Generalización de un cociente mediante una relación de equivalencia a objetos de una categoría arbitraria
En teoría de categorías , un coecualizador es una generalización de un cociente mediante una relación de equivalencia con objetos de una categoría arbitraria . Es la construcción categórica dual del ecualizador .
Definición
Un coecualizador es un colimite del diagrama que consta de dos objetos X e Y y dos morfismos paralelos f , g : X → Y .
Más explícitamente, un coecualizador de los morfismos paralelos f y g puede definirse como un objeto Q junto con un morfismo q : Y → Q tal que q ∘ f = q ∘ g . Además, el par ( Q , q ) debe ser universal en el sentido de que dado cualquier otro par ( Q ′, q ′) existe un morfismo único u : Q → Q ′ tal que u ∘ q = q ′ . Esta información puede captarse mediante el siguiente diagrama conmutativo :
Como ocurre con todas las construcciones universales , un coecualizador, si existe, es único salvo un isomorfismo único (por eso, por abuso del lenguaje, a veces se habla de "el" coecualizador de dos flechas paralelas).
Se puede demostrar que una flecha coecualizante q es un epimorfismo en cualquier categoría.
Ejemplos
- En la categoría de conjuntos , el coecualizador de dos funciones f , g : X → Y es el cociente de Y por la relación de equivalencia más pequeña ~ tal que para cada x ∈ X , tenemos f ( x )~ g ( x ) . [1] En particular, si R es una relación de equivalencia en un conjunto Y, y r1, r2 son las proyecciones naturales ( R⊂Y × Y ) → Y , entonces el coecualizador de r1 y r2 es el conjunto cociente Y / R . (Véase también: cociente por una relación de equivalencia . )
- El coecualizador en la categoría de grupos es muy similar. Aquí si f , g : X → Y son homomorfismos de grupo , su coecualizador es el cociente de Y por la clausura normal del conjunto.
- Para los grupos abelianos, el coecualizador es particularmente simple. Es simplemente el grupo factorial Y / im( f – g ) . (Éste es el co-núcleo del morfismo f – g ; vea la siguiente sección).
- En la categoría de espacios topológicos , el objeto circular S 1 puede verse como el coecualizador de los dos mapas de inclusión del 0-símplex estándar al 1-símplex estándar.
- Los coecualizadores pueden ser grandes: hay exactamente dos funtores desde la categoría 1 que tiene un objeto y una flecha identidad, hasta la categoría 2 con dos objetos y una flecha no identidad que va entre ellos. El coecualizador de estos dos funtores es el monoide de los números naturales bajo la adición, considerado como una categoría de un objeto. En particular, esto muestra que si bien cada flecha coecualizadora es épica , no es necesariamente sobreyectiva .
Propiedades
- Todo coecualizador es un epimorfismo.
- En un topos , cada epimorfismo es el coecualizador de su par de núcleos.
Casos especiales
En categorías con morfismos cero , se puede definir un co-núcleo de un morfismo f como el co-ecualizador de f y el morfismo cero paralelo.
En las categorías preaditivas tiene sentido sumar y restar morfismos (los conjuntos hom forman en realidad grupos abelianos ). En dichas categorías, se puede definir el coecualizador de dos morfismos f y g como el conúcleo de su diferencia:
- coeq( f , g ) = coker( g – f ).
Una noción más fuerte es la de un coecualizador absoluto , que es un coecualizador que se conserva bajo todos los funtores. Formalmente, un coecualizador absoluto de un par de flechas paralelas f , g : X → Y en una categoría C es un coecualizador como se definió anteriormente, pero con la propiedad adicional de que dado cualquier funtor F : C → D , F ( Q ) junto con F ( q ) es el coecualizador de F ( f ) y F ( g ) en la categoría D . Los coecualizadores divididos son ejemplos de coecualizadores absolutos.
Véase también
Notas
Referencias
Enlaces externos
- Página web interactiva que genera ejemplos de coecualizadores en la categoría de conjuntos finitos. Escrita por Jocelyn Paine.
