En matemáticas , un ecualizador es un conjunto de argumentos en los que dos o más funciones tienen valores iguales . Un ecualizador es el conjunto de soluciones de una ecuación . En ciertos contextos, un núcleo diferencial es el ecualizador de exactamente dos funciones.
Sean X e Y conjuntos . Sean f y g funciones , ambas de X a Y . Entonces el ecualizador de f y g es el conjunto de elementos x de X tales que f ( x ) es igual a g ( x ) en Y . Simbólicamente:
El ecualizador puede denotarse como Eq( f , g ) o una variación de ese tema (como con letras minúsculas "eq"). En contextos informales, la notación { f = g } es común.
La definición anterior utiliza dos funciones f y g , pero no hay necesidad de restringirse a sólo dos funciones, o incluso a sólo un número finito de funciones. En general, si F es un conjunto de funciones de X a Y , entonces el igualador de los miembros de F es el conjunto de elementos x de X tales que, dados dos miembros cualesquiera f y g de F , f ( x ) es igual a g ( x ) en Y . Simbólicamente:
Este ecualizador puede escribirse como Eq( f , g , h , ...) si es el conjunto { f , g , h , ...}. En el último caso, también se puede encontrar { f = g = h = ···} en contextos informales.
Como caso degenerado de la definición general, sea F un singleton { f }. Puesto que f ( x ) siempre es igual a sí mismo, el ecualizador debe ser todo el dominio X . Como caso aún más degenerado, sea F el conjunto vacío . Entonces el ecualizador es de nuevo todo el dominio X , puesto que la cuantificación universal en la definición es vacuamente verdadera .
Un ecualizador binario (es decir, un ecualizador de solo dos funciones) también se llama núcleo de diferencia . Esto también puede denotarse DiffKer( f , g ), Ker( f , g ) o Ker( f − g ). La última notación muestra de dónde proviene esta terminología y por qué es más común en el contexto del álgebra abstracta : el núcleo de diferencia de f y g es simplemente el núcleo de la diferencia f − g . Además, el núcleo de una sola función f se puede reconstruir como el núcleo de diferencia Eq( f , 0), donde 0 es la función constante con valor cero .
Por supuesto, todo esto presupone un contexto algebraico en el que el núcleo de una función es la preimagen del cero bajo esa función; eso no es cierto en todas las situaciones. Sin embargo, la terminología "núcleo de diferencia" no tiene otro significado.
Los ecualizadores pueden definirse mediante una propiedad universal , que permite generalizar la noción desde la categoría de conjuntos a categorías arbitrarias .
En el contexto general, X e Y son objetos, mientras que f y g son morfismos de X a Y. Estos objetos y morfismos forman un diagrama en la categoría en cuestión, y el ecualizador es simplemente el límite de ese diagrama.
En términos más explícitos, el ecualizador consiste en un objeto E y un morfismo eq : E → X que satisface , y tal que, dado cualquier objeto O y morfismo m : O → X , si , entonces existe un morfismo único u : O → E tal que .
Se dice que un morfismo es igual y si . [1]
En cualquier categoría algebraica universal , incluidas las categorías en las que se utilizan núcleos de diferencia, así como la propia categoría de conjuntos, el objeto E siempre puede tomarse como la noción ordinaria de ecualizador, y el morfismo eq puede en ese caso tomarse como la función de inclusión de E como un subconjunto de X.
La generalización de esto a más de dos morfismos es sencilla; simplemente se utiliza un diagrama más grande con más morfismos en él. El caso degenerado de un solo morfismo también es sencillo; entonces eq puede ser cualquier isomorfismo de un objeto E a X .
El diagrama correcto para el caso degenerado sin morfismos es ligeramente sutil: uno podría dibujar inicialmente el diagrama como si consistiera en los objetos X e Y y ningún morfismo. Sin embargo, esto es incorrecto, ya que el límite de dicho diagrama es el producto de X e Y , en lugar del ecualizador. (Y de hecho, productos e ecualizadores son conceptos diferentes: la definición de producto de la teoría de conjuntos no concuerda con la definición de ecualizador de la teoría de conjuntos mencionada anteriormente, por lo tanto, en realidad son diferentes). En cambio, la idea adecuada es que cada diagrama de ecualizador se ocupa fundamentalmente de X , incluido Y solo porque Y es el codominio de los morfismos que aparecen en el diagrama. Con esta perspectiva, vemos que si no hay morfismos involucrados, Y no aparece y el diagrama de ecualizador consiste solo en X . El límite de este diagrama es entonces cualquier isomorfismo entre E y X .
Se puede demostrar que cualquier ecualizador en cualquier categoría es un monomorfismo . Si se cumple la inversa en una categoría dada, entonces se dice que esa categoría es regular (en el sentido de monomorfismos). De manera más general, un monomorfismo regular en cualquier categoría es cualquier morfismo m que sea un ecualizador de algún conjunto de morfismos. Algunos autores exigen de manera más estricta que m sea un ecualizador binario , es decir, un ecualizador de exactamente dos morfismos. Sin embargo, si la categoría en cuestión es completa , entonces ambas definiciones concuerdan.
La noción de núcleo de diferencia también tiene sentido en un contexto de teoría de categorías. La terminología "núcleo de diferencia" es común en toda la teoría de categorías para cualquier ecualizador binario. En el caso de una categoría preaditiva (una categoría enriquecida con respecto a la categoría de grupos abelianos ), el término "núcleo de diferencia" puede interpretarse literalmente, ya que la resta de morfismos tiene sentido. Es decir, Eq( f , g ) = Ker( f - g ), donde Ker denota el núcleo de teoría de categorías .
Cualquier categoría con productos de fibra (pullbacks) y productos tiene igualadores.
