En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un diagrama es el análogo categórico de una familia indexada en la teoría de conjuntos . La principal diferencia es que en el ámbito categórico uno tiene morfismos que también necesitan indexación. Una familia indexada de conjuntos es una colección de conjuntos indexados por un conjunto fijo; de manera equivalente, una función de un conjunto de índices fijos a la clase de conjuntos . Un diagrama es una colección de objetos y morfismos, indexados por una categoría fija; de manera equivalente, un functor de una categoría de índice fijo a alguna categoría .
El funtor universal de un diagrama es el funtor diagonal ; su adjunto derecho es el límite del diagrama y su adjunto izquierdo es el colimit. [1] La transformación natural del funtor diagonal a algún diagrama arbitrario se llama cono .
Formalmente, un diagrama de tipo J en una categoría C es un funtor ( covariante )
La categoría J se llama categoría índice o esquema del diagrama D ; el functor a veces se denomina diagrama en forma de J. [2] Los objetos y morfismos reales en J son en gran medida irrelevantes; sólo importa la forma en que están interrelacionados. Se piensa que el diagrama D indexa una colección de objetos y morfismos en C modelados en J.
Aunque técnicamente no hay diferencia entre un diagrama individual y un functor o entre un esquema y una categoría , el cambio de terminología refleja un cambio de perspectiva, tal como en el caso de la teoría de conjuntos: se fija la categoría del índice y se permite la functor (y, en segundo lugar, la categoría objetivo) para variar.
Lo que más nos interesa es el caso en el que el esquema J es una categoría pequeña o incluso finita . Se dice que un diagrama es pequeño o finito siempre que J lo sea.
Un morfismo de diagramas de tipo J en una categoría C es una transformación natural entre functores. Entonces se puede interpretar la categoría de diagramas de tipo J en C como la categoría de functor C J , y un diagrama es entonces un objeto en esta categoría.
Un cono con vértice N de un diagrama D : J → C es un morfismo del diagrama constante Δ( N ) a D . El diagrama constante es el diagrama que envía cada objeto de J a un objeto N de C y cada morfismo al morfismo identidad en N.
El límite de un diagrama D es un cono universal para D . Es decir, un cono a través del cual todos los demás conos factorizan de forma única. Si el límite existe en una categoría C para todos los diagramas de tipo J se obtiene un funtor
que envía cada diagrama a su límite.
Dualmente, el colímite del diagrama D es un cono universal de D. Si el colimit existe para todos los diagramas de tipo J uno tiene un functor
que envía cada diagrama a su colimit.
Los diagramas y las categorías de funtores a menudo se visualizan mediante diagramas conmutativos , particularmente si la categoría de índice es una categoría poset finita con pocos elementos: se dibuja un diagrama conmutativo con un nodo para cada objeto en la categoría de índice y una flecha para un conjunto generador de morfismos. , omitiendo mapas de identidad y morfismos que pueden expresarse como composiciones. La conmutatividad corresponde a la unicidad de un mapa entre dos objetos en una categoría poset. Por el contrario, cada diagrama conmutativo representa un diagrama (un funtor de una categoría de índice poset) de esta manera.
No todos los diagramas conmutan, ya que no todas las categorías de índice son una categoría poset: más simplemente, el diagrama de un solo objeto con un endomorfismo ( ) o con dos flechas paralelas ( ; ) no necesita conmutar. Además, los diagramas pueden ser imposibles de dibujar (porque son infinitos) o simplemente confusos (porque hay demasiados objetos o morfismos); sin embargo, los diagramas conmutativos esquemáticos (para subcategorías de la categoría de índice, o con elipses, como para un sistema dirigido) se utilizan para aclarar diagramas tan complejos.
