Límite (teoría de categorías)

Concepto matemático

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , la noción abstracta de límite captura las propiedades esenciales de construcciones universales como productos , retrocesos y límites inversos . La noción dual de colimit generaliza construcciones como uniones disjuntas , sumas directas , coproductos , expulsiones y límites directos .

Los límites y colimits, al igual que las nociones fuertemente relacionadas de propiedades universales y functores adjuntos , existen en un alto nivel de abstracción. Para comprenderlos, es útil estudiar primero los ejemplos específicos que estos conceptos pretenden generalizar.

Definición

Los límites y colimites de una categoría se definen mediante diagramas en . Formalmente, un diagrama de forma es un functor de a : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle F:J\to C.}$

La categoría se considera una categoría de índice y el diagrama es un índice de una colección de objetos y morfismos en patrones . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$

Lo que más nos interesa es el caso en el que la categoría es pequeña o incluso finita . Se dice que un diagrama es pequeño o finito siempre que lo sea. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$

Límites

Sea un diagrama de forma en una categoría . Un cono a es un objeto de junto con una familia de morfismos indexados por los objetos de , de modo que para cada morfismo en , tenemos . ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \psi _{X}:N\to F(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}}$

Un límite del diagrama es un cono a tal que para cada cono a existe un morfismo único tal que para todos en . ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle (L,\phi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (N,\psi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u:N\to L}$ ${\displaystyle \phi _{X}\circ u=\psi _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$

Un cono universal

Se dice que el cono factoriza a través del cono con la factorización única . El morfismo a veces se denomina morfismo mediador . ${\displaystyle (N,\psi )}$ ${\displaystyle (L,\phi )}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u}$

Los límites también se conocen como conos universales , ya que se caracterizan por una propiedad universal (ver más abajo para más información). Como ocurre con toda propiedad universal, la definición anterior describe un estado equilibrado de generalidad: el objeto límite tiene que ser lo suficientemente general como para permitir que cualquier cono lo atraviese; por otro lado, tiene que ser lo suficientemente específico como para que sólo sea posible una factorización de este tipo para cada cono. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

Los límites también pueden caracterizarse como objetos terminales en la categoría de conos de F.

Es posible que un diagrama no tenga límite alguno. Sin embargo, si un diagrama tiene un límite, entonces este límite es esencialmente único: es único hasta un isomorfismo único . Por esta razón se habla a menudo del límite de F.

colímites

Las nociones duales de límites y conos son colimites y coconos. Aunque es sencillo obtener las definiciones de estos invirtiendo todos los morfismos en las definiciones anteriores, las indicaremos explícitamente aquí:

Un cocono de un diagrama es objeto de junto con una familia de morfismos. ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \psi _{X}:F(X)\to N}$

para cada objeto de , de modo que para cada morfismo en , tenemos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \psi _{Y}\circ F(f)=\psi _{X}}$

Un colimit de un diagrama es un cocono de tal que para cualquier otro cocono de existe un morfismo único tal que para todos en . ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle (L,\phi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (N,\psi )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle u:L\to N}$ ${\displaystyle u\circ \phi _{X}=\psi _{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle J}$

Un cocono universal

Los colimits también se conocen como coconos universales . Se pueden caracterizar como objetos iniciales en la categoría de coconos de . ${\displaystyle F}$

Al igual que con los límites, si un diagrama tiene un colimit, entonces este colimit es único hasta un isomorfismo único. ${\displaystyle F}$

Variaciones

También se pueden definir límites y colimites para colecciones de objetos y morfismos sin el uso de diagramas. Las definiciones son las mismas (tenga en cuenta que en las definiciones anteriores nunca necesitamos usar la composición de morfismos en ). Esta variación, sin embargo, no añade ninguna información nueva. Cualquier colección de objetos y morfismos define un gráfico dirigido (posiblemente grande) . Si dejamos que sea la categoría libre generada por , existe un diagrama universal cuya imagen contiene . El límite (o colimit) de este diagrama es el mismo que el límite (o colimit) de la colección original de objetos y morfismos. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F:J\to C}$ ${\displaystyle G}$

El límite débil y los colimits débiles se definen como límites y colimits, excepto que se elimina la propiedad de unicidad del morfismo mediador.

Ejemplos

Límites

La definición de límites es lo suficientemente general como para incluir varias construcciones útiles en entornos prácticos. A continuación consideraremos el límite ( L , φ ) de un diagrama F  : J → C.

