Mereotopología

Rama de la metafísica

En ontología formal , una rama de la metafísica , y en informática ontológica , la mereotopología es una teoría de primer orden , que incorpora conceptos mereológicos y topológicos , de las relaciones entre todos, partes, partes de partes y los límites entre partes.

Historia y motivación

La mereotopología comienza en la filosofía con teorías articuladas por AN Whitehead en varios libros y artículos que publicó entre 1916 y 1929, basándose en parte en la mereogeometría de De Laguna (1922). El primero que propuso la idea de una definición sin puntos del concepto de espacio topológico en matemáticas fue Karl Menger en su libro Dimensionstheorie (1928); véase también el suyo (1940). Los antecedentes históricos tempranos de la mereotopología están documentados en Bélanger y Marquis (2013) y los primeros trabajos de Whitehead se analizan en Kneebone (1963: cap. 13.5) y Simons (1987: 2.9.1). ^[1] La teoría de Proceso y Realidad de Whitehead de 1929 aumentó la relación parte-todo con nociones topológicas como contigüidad y conexión . A pesar de la perspicacia de Whitehead como matemático, sus teorías no eran lo suficientemente formales, e incluso eran defectuosas. Al mostrar cómo las teorías de Whitehead podían formalizarse y repararse plenamente, Clarke (1981, 1985) fundó la mereotopología contemporánea. ^[2] Las teorías de Clarke y Whitehead se analizan en Simons (1987: 2.10.2) y Lucas (2000: cap. 10). La entrada La geometría sin puntos de Whitehead incluye dos tratamientos contemporáneos de las teorías de Whitehead, debido a Giangiacomo Gerla, cada uno de ellos diferente de la teoría expuesta en la siguiente sección.

Aunque la mereotopología es una teoría matemática, debemos su desarrollo posterior a los lógicos y a los informáticos teóricos . Lucas (2000: cap. 10) y Casati y Varzi (1999: cap. 4,5) son introducciones a la mereotopología que puede leer cualquiera que haya realizado un curso de lógica de primer orden . Los tratamientos más avanzados de la mereotopología incluyen a Cohn y Varzi (2003) y, para los matemáticamente sofisticados, Roeper (1997). Para un tratamiento matemático de la geometría sin puntos , consulte Gerla (1995). Se han aplicado tratamientos de teoría reticular ( algebraica ) de la mereotopología como álgebras de contacto para separar la estructura topológica de la mereológica , ver Stell (2000), Düntsch y Winter (2004).

Aplicaciones

Barry Smith , ^[3] Anthony Cohn, Achille Varzi y sus coautores han demostrado que la mereotopología puede ser útil en la ontología formal y la informática , al permitir la formalización de relaciones como contacto , conexión , límites , interiores , agujeros, etc. en. La mereotopología se ha aplicado también como herramienta para el razonamiento espacio-temporal cualitativo , con cálculos de restricciones como el cálculo de conexión regional (RCC). Proporciona el punto de partida para la teoría de los límites fiduciarios desarrollada por Smith y Varzi, ^[4] que surgió del intento de distinguir formalmente entre

• fronteras (en geografía, geopolítica y otros dominios) que reflejan demarcaciones humanas más o menos arbitrarias y
• límites que reflejan discontinuidades físicas genuinas (Smith 1995, ^[5] 2001 ^[6] ).

Salustri está aplicando la mereotopología en el ámbito de la fabricación digital (Salustri, 2002) y Smith y Varzi a la formalización de nociones básicas de ecología y biología ambiental (Smith y Varzi, 1999, ^[7] 2002 ^[8] ). También se ha aplicado para abordar límites vagos en geografía (Smith y Mark, 2003 ^[9] ), y en el estudio de la vaguedad y granularidad (Smith y Brogaard, 2002, ^[10] Bittner y Smith, 2001, ^[11] 2001a ^[12] ).

Casati y Varzi (1999: capítulo 4) exponen una variedad de teorías mereotopológicas en una notación consistente. Esta sección establece varias teorías anidadas que culminan en su teoría preferida GEMTC y sigue de cerca su exposición. La parte mereológica de GEMTC es la teoría convencional GEM . Casati y Varzi no dicen si los modelos de GEMTC incluyen espacios topológicos convencionales .

Comenzamos con algún dominio del discurso , cuyos elementos se denominan individuos (un sinónimo de mereología es "el cálculo de los individuos"). Casati y Varzi prefieren limitar la ontología a objetos físicos, pero otros emplean libremente la mereotopología para razonar sobre figuras y eventos geométricos y para resolver problemas planteados por la investigación en inteligencia artificial .

