sea la intersección de todos los conjuntos abiertos-cerrados que contienen x (llamado cuasi-componente de x ). Entonces , donde se cumple la igualdad si X es compacto de Hausdorff o localmente conexo. ${\displaystyle \Gamma _{x}}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}'}$ ${\displaystyle \Gamma _{x}\subset \Gamma '_{x}}$

Espacios desconectados

Un espacio en el que todos los componentes son conjuntos de un punto se llama totalmente desconectado . En relación con esta propiedad, un espacio X se llama totalmente separado si , para dos elementos distintos x e y de X , existen vecindades abiertas disjuntas U de x y V de y tales que X es la unión de U y V. Es evidente que cualquier espacio totalmente separado está totalmente desconectado, pero lo contrario no se cumple. Por ejemplo, tome dos copias de los números racionales Q e identifíquelas en cada punto excepto cero. El espacio resultante, con la topología del cociente, está totalmente desconectado. Sin embargo, al considerar las dos copias de cero, se ve que el espacio no está totalmente separado. De hecho, ni siquiera es Hausdorff , y la condición de estar totalmente separado es estrictamente más fuerte que la condición de ser Hausdorff.

Conjuntos conectados por caminos

Este subespacio de R ² está conectado por caminos, porque se puede trazar un camino entre dos puntos cualesquiera en el espacio.

Un camino desde un punto x a un punto y en un espacio topológico X es una función continua f desde el intervalo unitario [0,1] hasta X con f (0) = x y f (1) = y . Un componente de ruta de X es una clase de equivalencia de X bajo la relación de equivalencia , lo que hace que x sea equivalente a y si hay una ruta de x a y . Se dice que el espacio X está conectado por camino (o conectado por camino o conectado en 0 ) si hay como máximo un componente de camino; es decir, si hay un camino que une dos puntos cualesquiera en X . Nuevamente, muchos autores excluyen el espacio vacío.

Todo espacio conectado por camino está conectado. Lo contrario no siempre es cierto: ejemplos de espacios conectados que no están conectados por caminos incluyen la línea larga extendida L * y la curva sinusoidal del topólogo .

Sin embargo, los subconjuntos de la línea real R están conectados si y sólo si están conectados por caminos; estos subconjuntos son los intervalos de R . Además, los subconjuntos abiertos de R ⁿ o C ⁿ están conexos si y sólo si están conexos por caminos. Además, la conectividad y la conectividad de caminos son las mismas para espacios topológicos finitos .

Productos de espacios

Dado X tal que

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i},}$

es el producto cartesiano de los espacios topológicos X _i , indexados por , y las proyecciones canónicas p i _:  X → X i _, la topología del producto en X se define como la topología más burda (es decir, la topología con la menor cantidad de conjuntos abiertos) para la cual todos las proyecciones p _i son continuas . La topología del producto a veces se denomina topología de Tychonoff . ${\displaystyle i\in I}$

Los conjuntos abiertos en la topología del producto son uniones (finitas o infinitas) de conjuntos de la forma , donde cada U _i es abierto en X _i y U _i  ≠  X _i sólo un número finito de veces. En particular, para un producto finito (en particular, para el producto de dos espacios topológicos), los productos de los elementos base de Xi dan una _base para el producto . ${\displaystyle \prod _{i\in I}U_{i}}$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$

La topología del producto en X es la topología generada por conjuntos de la forma p _i ⁻¹ ( U ), donde i está en I y U es un subconjunto abierto de X _i . En otras palabras , los conjuntos { p _i ⁻¹ ( U )} forman una subbase para la topología en X. Un subconjunto de X es abierto si y sólo si es una unión (posiblemente infinita) de intersecciones de un número finito de conjuntos de la forma p _i ⁻¹ ( U ). Los p _i ⁻¹ ( U ) a veces se denominan cilindros abiertos y sus intersecciones son conjuntos de cilindros .

En general, el producto de las topologías de cada X _i forma una base para lo que se llama topología de caja en X. En general, la topología de caja es más fina que la topología de producto, pero para productos finitos coinciden.

