En matemáticas , y especialmente en teoría de categorías , un diagrama conmutativo es un diagrama tal que todos los caminos dirigidos en el diagrama con los mismos puntos inicial y final conducen al mismo resultado. [1] Se dice que los diagramas conmutativos desempeñan el papel en la teoría de categorías que desempeñan las ecuaciones en álgebra . [ cita necesaria ]
Un diagrama conmutativo suele constar de tres partes:
En los textos de álgebra, el tipo de morfismo se puede indicar con diferentes usos de flechas:
Los significados de las diferentes flechas no están del todo estandarizados: las flechas utilizadas para monomorfismos, epimorfismos e isomorfismos también se utilizan para inyecciones , sobreyecciones y biyecciones , así como las cofibraciones, fibraciones y equivalencias débiles en una categoría de modelo .
La conmutatividad tiene sentido para un polígono de cualquier número finito de lados (incluidos solo 1 o 2), y un diagrama es conmutativo si cada subdiagrama poligonal es conmutativo.
Tenga en cuenta que un diagrama puede ser no conmutativo, es decir, la composición de diferentes caminos en el diagrama puede no dar el mismo resultado.
En el diagrama de la izquierda, que expresa el primer teorema del isomorfismo , la conmutatividad del triángulo significa que . En el diagrama de la derecha, la conmutatividad del cuadrado significa .
Para que el siguiente diagrama conmute, se deben satisfacer tres igualdades:
Aquí, dado que la primera igualdad se deriva de las dos últimas, basta demostrar que (2) y (3) son verdaderas para que el diagrama conmute. Sin embargo, dado que la igualdad (3) generalmente no se deriva de las otras dos, generalmente no es suficiente tener sólo las igualdades (1) y (2) si se quiere demostrar que el diagrama conmuta.
La búsqueda de diagramas (también llamada búsqueda esquemática ) es un método de prueba matemática utilizado especialmente en álgebra homológica , donde se establece una propiedad de algún morfismo rastreando los elementos de un diagrama conmutativo. Una prueba mediante búsqueda de diagramas normalmente implica el uso formal de las propiedades del diagrama, como mapas inyectivos o sobreyectivos , o secuencias exactas . [4] Se construye un silogismo , para el cual la representación gráfica del diagrama es sólo una ayuda visual. De ello se deduce que uno termina "persiguiendo" elementos alrededor del diagrama, hasta que se construye o verifica el elemento o resultado deseado.
Ejemplos de pruebas mediante búsqueda de diagramas incluyen las que se dan típicamente para el lema de los cinco , el lema de la serpiente , el lema en zig-zag y el lema de los nueve .
En la teoría de categorías superiores, se consideran no sólo objetos y flechas, sino también flechas entre flechas, flechas entre flechas, entre flechas, y así hasta el infinito. Por ejemplo, la categoría de categorías pequeñas Cat es naturalmente una categoría 2, con functores como flechas y transformaciones naturales como flechas entre functores. En este contexto, los diagramas conmutativos también pueden incluir estas flechas superiores, que a menudo se representan con el siguiente estilo: . Por ejemplo, el siguiente diagrama (algo trivial) representa dos categorías C y D , junto con dos functores F , G : C → D y una transformación natural α : F ⇒ G :
Hay dos tipos de composición en una categoría 2 (llamada composición vertical y composición horizontal ), y también se pueden representar pegando diagramas (consulte Definición de categoría 2 para ver ejemplos).
Un diagrama conmutativo en una categoría C se puede interpretar como un functor de un índice de categoría J a C; al funtor se le llama diagrama .
Más formalmente, un diagrama conmutativo es una visualización de un diagrama indexado por una categoría poset . Un diagrama de este tipo normalmente incluye:
Por el contrario, dado un diagrama conmutativo, define una categoría poset, donde:
Sin embargo, no todos los diagramas conmutan (la noción de diagrama generaliza estrictamente el diagrama conmutativo). Como ejemplo simple, el diagrama de un solo objeto con un endomorfismo ( ), o con dos flechas paralelas ( , es decir, a veces llamado carcaj libre ), como se usa en la definición de ecualizador , no necesita conmutar. Además, los diagramas pueden ser confusos o imposibles de dibujar cuando el número de objetos o morfismos es grande (o incluso infinito).