Una letra latina mayúscula denota tanto una relación como la letra del predicado que se refiere a esa relación en lógica de primer orden . Las letras minúsculas del final del alfabeto indican variables que abarcan todo el dominio; Las letras del comienzo del alfabeto son nombres de individuos arbitrarios. Si una fórmula comienza con una fórmula atómica seguida del bicondicional , la subfórmula a la derecha del bicondicional es una definición de la fórmula atómica, cuyas variables no están ligadas . De lo contrario, las variables no cuantificadas explícitamente se cuantifican tácitamente y universalmente . El axioma Cn siguiente corresponde al axioma Cn de Casati y Varzi (1999: cap. 4).

Comenzamos con una primitiva topológica, una relación binaria llamada conexión ; la fórmula atómica Cxy denota que " x está conectado a y ". La conexión se rige, como mínimo, por los axiomas:

C1 . ( reflexivo ) ${\displaystyle \ Cxx.}$

C2 . ( simétrico ) ${\displaystyle Cxy\rightarrow Cyx.}$

Sea E , la relación binaria de recinto , definida como:

${\displaystyle Exy\leftrightarrow [Czx\rightarrow Czy].}$

Exy se lee como " y encierra a x " y también es de naturaleza topológica. Una consecuencia de C1-2 es que E es reflexivo y transitivo y, por tanto, un preorden . Si E también se supone extensional , entonces:

${\displaystyle (Exa\leftrightarrow Exb)\leftrightarrow (a=b),}$

entonces se puede demostrar que E es antisimétrica y, por tanto, se convierte en un orden parcial . El cierre, anotado xKy , es la única relación primitiva de las teorías de Whitehead (1919, 1920) , el punto de partida de la mereotopología.

Sea la paridad la relación binaria primitiva que define la mereología subyacente , y sea la fórmula atómica Pxy la que denote que " x es parte de y ". Suponemos que P es un orden parcial . Llame a la teoría mereológica minimalista resultante M .

Si x es parte de y , postulamos que y encierra a x :

C3 . ${\displaystyle \ Pxy\rightarrow Exy.}$

C3 conecta muy bien la parte mereológica con el recinto topológico .

Definamos O , la relación binaria de superposición mereológica , como:

${\displaystyle Oxy\leftrightarrow \exists z[Pzx\land \ Pzy].}$

Sea Oxy el que indica que " xey se superponen ". Con O en la mano, una consecuencia de C3 es:

${\displaystyle Oxy\rightarrow Cxy.}$

Tenga en cuenta que lo contrario no necesariamente se cumple. Si bien las cosas que se superponen están necesariamente conectadas, las cosas conectadas no necesariamente se superponen. Si este no fuera el caso, la topología sería simplemente un modelo de mereología (en el que la "superposición" es siempre primitiva o definida).

La mereotopología fundamental ( MT ) es la teoría que consiste en los primitivos C y P , definidos E y O , los axiomas C1-3 y los axiomas que aseguran que P es un orden parcial . Reemplazar la M en MT con la mereología extensional estándar GEM da como resultado la teoría GEMT .

Sea IPxy indicar que " x es una parte interna de y ". La propiedad intelectual se define como:

${\displaystyle IPxy\leftrightarrow (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy)).}$

Sea σ x φ( x ) la suma mereológica (fusión) de todos los individuos en el dominio que satisfacen φ( x ). σ es un operador de prefijo de enlace variable . Los axiomas de GEM aseguran que esta suma existe si φ( x ) es una fórmula de primer orden . Con σ y la relación IP en la mano, podemos definir el interior de x , como la suma mereológica de todas las partes interiores z de x , o: ${\displaystyle \mathbf {i} x,}$

${\displaystyle \mathbf {i} x=}$_df ${\displaystyle \sigma z[IPzx].}$

Dos consecuencias fáciles de esta definición son:

${\displaystyle \mathbf {i} W=W,}$

donde W es el individuo universal, y

C5 . ^[13] ( Inclusión ) ${\displaystyle \ P(\mathbf {i} x)x.}$

El operador i tiene dos propiedades axiomáticas más:

C6 . ( Idempotencia ) ${\displaystyle \mathbf {i} (\mathbf {i} x)=\mathbf {i} x.}$

C7 . ${\displaystyle \mathbf {i} (x\times y)=\mathbf {i} x\times \mathbf {i} y,}$

donde a × b es el producto mereológico de a y b , no definido cuando Oab es falso. Distribuyo sobre el producto.

Ahora se puede ver que i es isomorfo al operador interior de la topología . Por lo tanto, el dual de i , el operador de cierre topológico c , puede definirse en términos de i , y los axiomas de Kuratowski para c son teoremas. Asimismo, dada una axiomatización de c que es análoga a C5-7 , i puede definirse en términos de c , y C5-7 se convierte en teoremas. Agregar C5-7 a GEMT da como resultado la teoría mereotopológica preferida de Casati y Varzi, GEMTC .

x es autoconexo si satisface el siguiente predicado:

${\displaystyle SCx\leftrightarrow ((Owx\leftrightarrow (Owy\lor Owz))\rightarrow Cyz).}$

Tenga en cuenta que los predicados primitivos y definidos de MT por sí solos son suficientes para esta definición. El predicado SC permite formalizar la condición necesaria dada en Process and Reality de Whitehead para que exista la suma mereológica de dos individuos: deben estar conectados. Formalmente:

C8 . ${\displaystyle Cxy\rightarrow \exists z[SCz\land Ozx\land (Pwz\rightarrow (Owx\lor Owy)).}$

Dada alguna mereotopología X , agregar C8 a X da como resultado lo que Casati y Varzi llaman la extensión Whiteheadiana de X , denotada como WX . Por tanto, la teoría cuyos axiomas son C1-8 es WGEMTC .