• Objetos terminales . Si J es la categoría vacía, sólo hay un diagrama de forma J : el vacío (similar a la función vacía en la teoría de conjuntos). Un cono para el diagrama vacío es esencialmente solo un objetode C. El límite de F es cualquier objeto que sea factorizado de forma única por todos los demás objetos. Esta es sólo la definición de un objeto terminal .
• Productos . Si J es una categoría discreta ,entonces un diagrama F no es esencialmente más que una familia de objetos de C , indexados por J. El límite L de F se llama producto de estos objetos. El cono φ consta de una familia de morfismos φ _X  : L → F ( X ) llamados proyecciones del producto. En la categoría de conjuntos , por ejemplo, los productos están dados por productos cartesianos y las proyecciones son simplemente proyecciones naturales sobre los distintos factores.
  • Poderes . Un caso especial de producto es cuando el diagrama F es un funtor constante de un objeto X de C. El límite de este diagrama se llama J- ^ésima potencia de X y se denota X ^J.
• Ecualizadores . Si J es una categoría con dos objetos y dos morfismos paralelos de un objeto a otro, entonces un diagrama de forma J es un par de morfismos paralelosen C. El límite L de tal diagrama se llama ecualizador de esos morfismos.
  • Granos . Un núcleo es un caso especial de ecualizador donde uno de los morfismos es un morfismo cero .
• Retrocesos . Sea F un diagrama que selecciona tres objetos X , Y y Z en C , dondelos únicos morfismos sin identidad son f  : X → Z y g  : Y → Z. El límite L de F se llama retroceso o producto de fibra . Se puede visualizar muy bien como un cuadrado conmutativo :

• Límites inversos . Sea J un conjunto dirigido (considerado como una categoría pequeña añadiendo flechas i → j si y sólo si i ≥ j ) y sea F  : J ^op → C un diagrama. El límite de F se llama límite inverso o límite proyectivo .
• Si J = 1 , la categoría con un solo objeto y morfismo, entonces un diagrama de forma J es esencialmente solo un objeto X de C. Un cono para un objeto X es solo un morfismo con codominio X . Un morfismo f  : Y → X es un límite del diagrama X si y sólo si f es un isomorfismo . De manera más general, si J es cualquier categoría con un objeto inicial i , entonces cualquier diagrama de forma J tiene un límite, es decir, cualquier objeto isomorfo a F ( i ). Tal isomorfismo determina de forma única un cono universal para F .
• Límites topológicos . Los límites de funciones son un caso especial de límites de filtros , que están relacionados con límites categóricos de la siguiente manera. Dado un espacio topológico X , denotamos por F el conjunto de filtros en X , x ∈ X un punto, V ( x ) ∈ F el filtro de vecindad de x , A ∈ F un filtro particular y el conjunto de filtros más finos que A y que converger a x . A los filtros F se les da una estructura de categorías pequeña y delgada agregando una flecha A → B si y solo si A ⊆ B . La inyección se convierte en un funtor y se cumple la siguiente equivalencia: ${\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}$ ${\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}$

x es un límite topológico de A si y sólo si A es un límite categórico de ${\displaystyle I_{x,A}}$

colímites

Los ejemplos de colimits se dan en las versiones duales de los ejemplos anteriores:

• Los objetos iniciales son colímites de diagramas vacíos.
• Los coproductos son colímites de diagramas indexados por categorías discretas.
  • Los copoderes son colímites de diagramas constantes de categorías discretas.
• Los coecualizadores son colimits de un par paralelo de morfismos.
  • Los cokernels son coecualizadores de un morfismo y un morfismo cero paralelo.
• Los pushouts son colimits de un par de morfismos con dominio común.
• Los límites directos son colímites de diagramas indexados por conjuntos dirigidos.

Propiedades

Existencia de límites

Un diagrama dado F  : J → C puede tener o no un límite (o colimit) en C . De hecho, puede que ni siquiera exista un cono para F , y mucho menos un cono universal.

Se dice que una categoría C tiene límites de forma J si todo diagrama de forma J tiene un límite en C. Específicamente, se dice que una categoría C

• tener productos si tiene límites de forma J para cada pequeña categoría discreta J (no necesita tener productos grandes),
• tener ecualizadores si tiene límites de forma (es decir, cada par paralelo de morfismos tiene un ecualizador), ${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$
• tener retrocesos si tiene límites de forma (es decir, cada par de morfismos con codominio común tiene un retroceso). ${\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$

Una categoría completa es una categoría que tiene todos los límites pequeños (es decir, todos los límites de la forma J para cada categoría pequeña J ).

También se pueden hacer definiciones duales. Una categoría tiene colimites de forma J si cada diagrama de forma J tiene un colimit en C . Una categoría cocompleta es aquella que tiene todos los colimits pequeños.

