Dodecaedro regular

Poliedro convexo con 12 caras pentagonales regulares.

Un dodecaedro regular o dodecaedro pentagonal es un dodecaedro compuesto por caras pentagonales regulares , reuniéndose tres en cada vértice . Es un ejemplo de sólidos platónicos , descrito como estelación cósmica por Platón en sus diálogos, y fue utilizado como parte del Sistema Solar propuesto por Johannes Kepler . Sin embargo, el dodecaedro regular, incluidos los demás sólidos platónicos, ya ha sido descrito por otros filósofos desde la antigüedad.

El dodecaedro regular es de la familia del trapezoedro truncado porque es el resultado de truncar los vértices axiales de un trapezoedro pentagonal . También es un poliedro de Goldberg porque es el poliedro inicial para construir nuevos poliedros mediante el proceso de achaflanado . Tiene relación con otros sólidos platónicos, uno de ellos es el icosaedro regular como su poliedro dual . Se pueden construir otros poliedros nuevos utilizando un dodecaedro regular.

Las propiedades métricas y la construcción del dodecaedro regular están asociadas con la proporción áurea . El dodecaedro regular se puede encontrar en muchas culturas populares: el dodecaedro romano , el cuento infantil, los juguetes y las artes pictóricas. También se puede encontrar en la naturaleza y en las supramoléculas, así como en la forma del universo. El esqueleto de un dodecaedro regular se puede representar como el gráfico llamado gráfico dodecaédrico , un gráfico platónico . Su propiedad del Hamitoniano , un camino visita todos sus vértices exactamente una vez, se puede encontrar en un juguete llamado juego icosiano .

Como sólido platónico

El dodecaedro regular es un poliedro con 12 caras pentagonales, 30 aristas y 20 vértices. ^[1] Es uno de los sólidos platónicos , un conjunto de poliedros en los que las caras son polígonos regulares que son congruentes y el mismo número de caras se juntan en un vértice. ^[2] Este conjunto de poliedros lleva el nombre de Platón . En Teeteto , un diálogo de Platón, Platón planteó la hipótesis de que los elementos clásicos estaban formados por cinco sólidos regulares uniformes. Platón describió el dodecaedro regular y comentó oscuramente: "... el dios [lo] usó para organizar las constelaciones en todo el cielo". Timeo , como personaje del diálogo de Platón, asocia los otros cuatro sólidos platónicos ( tetraedro regular , cubo , octaedro regular e icosaedro regular ) con los cuatro elementos clásicos , añadiendo que existe un quinto patrón sólido que, aunque comúnmente asociado con el patrón regular dodecaedro, nunca se menciona directamente como tal; "Este Dios usó en la delineación del universo". ^[3] Aristóteles también postuló que los cielos estaban hechos de un quinto elemento, al que llamó aithêr ( aether en latín, ether en inglés americano). ^[4]

Siguiendo su atribución con la naturaleza por parte de Platón, Johannes Kepler en sus Armonices Mundi esbozó cada uno de los sólidos platónicos, uno de ellos es un dodecaedro regular. ^[5] En su Mysterium Cosmographicum , Kepler también propuso el Sistema Solar utilizando los sólidos platónicos insertados en otro y separándolos con seis esferas que se asemejan a los seis planetas. Los sólidos ordenados comenzaban desde el más interno hacia el más externo: octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, tetraedro regular y cubo. ^[6]

Modelo 3D de un dodecaedro regular

Muchos filósofos de la antigüedad describieron el dodecaedro regular, incluido el resto de sólidos platónicos. Teeteto dio una descripción matemática de los cinco y puede haber sido responsable de la primera prueba conocida de que no existe ningún otro poliedro regular convexo. Euclides describió de forma completamente matemática los sólidos platónicos en los Elementos , cuyo último libro (libro XIII) está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13 a 17 del Libro XIII describen la construcción del tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro y dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides encuentra la relación entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud del borde. En la Proposición 18 sostiene que no hay más poliedros regulares convexos. Jámblico afirma que Hippaso , un pitagórico, murió en el mar, porque se jactaba de haber divulgado por primera vez "la esfera con los doce pentágonos". ^[7]

Relación con el icosaedro regular

El icosaedro regular dentro del dodecaedro regular.

