Línea larga (topología)

El espacio topológico en las matemáticas

En topología , la línea larga (o línea de Alexandroff ) es un espacio topológico algo similar a la línea real , pero en cierto sentido "más larga". Se comporta localmente igual que la línea real, pero tiene diferentes propiedades a gran escala (por ejemplo, no es ni Lindelöf ni separable ). Por lo tanto, sirve como un contraejemplo importante en topología. ^[1] Intuitivamente, la línea de números reales habitual consta de un número contable de segmentos de línea colocados de extremo a extremo, mientras que la línea larga se construye a partir de un número incontable de dichos segmentos. ${\displaystyle [0,1)}$

Definición

El rayo largo cerrado se define como el producto cartesiano del primer ordinal incontable con el intervalo semiabierto dotado de la topología de orden que surge del orden lexicográfico en . El rayo largo abierto se obtiene a partir del rayo largo cerrado eliminando el elemento más pequeño ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle \omega _{1}\times [0,1)}$ ${\displaystyle (0,0).}$

La recta larga se obtiene "pegando" entre sí dos rayos largos, uno en sentido positivo y otro en sentido negativo. Más rigurosamente, se puede definir como la topología de orden sobre la unión disjunta del rayo largo abierto invertido ("invertido" significa que el orden está invertido) (esta es la mitad negativa) y el rayo largo cerrado (no invertido) (la mitad positiva), totalmente ordenado al hacer que los puntos de este último sean mayores que los puntos del primero. Alternativamente, tome dos copias del rayo largo abierto e identifique el intervalo abierto de uno con el mismo intervalo del otro pero invirtiendo el intervalo, es decir, identifique el punto (donde es un número real tal que ) de uno con el punto del otro, y defina la recta larga como el espacio topológico obtenido al pegar los dos rayos largos abiertos a lo largo del intervalo abierto identificado entre los dos. (La primera construcción es mejor en el sentido de que define el orden en la línea larga y muestra que la topología es la topología de orden; la última es mejor en el sentido de que utiliza el pegado a lo largo de un conjunto abierto, lo cual es más claro desde el punto de vista topológico). ${\displaystyle \{0\}\times (0,1)}$ ${\displaystyle (0,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 0<t<1}$ ${\displaystyle (0,1-t)}$

Intuitivamente, el rayo largo cerrado es como una semirrecta real (cerrada), excepto que es mucho más larga en una dirección: decimos que es larga en un extremo y cerrada en el otro. El rayo largo abierto es como la recta real (o equivalentemente, una semirrecta abierta) excepto que es mucho más larga en una dirección: decimos que es larga en un extremo y corta (abierta) en el otro. La recta larga es más larga que las rectas reales en ambas direcciones: decimos que es larga en ambas direcciones.

Sin embargo, muchos autores hablan de la “línea larga” donde nosotros hemos hablado del rayo largo (cerrado o abierto), y hay mucha confusión entre los diversos espacios largos. En muchos usos o contraejemplos, sin embargo, la distinción no es esencial, porque la parte importante es el extremo “largo” de la línea, y no importa lo que ocurra en el otro extremo (ya sea largo, corto o cerrado).

Un espacio relacionado, el rayo largo extendido (cerrado) , se obtiene como la compactificación de un punto de al agregar un elemento adicional al extremo derecho de . De manera similar, se puede definir la línea larga extendida agregando dos elementos a la línea larga, uno en cada extremo. ${\displaystyle L^{*},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L.}$

Propiedades

El rayo largo cerrado consta de un número incontable de copias de 'pegadas juntas' de extremo a extremo. Compare esto con el hecho de que para cualquier ordinal contable , pegar juntas copias de da un espacio que todavía es homeomorfo (e isomorfo al orden) a (Y si intentáramos pegar juntas más de copias de el espacio resultante ya no sería localmente homeomorfo a ) ${\displaystyle L=\omega _{1}\times [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle [0,1)}$ ${\displaystyle [0,1).}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle [0,1),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Toda sucesión creciente en converge a un límite en ; esto es consecuencia de los hechos de que (1) los elementos de son los ordinales contables , (2) el supremo de cada familia contable de ordinales contables es un ordinal contable, y (3) toda sucesión creciente y acotada de números reales converge. En consecuencia, no puede haber ninguna función estrictamente creciente. De hecho, toda función continua es eventualmente constante. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle L\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle L\to \mathbb {R} }$

Como topologías de orden, los rayos y líneas largas (posiblemente extendidas) son espacios de Hausdorff normales . Todos ellos tienen la misma cardinalidad que la línea real, pero son 'mucho más largos'. Todos ellos son localmente compactos . Ninguno de ellos es metrizable ; esto puede verse como que el rayo largo es secuencialmente compacto pero no compacto , o incluso Lindelöf .