El teorema de existencia de límites establece que si una categoría C tiene ecualizadores y todos los productos indexados por las clases Ob( J ) y Hom( J ), entonces C tiene todos los límites de forma J. ^{[1] : §V.2 Thm.1} En este caso, el límite de un diagrama F  : J → C puede construirse como el ecualizador de los dos morfismos ^{[1] : §V.2 Thm.2}

${\displaystyle s,t:\prod _{i\in \operatorname {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \operatorname {Hom} (J)}F(\operatorname {cod} (f))}$

dado (en forma de componente) por

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{\operatorname {dom} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{\operatorname {cod} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}.\end{aligned}}}$

Existe un teorema de existencia dual para los colimits en términos de coecualizadores y coproductos. Ambos teoremas dan condiciones suficientes y necesarias para la existencia de todos los (co)límites de la forma J.

propiedad universal

Los límites y los colimits son casos especiales importantes de construcciones universales .

Sea C una categoría y sea J una categoría de índice pequeña. La categoría de functor C ^J puede considerarse como la categoría de todos los diagramas de forma J en C. El funtor diagonal

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}$

es el funtor que asigna cada objeto N en C al funtor constante Δ( N ) : J → C a N. Es decir, Δ( N )( X ) = N para cada objeto X en J y Δ( N )( f ) = id _N para cada morfismo f en J .

Dado un diagrama F : J → C (pensado como un objeto en C ^J ), una transformación natural ψ  : Δ( N ) → F (que es solo un morfismo en la categoría C ^J ) es lo mismo que un cono de N a F. ​Para ver esto, primero tenga en cuenta que Δ( N )( X ) = N para todo X implica que los componentes de ψ son morfismos ψ _X  : N → F ( X ), que comparten el dominio N . Además, el requisito de que los diagramas del cono conmuten es verdadero simplemente porque este ψ es una transformación natural. (Dualmente, una transformación natural ψ  : F → Δ( N ) es lo mismo que un cocono de F a N .)

Por lo tanto, las definiciones de límites y colimites pueden reformularse en la forma:

• Un límite de F es un morfismo universal de Δ a F .
• Un colimit de F es un morfismo universal de F a Δ.

Adjunciones

Como todas las construcciones universales, la formación de límites y colimites es de naturaleza funcional. En otras palabras, si todo diagrama de forma J tiene un límite en C (para J pequeño) existe un functor límite

${\displaystyle \lim :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

que asigna a cada diagrama su límite y a cada transformación natural η : F → G el morfismo único lim η : lim F → lim G conmutando con los correspondientes conos universales. Este funtor es adyacente derecho al funtor diagonal Δ : C → C ^J . Esta conjunción da una biyección entre el conjunto de todos los morfismos de N a lim F y el conjunto de todos los conos de N a F

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \operatorname {Cone} (N,F)}$

lo cual es natural en las variables N y F . La unidad de esta adjunción es simplemente el cono universal de lim F a F . Si la categoría de índice J es conexa (y no vacía), entonces la unidad de la conjunción es un isomorfismo de modo que lim es un inverso izquierdo de Δ. Esto falla si J no está conectado. Por ejemplo, si J es una categoría discreta, los componentes de la unidad son los morfismos diagonales δ : N → N ^J .

Dualmente, si cada diagrama de forma J tiene un colimit en C (para J pequeño) existe un functor colimit

${\displaystyle \operatorname {colim} :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}$

que asigna a cada diagrama su colimit. Este funtor se deja junto al funtor diagonal Δ : C → C ^J , y uno tiene un isomorfismo natural

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \operatorname {Cocone} (F,N).}$

La unidad de esta conjunción es el cocono universal de F a colim F. Si J es conexo (y no vacío), entonces la unidad es un isomorfismo, de modo que colim es un inverso izquierdo de Δ.

Tenga en cuenta que tanto el functor límite como el colimit son funtores covariantes .

Como representaciones de functores

Se pueden utilizar functores Hom para relacionar límites y colimites en una categoría C con límites en Set , la categoría de conjuntos . Esto se desprende, en parte, del hecho de que el functor Hom covariante Hom( N , –) : C → Set conserva todos los límites en C . Por dualidad, el functor Hom contravariante debe llevar los colímites a límites.

Si un diagrama F  : J → C tiene un límite en C , denotado por lim F , existe un isomorfismo canónico

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \lim \operatorname {Hom} (N,F-)}$

lo cual es natural en la variable N . Aquí el funtor Hom( N , F –) es la composición del funtor Hom Hom( N , –) con F . Este isomorfismo es el único que respeta los conos limitantes.

