Topología inútil

En matemáticas , la topología sin sentido , también llamada topología libre de puntos (o topología libre de puntos ) y teoría local , es un enfoque de la topología que evita mencionar puntos , y en el que las redes de conjuntos abiertos son las nociones primitivas. ^[1] En este enfoque es posible construir espacios topológicamente interesantes a partir de datos puramente algebraicos. ^[2]

Historia

Los primeros enfoques de la topología fueron geométricos, donde se partía del espacio euclidiano y se unían las cosas. Pero el trabajo de Marshall Stone sobre la dualidad de Stone en la década de 1930 demostró que la topología puede verse desde un punto de vista algebraico (teórico de celosía). Además de Stone, Henry Wallman fue la primera persona en explotar esta idea. Otros continuaron este camino hasta que Charles Ehresmann y su alumno Jean Bénabou (y simultáneamente otros), dieron el siguiente paso fundamental a finales de los años cincuenta. Sus ideas surgieron del estudio de categorías "topológicas" y "diferenciables" . ^[2]

El enfoque de Ehresmann implicó el uso de una categoría cuyos objetos eran redes completas que satisfacían una ley distributiva y cuyos morfismos eran mapas que preservaban encuentros finitos y uniones arbitrarias . Llamó a estas redes "redes locales"; hoy se les llama "marcos" para evitar ambigüedades con otras nociones de la teoría de redes . ^[3]

La teoría de marcos y locales en el sentido contemporáneo se desarrolló a lo largo de las décadas siguientes ( John Isbell , Peter Johnstone , Harold Simmons, Bernhard Banaschewski, Aleš Pultr, Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers ) hasta convertirse en una viva rama de la topología, con aplicaciones en diversos campos, en particular también en la informática teórica. Para obtener más información sobre la historia de la teoría local, consulte la descripción general de Johnstone. ^[4]

Intuición

Tradicionalmente, un espacio topológico consta de un conjunto de puntos junto con una topología , un sistema de subconjuntos llamados conjuntos abiertos que con las operaciones de unión (como join ) e intersección (como meet ) forma un entramado con ciertas propiedades. Específicamente, la unión de cualquier familia de conjuntos abiertos vuelve a ser un conjunto abierto, y la intersección de un número finito de conjuntos abiertos vuelve a ser abierta. En topología inútil tomamos estas propiedades de la red como fundamentales, sin requerir que los elementos de la red sean conjuntos de puntos de algún espacio subyacente y que la operación de la red sea intersección y unión. Más bien, la topología sin puntos se basa en el concepto de un "punto realista" en lugar de un punto sin extensión. Estos "puntos" se pueden unir (símbolo ), similar a una unión, y también tenemos una operación de encuentro para puntos (símbolo ), similar a una intersección. Utilizando estas dos operaciones, las manchas forman un entramado completo . Si una mancha se encuentra con una unión de otras, tiene que cumplir con algunos de los constituyentes, lo que, en términos generales, conduce a la ley distributiva. ${\displaystyle \vee }$ ${\displaystyle \land }$

${\displaystyle b\wedge \left(\bigvee _{i\in I}a_{i}\right)=\bigvee _{i\in I}\left(b\wedge a_{i}\right)}$

donde y son puntos y la familia de índices puede ser arbitrariamente grande. Esta ley distributiva también se cumple con la red de conjuntos abiertos de un espacio topológico. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle I}$

Si y son espacios topológicos con redes de conjuntos abiertos denotados por y , respectivamente, y es un mapa continuo , entonces, dado que la preimagen de un conjunto abierto bajo un mapa continuo es abierta, obtenemos un mapa de redes en la dirección opuesta : . Estos mapas reticulares de "dirección opuesta" sirven, por tanto, como la generalización adecuada de mapas continuos en el entorno sin puntos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \Omega (X)}$ ${\displaystyle \Omega (Y)}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\colon \Omega (Y)\to \Omega (X)}$

Definiciones formales

El concepto básico es el de marco , una red completa que satisface la ley distributiva general anterior. Los homomorfismos de marcos son mapas entre marcos que respetan todas las uniones (en particular, el elemento menor de la red) y encuentros finitos (en particular, el elemento más grande de la red). Los marcos, junto con los homomorfismos de marcos, forman una categoría .

La categoría opuesta a la categoría de marcos se conoce como categoría de configuraciones regionales . Por tanto, un lugar no es más que un marco; si lo consideramos como un marco, lo escribiremos como . Un morfismo local de un lugar a otro viene dado por un homomorfismo de marco . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O(X)}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle O(Y)\to O(X)}$

Todo espacio topológico da lugar a un marco de conjuntos abiertos y, por tanto, a un lugar. Una localidad se llama espacial si es isomorfa (en la categoría de localidades) a una localidad que surge de un espacio topológico de esta manera. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$

Ejemplos de locales

• Como se mencionó anteriormente, todo espacio topológico da lugar a un marco de conjuntos abiertos y, por tanto, a un lugar, por definición espacial. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Omega (T)}$
• Dado un espacio topológico , también podemos considerar la colección de sus conjuntos abiertos regulares . Se trata de un marco que utiliza como unión el interior del cierre de la unión, y como encuentro la intersección. Obtenemos así otra localización asociada a . Esta ubicación normalmente no será espacial. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$
• Para todos y cada uno , use un símbolo y construya el marco libre sobre estos símbolos, módulo las relaciones ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{n,a}}$