Relacionado con la compacidad está el teorema de Tychonoff : el producto (arbitrario) de espacios compactos es compacto.

Axiomas de separación

Muchos de estos nombres tienen significados alternativos en parte de la literatura matemática, como se explica en Historia de los axiomas de separación ; por ejemplo, los significados de "normal" y "T ₄ " a veces se intercambian, de manera similar "regular" y "T ₃ ", etc. Muchos de los conceptos también tienen varios nombres; sin embargo, el que aparece primero siempre tiene menos probabilidades de ser ambiguo.

La mayoría de estos axiomas tienen definiciones alternativas con el mismo significado; Las definiciones dadas aquí caen en un patrón consistente que relaciona las diversas nociones de separación definidas en la sección anterior. Otras posibles definiciones se pueden encontrar en los artículos individuales.

En todas las definiciones siguientes, X es nuevamente un espacio topológico .

• X es T 0 , o Kolmogorov , si dos puntos distintos en X son topológicamente distinguibles . (Es un tema común entre los axiomas de separación tener una versión de un axioma que requiere T ₀ y una versión que no.)
• X es T 1 , o accesible o Fréchet , si dos puntos distintos en X están separados. Por lo tanto, X es T ₁ si y sólo si es T ₀ y R ₀ . (Aunque se pueden decir cosas como espacio T ₁ , topología de Fréchet y Supongamos que el espacio topológico X es Fréchet , evite decir espacio de Fréchet en este contexto, ya que existe otra noción completamente diferente de espacio de Fréchet en el análisis funcional ).
• X es Hausdorff , o T ₂ o separado , si dos puntos distintos en X están separados por vecindades. Por lo tanto, X es Hausdorff si y sólo si es T ₀ y R ₁ . Un espacio de Hausdorff también debe ser T ₁ .
• X es T 2½ , o Urysohn , si dos puntos distintos en X están separados por vecindades cerradas. En el espacio _2½ también debe haber Hausdorff.
• X es regular , o T ₃ , si es T ₀ y si se le da cualquier punto x y un conjunto cerrado F en X tal que x no pertenece a F , están separados por vecindades. (De hecho, en un espacio regular, cualquier x y F también están separados por vecindades cerradas).
• X es Tychonoff , o T _3½ , completamente T ₃ , o completamente regular , si es T ₀ y si f, dado cualquier punto x y conjunto cerrado F en X tal que x no pertenece a F , están separados por una línea continua función.
• X es normal , o T ₄ , si es Hausdorff y si dos subconjuntos cerrados disjuntos de X están separados por vecindades. (De hecho, un espacio es normal si y sólo si dos conjuntos cerrados disjuntos pueden separarse mediante una función continua; este es el lema de Urysohn ).
• X es completamente normal , o T ₅ o completamente T ₄ , si es T ₁ y si dos conjuntos separados están separados por vecindades. Un espacio completamente normal también debe ser normal.
• X es perfectamente normal , o T ₆ o perfectamente T ₄ , si es T ₁ y si dos conjuntos cerrados disjuntos están separados con precisión por una función continua. Un espacio Hausdorff perfectamente normal también debe ser Hausdorff completamente normal.

El teorema de extensión de Tietze : en un espacio normal, cada función continua de valor real definida en un subespacio cerrado se puede extender a un mapa continuo definido en todo el espacio.

Axiomas de contabilidad

Un axioma de contabilidad es una propiedad de ciertos objetos matemáticos (generalmente en una categoría ) que requiere la existencia de un conjunto contable con ciertas propiedades, mientras que sin él tales conjuntos podrían no existir.