Se puede utilizar la relación anterior para definir el límite de F en C. El primer paso es observar que el límite del funtor Hom( N , F –) se puede identificar con el conjunto de todos los conos de N a F :

${\displaystyle \lim \operatorname {Hom} (N,F-)=\operatorname {Cone} (N,F).}$

El cono límite está dado por la familia de aplicaciones π _X  : Cono( N , F ) → Hom( N , FX ) donde π _X ( ψ ) = ψ _X . Si se le da un objeto L de C junto con un isomorfismo natural Φ  : Hom( L , –) → Cono(–, F ), el objeto L será un límite de F con el cono límite dado por Φ _L (id _L ). En lenguaje elegante, esto equivale a decir que un límite de F es una representación del funtor Cone(–, F ) : C → Set .

Dualmente, si un diagrama F  : J → C tiene un colimit en C , denotado colim F , hay un isomorfismo canónico único

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \lim \operatorname {Hom} (F-,N)}$

lo cual es natural en la variable N y respeta los conos colimitantes. Identificando el límite de Hom( F –, N ) con el conjunto Cocone( F , N ), esta relación se puede utilizar para definir el colímite del diagrama F como una representación del funtor Cocone( F , –).

Intercambio de límites y colímites de conjuntos.

Sea I una categoría finita y J una pequeña categoría filtrada . Para cualquier bifunctor

${\displaystyle F:I\times J\to \mathbf {Set} ,}$

hay un isomorfismo natural

${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{J}\lim _{I}F(i,j)\rightarrow \lim _{I}\operatorname {colim} \limits _{J}F(i,j).}$

En palabras, los colimits filtrados en Set conmutan con límites finitos. También sostiene que los colimits pequeños conmutan con límites pequeños. ^[2]

Functores y límites

Si F  : J → C es un diagrama en C y G  : C → D es un funtor entonces por composición (recordemos que un diagrama es solo un funtor) se obtiene un diagrama GF  : J → D . Una pregunta natural entonces es:

“¿Cómo se relacionan los límites de GF con los de F ?”

Preservación de límites

Un funtor G  : C → D induce un mapa de Cono( F ) a Cono( GF ): si Ψ es un cono de N a F entonces GΨ es un cono de GN a GF . Se dice que el funtor G preserva los límites de F si ( GL , Gφ ) es un límite de GF siempre que ( L , φ ) sea un límite de F. (Obsérvese que si el límite de F no existe, entonces G preserva de forma vacía los límites de F ).

Se dice que un funtor G conserva todos los límites de la forma J si conserva los límites de todos los diagramas F  : J → C . Por ejemplo, se puede decir que G preserva productos, ecualizadores, retrocesos, etc. Un funtor continuo es aquel que preserva todos los límites pequeños .

Se pueden hacer definiciones análogas para colimits. Por ejemplo, un funtor G conserva los colimites de F si G ( L , φ ) es un colimit de GF siempre que ( L , φ ) es un colimit de F . Un functor cocontinuo es aquel que preserva todos los colimits pequeños .

Si C es una categoría completa , entonces, según el teorema de existencia para límites anterior, un funtor G  : C → D es continuo si y sólo si conserva productos (pequeños) y ecualizadores. Dualmente, G es cocontinuo si y sólo si conserva coproductos (pequeños) y coecualizadores.

Una propiedad importante de los funtores adjuntos es que cada funtor adjunto derecho es continuo y cada funtor adjunto izquierdo es cocontinuo. Dado que los functores adjuntos existen en abundancia, esto proporciona numerosos ejemplos de funtores continuos y cocontinuos.

Para un diagrama dado F  : J → C y funtor G  : C → D , si tanto F como GF tienen límites especificados, existe un morfismo canónico único

${\displaystyle \tau _{F}:G\lim F\to \lim GF}$

que respeta los conos límite correspondientes. El funtor G conserva los límites de F si y sólo si este mapa es un isomorfismo. Si las categorías C y D tienen todos los límites de la forma J, entonces lim es un functor y los morfismos τ _F forman los componentes de una transformación natural.

${\displaystyle \tau :G\lim \to \lim G^{J}.}$

El funtor G conserva todos los límites de la forma J si y sólo si τ es un isomorfismo natural. En este sentido, se puede decir que el funtor G conmuta con límites ( hasta un isomorfismo natural canónico).

La preservación de límites y colimites es un concepto que sólo se aplica a functores covariantes . Para functores contravariantes, las nociones correspondientes serían un funtor que lleva colimits a límites, o uno que lleva límites a colimits.