El poliedro dual de un dodecaedro es el icosaedro regular . Una propiedad del poliedro dual generalmente es que el poliedro original y su dual comparten el mismo grupo de simetría tridimensional . En el caso del dodecaedro regular, tiene la misma simetría que el icosaedro regular, la simetría icosaédrica . ^[8] ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$

Cuando un dodecaedro regular está inscrito en una esfera , ocupa más volumen de la esfera (66,49%) que un icosaedro inscrito en la misma esfera (60,55%). ^[9] El resultado de los volúmenes de ambas esferas comenzó inicialmente a partir del problema de los antiguos griegos, determinar cuál de dos formas tiene un volumen mayor: un icosaedro inscrito en una esfera, o un dodecaedro inscrito en la misma esfera. El problema fue resuelto por Héroe de Alejandría , Pappus de Alejandría y Fibonacci , entre otros. ^[10] Apolonio de Perga descubrió el curioso resultado de que la proporción de volúmenes de estas dos formas es la misma que la proporción de sus áreas de superficie. ^[11] Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran la proporción áurea pero se llevan a poderes diferentes. ^[1]

El rectángulo áureo también puede estar relacionado tanto con el icosaedro regular como con el dodecaedro regular. El icosaedro regular se puede construir intersectando tres rectángulos áureos perpendicularmente, dispuestos en ortogonalidad de dos por dos, y conectando cada uno de los vértices del rectángulo áureo con una línea de segmento. Hay 12 vértices regulares del icosaedro, considerados como el centro de 12 caras regulares del dodecaedro. ^[12]

Relación con el tetraedro regular

Cinco tetraedros inscritos en un dodecaedro. También se pueden inscribir cinco tetraedros opuestos (no mostrados).

Así como se pueden inscribir dos tetraedros opuestos en un cubo y se pueden inscribir cinco cubos en un dodecaedro, en un dodecaedro se pueden inscribir diez tetraedros en cinco cubos: dos conjuntos opuestos de cinco, cada conjunto cubriendo los 20 vértices y cada vértice en dos tetraedros (uno de cada conjunto, pero no el par opuesto). Como lo cita Coxeter et al. (1938), ^[13]

"Así como un tetraedro puede inscribirse en un cubo, un cubo puede inscribirse en un dodecaedro. Por reciprocidad, esto conduce a un octaedro circunscrito alrededor de un icosaedro. De hecho, cada uno de los doce vértices del icosaedro divide una arista de el octaedro según la " sección áurea ". Dado el icosaedro, el octaedro circunscrito se puede elegir de cinco maneras, dando un compuesto de cinco octaedros , que entra dentro de nuestra definición de icosaedro estrellado (El compuesto recíproco, de cinco cubos cuyos vértices. pertenece a un dodecaedro, es un triacontaedro estrellado .) Se puede deducir inmediatamente otro icosaedro estrellado, estrellando cada octaedro en una stella octangula , formando así un compuesto de diez tetraedros . Además, podemos elegir un tetraedro de cada stella octangula, por lo que. para derivar un compuesto de cinco tetraedros , que todavía tiene toda la simetría de rotación del icosaedro (es decir, el grupo icosaédrico), aunque ha perdido las reflexiones. Al reflejar esta figura en cualquier plano de simetría del icosaedro, obtenemos el complementario. conjunto de cinco tetraedros. Estos dos conjuntos de cinco tetraedros son enantiomorfos, es decir, no directamente congruentes, sino relacionados como un par de zapatos. [Tal] figura que no posee ningún plano de simetría (de modo que es enantiomorfa a su imagen especular) se dice que es quiral ."

Matriz de configuración

La matriz de configuración es una matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro como en los vértices, aristas y caras. La diagonal de una matriz denota el número de cada elemento que aparece en un poliedro, mientras que la no diagonal de una matriz denota el número de elementos de la columna que ocurren en o en el elemento de la fila. El dodecaedro regular se puede representar en la siguiente matriz: ^{[14] [15]} $${\displaystyle {\begin{bmatrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{bmatrix}}}$$

Relación con la proporción áurea

La proporción áurea es la proporción entre dos números igual a la proporción de su suma con la mayor de las dos cantidades. ^[16] Es una de las dos raíces de un polinomio, expresada como . ^[17] La ​​proporción áurea se puede aplicar a las propiedades métricas del dodecaedro regular, así como para construir el dodecaedro regular. ${\textstyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618}$

El área de superficie y el volumen de un dodecaedro regular de longitud de arista son: ^[18] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle A={\frac {15\phi }{\sqrt {3-\phi }}}a^{2},\qquad V={\frac {5\phi ^{3}}{6-2\phi }}a^{3}.}$$

Coordenadas cartesianas de un dodecaedro regular en las siguientes:

•  : los vértices naranjas se encuentran en (±1, ±1, ±1) .
•  : los vértices verdes se encuentran en (0, ± ϕ , ± ⁠1/ϕ⁠ ) ​​y forma un rectángulo en el plano yz .
•  : los vértices azules se encuentran en (± ⁠1/ϕ⁠ , 0, ± ϕ ) y formar un rectángulo en el plano xz .
•  : los vértices rosados ​​se encuentran en (± ϕ , ± ⁠1/ϕ⁠ , 0) y forma un rectángulo en el plano xy .