Axiomas de contabilidad importantes para espacios topológicos :

• Espacio secuencial : un conjunto es abierto si cada secuencia convergente a un punto del conjunto eventualmente está en el conjunto.
• primer espacio contable : cada punto tiene una base de vecindad contable (base local)
• segundo espacio contable : la topología tiene una base contable
• espacio separable : existe un subespacio denso contable
• Espacio Lindelöf : cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable
• Espacio σ-compacto : existe una cobertura contable por espacios compactos

Relaciones:

• Cada primer espacio contable es secuencial.
• Cada segundo espacio contable es primero contable, separable y Lindelöf.
• Todo espacio σ-compacto es Lindelöf.
• Un espacio métrico es primero contable.
• Para espacios métricos, la segunda contabilización, la separabilidad y la propiedad de Lindelöf son todas equivalentes.

Espacios métricos

Un espacio métrico ^[7] es un par ordenado donde es un conjunto y es una métrica , es decir , una función ${\displaystyle (M,d)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

tal que para cualquiera , se cumple lo siguiente: ${\displaystyle x,y,z\in M}$

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$     ( no negativo ),
2. ${\displaystyle d(x,y)=0\,}$ iff     ( identidad de indiscernibles ), ${\displaystyle x=y\,}$
3. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,}$     ( simetría ) y
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$     ( desigualdad triangular ) .

La función también se llama función de distancia o simplemente distancia . A menudo, se omite y uno simplemente escribe para un espacio métrico si del contexto queda claro qué métrica se utiliza. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

Todo espacio métrico es paracompacto y de Hausdorff , y por tanto normal .

Los teoremas de metrización proporcionan condiciones necesarias y suficientes para que una topología provenga de una métrica.

Teorema de la categoría de Baire

El teorema de la categoría de Baire dice: Si X es un espacio métrico completo o un espacio de Hausdorff localmente compacto , entonces el interior de cada unión de un número numerable de conjuntos densos en ninguna parte está vacío. ^[8]

Cualquier subespacio abierto de un espacio de Baire es en sí mismo un espacio de Baire.

Principales áreas de investigación

Tres iteraciones de una construcción de curva de Peano, cuyo límite es una curva que llena el espacio. La curva de Peano se estudia en la teoría del continuo , una rama de la topología general .

Teoría del continuo

Un continuo (pl. continua ) es un espacio métrico conectado compacto no vacío , o menos frecuentemente, un espacio de Hausdorff compacto y conectado . La teoría del continuo es la rama de la topología dedicada al estudio de los continuos. Estos objetos surgen con frecuencia en casi todas las áreas de topología y análisis , y sus propiedades son lo suficientemente fuertes como para producir muchas características "geométricas".

Sistemas dinámicos

La dinámica topológica se refiere al comportamiento de un espacio y sus subespacios a lo largo del tiempo cuando se someten a cambios continuos. Muchos ejemplos con aplicaciones a la física y otras áreas de las matemáticas incluyen la dinámica de fluidos , el billar y los flujos en colectores. Las características topológicas de los fractales en geometría fractal, de los conjuntos de Julia y del conjunto de Mandelbrot que surgen en dinámicas complejas y de los atractores en ecuaciones diferenciales son a menudo fundamentales para comprender estos sistemas. ^{[ cita necesaria ]}

Topología inútil

La topología sin sentido (también llamada topología sin puntos o sin puntos ) es un enfoque de la topología que evita mencionar puntos. El nombre de "topología inútil" se debe a John von Neumann . ^[9] Las ideas de topología inútil están estrechamente relacionadas con las mereotopologías , en las que las regiones (conjuntos) se tratan como fundamentales sin una referencia explícita a los conjuntos de puntos subyacentes.

Teoría de las dimensiones

La teoría de las dimensiones es una rama de la topología general que se ocupa de los invariantes dimensionales de espacios topológicos .

Álgebras topológicas

Un álgebra topológica A sobre un campo topológico K es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación continua

${\displaystyle \cdot :A\times A\longrightarrow A}$

${\displaystyle (a,b)\longmapsto a\cdot b}$

eso la convierte en un álgebra sobre K . Un álgebra topológica asociativa unital es un anillo topológico .

El término fue acuñado por David van Dantzig ; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).