Levantamiento de límites

Se dice que un funtor G  : C → D eleva los límites de un diagrama F  : J → C si siempre que ( L , φ ) es un límite de GF existe un límite ( L ′, φ ′) de F tal que G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ). Un funtor G eleva los límites de la forma J si eleva los límites de todos los diagramas de forma J. Por lo tanto, se puede hablar de productos de elevación, ecualizadores, retrocesos, etc. Finalmente, se dice que G eleva los límites si elimina todos los límites. Existen definiciones duales para el levantamiento de colimits.

Un functor G eleva los límites únicamente para un diagrama F si hay un cono de preimagen único ( L ′, φ ′) tal que ( L ′, φ ′) es un límite de F y G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ). Se puede demostrar que G eleva los límites únicamente si y sólo si eleva los límites y es amnésico .

La eliminación de los límites está claramente relacionada con la preservación de los límites. Si G elimina los límites de un diagrama F y GF tiene un límite, entonces F también tiene un límite y G conserva los límites de F. Resulta que:

• Si G levanta los límites de todas las formas J y D tiene todos los límites de la forma J , entonces C también tiene todos los límites de la forma J y G conserva estos límites.
• Si G elimina todos los límites pequeños y D es completo, entonces C también es completo y G es continuo.

Las afirmaciones duales para colimits son igualmente válidas.

Creación y reflexión de límites.

Sea F  : J → C un diagrama. Se dice que un funtor G  : C → D

• crear límites para F si siempre que ( L , φ ) sea un límite de GF existe un cono único ( L ′, φ ′) para F tal que G ( L ′, φ ′) = ( L , φ ), y además, este cono es un límite de F .
• reflejar límites para F si cada cono de F cuya imagen bajo G es un límite de GF ya es un límite de F .

De manera dual, se puede definir la creación y el reflejo de los colimits.

Es fácil ver que las siguientes afirmaciones son equivalentes:

• El funtor G crea límites.
• El funtor G eleva los límites de forma única y refleja los límites.

Hay ejemplos de functores que elevan los límites de forma única pero no los crean ni los reflejan.

Ejemplos

• Cada funtor representable C → Set conserva los límites (pero no necesariamente los colimits). En particular, para cualquier objeto A de C , esto es cierto para el funtor Hom covariante Hom( A ,–) : C → Set .
• El functor olvidadizo U  : Grp → Set crea (y conserva) todos los límites pequeños y colimits filtrados ; sin embargo, U no conserva los coproductos. Esta situación es típica de los funtores algebraicos olvidadizos.
• El funtor libre F  : Set → Grp (que asigna a cada conjunto S el grupo libre sobre S ) se deja adjunto al funtor olvidadizo U y es, por tanto, cocontinuo. Esto explica por qué el producto libre de dos grupos libres G y H es el grupo libre generado por la unión disjunta de los generadores de G y H.
• El funtor de inclusión Ab → Grp crea límites pero no preserva los coproductos (siendo el coproducto de dos grupos abelianos la suma directa ).
• El functor olvidadizo Arriba → Conjunto levanta límites y colimita de forma única, pero no crea ninguno de los dos.
• Sea Met _c la categoría de espacios métricos con funciones continuas para morfismos. El funtor olvidadizo Met _c → Set eleva los límites finitos pero no los eleva de forma única.

Una nota sobre terminología

La terminología más antigua se refería a los límites como "límites inversos" o "límites proyectivos", y a los colimits como "límites directos" o "límites inductivos". Esta ha sido la fuente de mucha confusión.

Hay varias formas de recordar la terminología moderna. En primer lugar,

• coquillas,
• coproductos,
• coecualizadores y
• codominios

son tipos de colimits, mientras que

• granos,
• productos
• ecualizadores y
• dominios

son tipos de límites. En segundo lugar, el prefijo "co" implica "primera variable de ". Términos como "cohomología" y "cofibración" tienen una asociación ligeramente más fuerte con la primera variable, es decir, la variable contravariante, del bifunctor. ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

Ver también

• Categoría cerrada cartesiana  : tipo de categoría en la teoría de categorías
• Ecualizador (matemáticas)  : conjunto de argumentos donde dos o más funciones tienen el mismo valor
• Límite inverso  : construcción en teoría de categorías
• Producto (teoría de categorías)  - Objeto generalizado en la teoría de categorías

Referencias

1. Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 5 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
2. conmutatividad de límites y colimits en el n Lab

Otras lecturas

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 5 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl  0906.18001.
• Borceux, Francisco (1994). "Límites". Manual de álgebra categórica . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones 50-51, 53 [es decir, 52]. vol. 1. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-44178-1.

enlaces externos

• Página web interactiva que genera ejemplos de límites y colimites en la categoría de conjuntos finitos. Escrito por Jocelyn Paine.
• Límite en el laboratorio n