Las siguientes coordenadas cartesianas definen los 20 vértices de un dodecaedro regular centrado en el origen y adecuadamente escalado y orientado: ^[19] $${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1),&\qquad (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi ),\\(\pm 1/\phi ,0,\pm \phi ),&\qquad (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0).\end{aligned}}}$$

Si la longitud de la arista de un dodecaedro regular es , el radio de una esfera circunscrita (la que toca al dodecaedro regular en todos los vértices), el radio de una esfera inscrita ( tangente a cada una de las caras del dodecaedro regular) y el radio medio (una que toca el centro de cada arista) son: ^[20] Tenga en cuenta que, dado un dodecaedro regular de longitud de arista uno, es el radio de una esfera circunscrita alrededor de un cubo de longitud de arista , y es la apotema de un pentágono regular de longitud de arista . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle r_{m}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{u}&={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{2}}a\approx 1.401a,\\r_{i}&={\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}a\approx 1.114a,\\r_{m}&={\frac {\phi ^{2}}{2}}a\approx 1.309a.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle r_{u}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \phi }$

El ángulo diédrico de un dodecaedro regular entre cada dos caras pentagonales adyacentes es aproximadamente 116,565°. ${\displaystyle 2\arctan(\phi )}$

Otros objetos geométricos relacionados

El dodecaedro regular puede interpretarse como un trapezoedro truncado . Es el conjunto de poliedros que se pueden construir truncando los dos vértices axiales de un trapezoedro . Aquí, el dodecaedro regular se construye truncando el trapezoedro pentagonal.

El dodecaedro regular puede interpretarse como el poliedro de Goldberg . Es un conjunto de poliedros que contienen caras hexagonales y pentagonales. Aparte de dos sólidos platónicos (tetraedro y cubo), el dodecaedro regular es el inicial de la construcción del poliedro de Goldberg, y el siguiente poliedro se obtiene truncando todas sus aristas, un proceso llamado chaflán . Este proceso se puede repetir continuamente, dando como resultado más poliedros de Goldberg nuevos. Estos poliedros se clasifican como la primera clase de poliedro de Goldberg. ^[21]

Las estelaciones del dodecaedro regular constituyen tres de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot . La primera estelación de un dodecaedro regular se construye uniendo su capa con pirámides pentagonales, formando un pequeño dodecaedro estrellado . La segunda estelación se realiza uniendo el pequeño dodecaedro estrellado con cuñas , formando un gran dodecaedro . La tercera estelación es uniendo el gran dodecaedro con las afiladas pirámides triangulares, formando un gran dodecaedro estrellado . ^[22]

Apariciones

en artes visuales

dodecaedro romano

Los dodecaedros regulares se han utilizado como dados y probablemente también como dispositivos adivinatorios. Durante la época helenística , se fabricaron pequeños dodecaedros romanos huecos de bronce que se han encontrado en varias ruinas romanas de Europa. ^{[23] [24]} Su propósito no es seguro.

En el arte del siglo XX , el dodecaedro aparece en la obra de MC Escher , como en sus litografías Reptiles (1943) y Gravitación (1952). En el cuadro de Salvador Dalí El sacramento de la Última Cena (1955), la habitación es un dodecaedro regular hueco. Gerard Caris basó toda su obra artística en el dodecaedro regular y el pentágono, presentado como un nuevo movimiento artístico acuñado como pentagonismo.

En juguetes y cultura popular

En los juegos de rol modernos , el dodecaedro regular se utiliza a menudo como dado de doce caras, uno de los dados poliédricos más comunes . El rompecabezas retorcido Megaminx tiene la forma de un dodecaedro regular junto con sus análogos de orden más grande y más pequeño.

En la novela infantil The Phantom Tollbooth , el dodecaedro regular aparece como un personaje del país de las Matemáticas. Cada cara del dodecaedro regular describe las distintas expresiones faciales , girando hacia el frente según sea necesario para adaptarse a su estado de ánimo. ^{[ cita necesaria ]}

En la naturaleza y las supramoléculas.