${\displaystyle \bigvee _{a\in \mathbb {R} }U_{n,a}=\top \ {\text{ for every }}n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle U_{n,a}\land U_{n,b}=\bot \ {\text{ for every }}n\in \mathbb {N} {\text{ and all }}a,b\in \mathbb {R} {\text{ with }}a\neq b}$

${\displaystyle \bigvee _{n\in \mathbb {N} }U_{n,a}=\top \ {\text{ for every }}a\in \mathbb {R} }$

(donde denota el elemento más grande y el elemento más pequeño del marco). La configuración regional resultante se conoce como la "localización de funciones sobreyectivas ". Las relaciones están diseñadas para sugerir la interpretación de como el conjunto de todas aquellas funciones sobreyectivas con . Por supuesto, no existen tales funciones sobreyectivas y ésta no es una localización espacial. ${\displaystyle \top }$ ${\displaystyle \bot }$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U_{n,a}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(n)=a}$ ${\displaystyle \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$

La teoría de las localidades.

Hemos visto que tenemos un functor de la categoría de espacios topológicos y mapas continuos a la categoría de locales. Si restringimos este functor a la subcategoría completa de espacios sobrios , obtenemos una incorporación completa de la categoría de espacios sobrios y mapas continuos en la categoría de lugares. En este sentido, los locales son generalizaciones de espacios sobrios. ${\displaystyle \Omega }$

Es posible traducir la mayoría de los conceptos de topología de conjuntos de puntos al contexto de localidades y demostrar teoremas análogos. Algunos hechos importantes de la topología clásica que dependen de principios de elección se vuelven libres de elección (es decir, constructivos , lo cual es, en particular, atractivo para la informática). Así, por ejemplo, los productos arbitrarios de locales compactos son compactos constructivamente (este es el teorema de Tychonoff en topología de conjuntos de puntos), o las terminaciones de locales uniformes son constructivas. Esto puede resultar útil si se trabaja en un topos que no tiene el axioma de elección. ^[5] Otras ventajas incluyen el comportamiento mucho mejor de la paracompacidad , con productos arbitrarios de locales paracompactos siendo paracompactos, lo que no es cierto para los espacios paracompactos, o el hecho de que los subgrupos de grupos locales siempre están cerrados.

Otro punto donde la topología y la teoría local divergen fuertemente son los conceptos de subespacios versus sublocales y densidad: dada cualquier colección de sublocales densos de un lugar , su intersección también es densa en . ^[6] Esto lleva al teorema de densidad de Isbell : cada localidad tiene una sublocalización densa más pequeña. Estos resultados no tienen equivalente en el ámbito de los espacios topológicos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Ver también

• Álgebra de Heyting . Los marcos resultan ser iguales que las álgebras de Heyting completas (aunque los homomorfismos de marcos no tienen por qué ser homomorfismos del álgebra de Heyting).
• Completar álgebra booleana . Cualquier álgebra booleana completa es un marco (es un marco espacial si y sólo si es atómico).
• Los detalles sobre la relación entre la categoría de espacios topológicos y la categoría de lugares, incluida la construcción explícita de la equivalencia entre espacios sobrios y lugares espaciales, se pueden encontrar en el artículo sobre Dualidad de piedra .
• Geometría sin puntos de Whitehead .
• Mereotopología .

Referencias

1. Johnstone 1983, pág. 41.
2. Johnstone 1983, pág. 42.
3. Johnstone 1983, pág. 43.
4. Peter T. Johnstone, Elementos de la historia de la teoría local, en: Manual de historia de la topología general, vol. 3, págs. 835-851, Springer, ISBN  978-0-7923-6970-7 , 2001.
5. Johnstone 1983.
6. Johnstone, Peter T. (2002). "C1.2 Localidades y Espacios". Bocetos de un elefante .

Bibliografía

Una introducción general a la topología inútil es

• Johnstone, Peter T. (1983). "El punto de la topología inútil". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . Series nuevas. 8 (1): 41–53. doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15080-2 . ISSN  0273-0979 . Consultado el 9 de mayo de 2016 .

Esto, en sus propias palabras, debe leerse como un avance de la monografía de Johnstone y puede usarse como referencia básica:

• 1982: Johnstone, Peter T. (1982) Espacios de piedra , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33779-3 . 

Hay una monografía reciente.

• 2012: Picado, Jorge, Pultr, Aleš Marcos y locales: Topología sin puntos, Fronteras de las Matemáticas, vol. 28, Springer, Basilea (bibliografía extensa)

Para relaciones con lógica:

• 1996: Vickers, Steven , Topología vía lógica , Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science, Cambridge University Press.

Para una descripción más concisa, consulte los capítulos respectivos en:

• 2003: Pedicchio, Maria Cristina, Tholen, Walter (editores) Fundamentos categóricos: temas especiales de orden, topología, álgebra y teoría de gavillas, Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones , vol. 97, Cambridge University Press, págs. 49-101.
• 2003: Hazewinkel, Michiel (editor) Manual de álgebra vol. 3, Holanda Septentrional, Ámsterdam, págs. 791–857.
• 2014: Grätzer, George, Wehrung, Friedrich (editores) Teoría de la red: temas especiales y aplicaciones vol. 1, Springer, Basilea, págs. 55–88.