La línea o rayo largo (no extendido) no es paracompacto . Es conexo por trayectorias , conexo localmente por trayectorias y simplemente conexo pero no contráctil . Es una variedad topológica unidimensional , con borde en el caso del rayo cerrado. Es numerable en primer orden pero no en segundo orden y no separable , por lo que los autores que requieren las últimas propiedades en sus variedades no llaman variedad a la línea larga. ^[2]

Tiene sentido considerar todos los espacios largos a la vez porque cada variedad topológica unidimensional (no necesariamente separable ) conexa (no vacía) , posiblemente con borde, es homeomorfa al círculo, al intervalo cerrado, al intervalo abierto (línea real), al intervalo semiabierto, al rayo largo cerrado, al rayo largo abierto o a la línea larga. ^[3]

La línea o rayo largo puede estar dotada de la estructura de una variedad diferenciable (no separable) (con borde en el caso del rayo cerrado). Sin embargo, a diferencia de la estructura topológica que es única (topológicamente, solo hay una manera de hacer que la línea real sea "más larga" en cada extremo), la estructura diferenciable no es única: de hecho, hay incontables ( para ser precisos) estructuras suaves no difeomorfas por pares en ella. ^[4] Esto está en marcado contraste con la línea real, donde también hay diferentes estructuras suaves, pero todas ellas son difeomorfas con respecto a la estándar. ${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$

La línea o rayo largo puede incluso estar dotado de la estructura de una variedad analítica (real) (con borde en el caso del rayo cerrado). Sin embargo, esto es mucho más difícil que para el caso diferenciable (depende de la clasificación de variedades analíticas unidimensionales (separables), que es más difícil que para las variedades diferenciables). De nuevo, cualquier estructura dada puede extenderse de infinitas maneras a diferentes estructuras (=analíticas) (que son no difeomórficas por pares como variedades analíticas). ^[5] ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$

La línea o rayo largo no puede ser equipado con una métrica de Riemann que induzca su topología. La razón es que las variedades de Riemann , incluso sin el supuesto de paracompacidad, pueden demostrarse como metrizables. ^[6]

El rayo largo extendido es compacto . Es la compactificación de un punto del rayo largo cerrado pero también es su compactificación de Stone-Čech , porque cualquier función continua desde el rayo largo (cerrado o abierto) hasta la línea real es eventualmente constante. ^[7] también es conexo , pero no conexo por caminos porque la línea larga es 'demasiado larga' para ser cubierta por un camino, que es una imagen continua de un intervalo. no es una variedad y no es contable en primer lugar. ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L,}$ ${\displaystyle L^{*}}$ ${\displaystyle L^{*}}$

pag-analógico ádico

Existe un análogo p -ádico de la línea larga, que se debe a George Bergman . ^[8]

Este espacio se construye como la unión creciente de un conjunto dirigido incontable de copias del anillo de enteros p -ádicos, indexados por un ordinal contable. Defina una función de a siempre que de la siguiente manera: ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma .}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma }$

• Si es un sucesor entonces el mapa de a es simplemente la multiplicación por Para otros el mapa de a es la composición del mapa de a y el mapa de a ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varepsilon +1}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\varepsilon }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }.}$
• Si es un ordinal límite entonces el límite directo de los conjuntos para es una unión contable de bolas p -ádicas, por lo que puede ser incrustado en como con un punto eliminado también es una unión contable de bolas p -ádicas. Esto define incrustaciones compatibles de en para todos ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma }$ ${\displaystyle X_{\gamma },}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle X_{\delta }}$ ${\displaystyle X_{\gamma }}$ ${\displaystyle \delta <\gamma .}$

Este espacio no es compacto, pero la unión de cualquier conjunto contable de subespacios compactos tiene cierre compacto.

Dimensiones superiores

Algunos ejemplos de variedades no paracompactas en dimensiones superiores incluyen la variedad de Prüfer , los productos de cualquier variedad no paracompacta con cualquier variedad no vacía, la bola de radio largo, etc. El teorema de la gaita muestra que existen clases de isomorfismo de superficies no paracompactas, incluso cuando se supone una generalización de la paracompacidad, la acotación ω . ${\displaystyle 2^{\aleph _{1}}}$

No existen análogos complejos de la línea larga ya que cada superficie de Riemann es paracompacta, pero Calabi y Rosenlicht dieron un ejemplo de una variedad compleja no paracompacta de dimensión compleja 2. ^[9]

Véase también

• Topología del orden lexicográfico en el cuadrado unitario
• Lista de topologías

Referencias

1. Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de la edición de 1978). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . págs. 71–72. ISBN 978-0-486-68735-3.MR  0507446.Zbl 1245.54001  .​
2. Shastri, Anant R. (2011), Elementos de topología diferencial, CRC Press, pág. 122, ISBN 9781439831632.
3. Kunen, K.; Vaughan, J. (2014), Manual de topología de teoría de conjuntos, Elsevier, pág. 643, ISBN 9781483295152.
4. Nyikos, Peter J. (1992). "Varios suavizados de la línea larga y sus fibrados tangentes". Avances en Matemáticas . 93 (2): 129–213. doi : 10.1016/0001-8708(92)90027-I . MR  1164707.
5. Kneser, Hellmuth; Kneser, Martín (1960). "Reell-analytische Strukturen der Alexandroff-Halbgeraden und der Alexandroff-Geraden". Archiv der Mathematik . 11 : 104-106. doi :10.1007/BF01236917.
6. S. Kobayashi y K. Nomizu (1963). Fundamentos de geometría diferencial . Vol. I. Interscience. pág. 166.
7. Joshi, KD (1983). "Capítulo 15, Sección 3". Introducción a la topología general . Jon Wiley and Sons. ISBN 0-470-27556-1.Sr. 0709260  .
8. Serre, Jean-Pierre (1992). "IV ("Variedades analíticas"), apéndice 3 ("La línea p -ádica transfinita")". Álgebras de Lie y grupos de Lie (Conferencias de 1964 dictadas en la Universidad de Harvard) . Apuntes de clase de matemáticas, parte II ("Grupos de Lie"). Springer-Verlag . ISBN. 3-540-55008-9.
9. Calabi, Eugenio; Rosenlicht, Maxwell (1953). "Variedades analíticas complejas sin base contable". Actas de la American Mathematical Society . 4 (3): 335–340. doi : 10.1090/s0002-9939-1953-0058293-x . MR  0058293.