El cocolitóforo fósil Braarudosphaera bigelowii (ver figura), un alga fitoplanctónica costera unicelular , tiene una capa de carbonato de calcio con una estructura dodecaédrica regular de unos 10 micrómetros de ancho. ^[26]

Algunos cuasicristales y jaulas tienen forma dodecaédrica (ver figura). También se dice que algunos cristales regulares, como el granate y el diamante, exhiben un hábito "dodecaédrico" , pero esta afirmación en realidad se refiere a la forma de dodecaedro rómbico . ^{[27] [25]}

Forma del universo

Se han propuesto varios modelos para la geometría global del universo. Entre estas propuestas se incluye el espacio dodecaédrico de Poincaré , un espacio curvado positivamente formado por un dodecaedro regular cuyas caras opuestas se corresponden (con un pequeño giro). Esto fue propuesto por Jean-Pierre Luminet y sus colegas en 2003, ^{[28] [29]} y en 2008 se estimó una orientación óptima en el cielo para el modelo. ^[30]

En el cuento de Bertrand Russell de 1954 "La pesadilla del matemático: la visión del profesor Squarepunt", el número 5 decía: "Soy el número de dedos de una mano. Hago pentágonos y pentagramas. Y si no fuera por mí, los dodecaedros no podrían existir". ; y, como todo el mundo sabe, el universo es un dodecaedro. Entonces, si no fuera por mí, no podría existir el universo. ^{[ cita necesaria ]}

Gráfico dodecaédrico

La propiedad hamiltoniana del gráfico dodecaédrico y el juguete matemático juego icosiano

Según el teorema de Steinitz , el grafo se puede representar como el esqueleto de un poliedro; en términos generales, la estructura de un poliedro. Un gráfico así tiene dos propiedades. Es plano , lo que significa que las aristas de un gráfico están conectadas a cada vértice sin cruzar otras aristas. También es un gráfico de 3 conexiones , lo que significa que, siempre que un gráfico con más de tres vértices y dos de los vértices se eliminan, los bordes permanecen conectados. ^{[31] [32]} El esqueleto de un dodecaedro regular se puede representar como un gráfico, y se llama gráfico dodecaédrico , un gráfico platónico . ^[33]

Este gráfico también se puede construir como el gráfico de Petersen generalizado , donde los vértices de un decágono están conectados a los de dos pentágonos, un pentágono conectado a los vértices impares del decágono y el otro pentágono conectado a los vértices pares. ^[34] Geométricamente, esto se puede visualizar como el cinturón ecuatorial de 10 vértices del dodecaedro conectado a las dos regiones polares de 5 vértices, una a cada lado. ${\displaystyle G(10,2)}$

El alto grado de simetría del polígono se replica en las propiedades de este gráfico, que es transitivo en distancia , regular en distancia y simétrico . El grupo de automorfismo tiene orden 120. Los vértices se pueden colorear con 3 colores, al igual que las aristas, y el diámetro es 5. ^[35]

El gráfico dodecaédrico es hamiltoniano , lo que significa que un camino visita todos sus vértices exactamente una vez. El nombre de esta propiedad lleva el nombre de William Rowan Hamilton , quien inventó un juego matemático conocido como juego icosiano . El objetivo del juego era encontrar un ciclo hamiltoniano a lo largo de los bordes de un dodecaedro. ^[36]

Ver también

• 120 células , un policorón regular (politopo 4D cuya superficie consta de 120 células dodecaédricas)
• Braarudosphaera bigelowii - Un cocolitóforo con forma de dodecaedro (un alga fitoplanctónica unicelular ).
• Dodecaedrano (molécula)
• dodecaedro pentakis
• dodecaedro chato
• Dodecaedro truncado

Referencias

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3. Platón, Timeo , traducción de Jowett [línea 1317–8]; la palabra griega traducida como delineación es diazographein , pintar con apariencia de vida.
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enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Dodecaedro regular". MundoMatemático .
• Klitzing, Richard. "Poliedros uniformes convexos 3D o3o5x - gama".
• Red imprimible editable de un dodecaedro con vista 3D interactiva
• Los poliedros uniformes
• Origami Polyhedra – Modelos hechos con Modular Origami
• Dodecaedro: modelo 3D que funciona en tu navegador
• Poliedros de realidad virtual La enciclopedia de los poliedros
  • VRML #Dodecaedro regular
• KJM MacLean, Un análisis geométrico de los cinco sólidos platónicos y otros poliedros semirregulares
• Visualización 3D del dodecaedro
• Stella: Polyhedron Navigator: Software utilizado para crear algunas de las imágenes de esta página.
• Cómo hacer un dodecaedro a partir de un cubo de poliestireno
• Los elementos griegos, indios y chinos: teoría de los siete elementos