Teoría de la metrizabilidad

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio metrizable es un espacio topológico que es homeomorfo a un espacio métrico . Es decir, se dice que un espacio topológico es metrizable si existe una métrica ${\displaystyle (X,\tau )}$

${\displaystyle d\colon X\times X\to [0,\infty )}$

tal que la topología inducida por d es . Los teoremas de metrización son teoremas que dan condiciones suficientes para que un espacio topológico sea metrizable. ${\displaystyle \tau }$

Topología de la teoría de conjuntos

La topología de la teoría de conjuntos es una materia que combina la teoría de conjuntos y la topología general. Se centra en cuestiones topológicas que son independientes de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC). Un problema famoso es la cuestión del espacio normal de Moore , una cuestión de topología general que fue objeto de intensas investigaciones. Finalmente se demostró que la respuesta a la pregunta espacial normal de Moore era independiente de ZFC.

Ver también

• Lista de ejemplos en topología general.
• Glosario de topología general para definiciones detalladas
• Lista de temas de topología general para artículos relacionados
• Categoría de espacios topológicos

Referencias

1. Munkres, James R. Topología. vol. 2. Río Upper Saddle: Prentice Hall, 2000.
2. Adams, Colin Conrad y Robert David Franzosa. Introducción a la topología: pura y aplicada. Pearson Prentice Hall, 2008.
3. Merrifield, Richard E.; Simmons, Howard E. (1989). Métodos topológicos en química . Nueva York: John Wiley & Sons. págs.16. ISBN 0-471-83817-9. Consultado el 27 de julio de 2012 . Definición. Una colección B de subconjuntos de un espacio topológico (X,T) se denomina base para T si todo conjunto abierto puede expresarse como una unión de miembros de B.
4. Armstrong, MA (1983). Topología básica. Saltador. pag. 30.ISBN _ 0-387-90839-0. Consultado el 13 de junio de 2013 . Supongamos que tenemos una topología en un conjunto X y una colección de conjuntos abiertos tal que cada conjunto abierto es una unión de miembros de . Entonces se llama base para la topología... ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta }$
5. Moore, EH ; Smith, HL (1922). "Una teoría general de los límites". Revista Estadounidense de Matemáticas . 44 (2): 102-121. doi :10.2307/2370388. JSTOR  2370388.
6. Heine, E. (1872). "Los elementos de la función". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 74 : 172–188.
7. Maurice Fréchet introdujo los espacios métricos en su obra Sur quelques point du calcul fonctionnel , Rendic. Circo. Estera. Palermo 22 (1906) 1–74.
8. R. Baire. Sobre las funciones de variables reales. Ana. di Mat., 3:1–123, 1899.
9. Garrett Birkhoff, VON NEUMANN Y LA TEORÍA DEL ENTRADA , John Von Neumann 1903-1957 , JC Oxtoley, BJ Pettis, American Mathematical Soc., 1958, páginas 50-5

Otras lecturas

Algunos libros estándar sobre topología general incluyen:

• Bourbaki , Topologie Générale ( Topología general ), ISBN 0-387-19374-X . 
• John L. Kelley (1955) Topología general, enlace de Internet Archive , publicado originalmente por David Van Nostrand Company.
• Stephen Willard , Topología general , ISBN 0-486-43479-6 . 
• James Munkres , Topología , ISBN 0-13-181629-2 . 
• George F. Simmons , Introducción a la topología y al análisis moderno , ISBN 1-575-24238-9 . 
• Paul L. Shick, Topología: conjunto de puntos y geometría , ISBN 0-470-09605-5 . 
• Ryszard Engelking , Topología general , ISBN 3-88538-006-4 . 
• Steen, Lynn Arturo ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, SEÑOR  0507446
• O.Ya. Viro, OA Ivanov, VM Kharlamov y N.Yu. Netsvetaev, Topología elemental: libro de texto sobre problemas, ISBN 978-0-8218-4506-6 . 

El código de asunto de arXiv es math.GN.

enlaces externos

• Medios relacionados con la topología general en Wikimedia Commons