Lo contrario de C8 es un teorema de GEMTC . Por tanto, dados los axiomas de GEMTC , C es un predicado definido si O y SC se toman como predicados primitivos.

Si la mereología subyacente no tiene átomos y es más débil que GEM , el axioma que asegura la ausencia de átomos ( P9 en Casati y Varzi 1999) puede ser reemplazado por C9 , que postula que ningún individuo tiene un límite topológico :

C9 . ${\displaystyle \forall x\exists y[Pyx\land (Czy\rightarrow Ozx)\land \lnot (Pxy\land (Czx\rightarrow Ozy))].}$

Cuando el dominio consta de figuras geométricas, los límites pueden ser puntos, curvas y superficies. Lo que podrían significar los límites, dadas otras ontologías, no es una cuestión fácil y se analiza en Casati y Varzi (1999: cap. 5).

Ver también

• mereología
• Topología inútil
• Topología de conjunto de puntos
• Topología
• Espacio topológico (con enlaces de T0 a T6 )
• La geometría sin puntos de Whitehead

Notas

1. Cfr. Peter Simons, "Whitehead and Mereology", en Guillaume Durand et Michel Weber (éditeurs), Les principes de la connaissance naturallle d'Alfred North Whitehead — Principios del conocimiento natural de Alfred North Whitehead , Frankfurt / París / Lancaster, ontos verlag, 2007. Véanse también las entradas relevantes de Michel Weber y Will Desmond, (eds.), Handbook of Whiteheadian Process Thought , Frankfurt/Lancaster, ontos verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.
2. Casati y Varzi (1999: cap. 4) y Biacino y Gerla (1991) tienen reservas sobre algunos aspectos de la formulación de Clarke.
3. Barry Smith, “Mereotopología: una teoría de partes y límites”, Ingeniería de datos y conocimiento , 20 (1996), 287–303.
4. Barry Smith y Achille Varzi, “Fiat and Bona Fide Boundaries”, Filosofía e investigación fenomenológica , 60: 2 (marzo de 2000), 401–420.
5. Barry Smith, “Sobre dibujar líneas en un mapa”, en Andrew U. Frank y Werner Kuhn (eds.), Teoría de la información espacial. A Theoretical Basis for GIS (Lecture Notes in Computer Science 988), Berlín/Heidelberg/Nueva York, etc.: Springer, 1995, 475–484.
6. Barry Smith, "Fiat Objects", Topoi , 20: 2 (septiembre de 2001), 131-148.
7. Barry Smith y Achille Varzi, “The Niche”, Nous , 33:2 (1999), 198–222.
8. Barry Smith y Achille Varzi, "El espacio circundante: la ontología de las relaciones organismo-medio ambiente", Teoría en biociencias , 121 (2002), 139-162.
9. Barry Smith y David M. Mark, “¿Existen las montañas? Towards an Ontology of Landforms”, Medio Ambiente y Planificación B (Planificación y Diseño) , 30(3) (2003), 411–427.
10. Barry Smith y Berit Brogaard, “Quantum Mereotopology”, Annals of Mathematics and Artificial Intelligence , 35/1–2 (2002), 153–175.
11. Thomas Bittner y Barry Smith, “Una teoría unificada de granularidad, vaguedad y aproximación”, Actas del taller COSIT sobre vaguedad, incertidumbre y granularidad espacial (2001).
12. Thomas Bittner y Barry Smith, "Granular Partitions and Vagueness" en Christopher Welty y Barry Smith (eds.), Ontología formal en sistemas de información , Nueva York: ACM Press, 2001, 309–321.
13. El axioma C4 de Casati y Varzi (1999) es irrelevante para esta entrada.

Referencias

• Biacino L. y Gerla G., 1991, "Connection Structures", Notre Dame Journal of Formal Logic 32: 242–47.
• Casati, Roberto y Varzi, Achille, 1999. Partes y lugares: las estructuras de la representación espacial . Prensa del MIT.
• Stell JG, 2000, "Álgebras de conexión booleana: un nuevo enfoque para el cálculo de conexión de región", Inteligencia artificial 122: 111–136.

enlaces externos

• Enciclopedia de Filosofía de Stanford : Límites, por Achille Varzi. Con muchas referencias.