En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , el cono de un funtor es una noción abstracta utilizada para definir el límite de ese funtor . Los conos también hacen otras apariciones en la teoría de categorías.
Sea F : J → C un diagrama en C . Formalmente, un diagrama no es más que un funtor de J a C. El cambio en la terminología refleja el hecho de que pensamos en F como una indexación de una familia de objetos y morfismos en C. La categoría J se considera una "categoría de índice". Se debería considerar esto en analogía con el concepto de familia indexada de objetos en la teoría de conjuntos . La principal diferencia es que aquí también tenemos morfismos. Así, por ejemplo, cuando J es una categoría discreta , corresponde más estrechamente a la idea de una familia indexada en la teoría de conjuntos. Otro ejemplo común y más interesante toma a J como un lapso . J también puede considerarse la categoría vacía, que conduce a los conos más simples.
Sea N un objeto de C . Un cono de N a F es una familia de morfismos
para cada objeto X de J , tal que para cada morfismo f : X → Y en J el siguiente diagrama conmuta :
La colección (normalmente infinita) de todos estos triángulos se puede representar (parcialmente) en forma de cono con el vértice N. A veces se dice que el cono ψ tiene vértice N y base F.
También se puede definir la noción dual de un cono de F a N (también llamado cocono ) invirtiendo todas las flechas anteriores. Explícitamente, un cocono de F a N es una familia de morfismos
para cada objeto X de J , tal que para cada morfismo f : X → Y en J el siguiente diagrama conmuta:
A primera vista, los conos parecen construcciones ligeramente anormales en la teoría de categorías. Son mapas de un objeto a un funtor (o viceversa). De acuerdo con el espíritu de la teoría de categorías, nos gustaría definirlos como morfismos u objetos en alguna categoría adecuada. De hecho, podemos hacer ambas cosas.
Sea J una categoría pequeña y sea C J la categoría de diagramas de tipo J en C (esto no es más que una categoría de funtor ). Defina el funtor diagonal Δ : C → C J de la siguiente manera: Δ( N ) : J → C es el functor constante de N para todo N en C .
Si F es un diagrama de tipo J en C , las siguientes afirmaciones son equivalentes:
Las declaraciones duales también son equivalentes:
Todas estas afirmaciones pueden verificarse mediante una aplicación sencilla de las definiciones. Al pensar en los conos como transformaciones naturales, vemos que son solo morfismos en C J con fuente (o destino) un functor constante.
Por lo anterior, podemos definir la categoría de conos de F como la categoría de coma (Δ ↓ F ). Los morfismos de conos son entonces sólo morfismos en esta categoría. Esta equivalencia se basa en la observación de que un mapa natural entre funtores constantes Δ( N ) , Δ( M ) corresponde a un morfismo entre N y M. En este sentido, el funtor diagonal actúa trivialmente sobre las flechas. De manera similar, escribir la definición de un mapa natural desde un funtor constante Δ( N ) a F produce el mismo diagrama que el anterior. Como era de esperar, un morfismo de un cono ( N , ψ) a un cono ( L , φ) es simplemente un morfismo N → L tal que todos los diagramas "obvios" conmutan (consulte el primer diagrama en la siguiente sección).
Asimismo, la categoría de coconos de F es la categoría de coma ( F ↓ Δ).
Los límites y colimites se definen como conos universales . Es decir, conos a través de los cuales se factorizan todos los demás conos. Un cono φ de L a F es un cono universal si para cualquier otro cono ψ de N a F existe un morfismo único de ψ a φ.
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De manera equivalente, un cono universal para F es un morfismo universal de Δ a F (pensado como un objeto en C J ), o un objeto terminal en (Δ ↓ F ).
Dualmente, un cono φ de F a L es un cono universal si para cualquier otro cono ψ de F a N existe un morfismo único de φ a ψ.
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De manera equivalente, un cono universal de F es un morfismo universal de F a Δ, o un objeto inicial en ( F ↓ Δ).
El límite de F es un cono universal para F , y el colimit es un cono universal de F . Como ocurre con todas las construcciones universales, no se garantiza que los conos universales existan para todos los diagramas F , pero si existen, son únicos hasta un isomorfismo único (en la categoría de coma (Δ ↓ F )).
