Ley de potencia

Relación funcional entre dos cantidades.

Un ejemplo de gráfico de ley de potencias que demuestra la clasificación de popularidad. A la derecha está la cola larga , y a la izquierda están los pocos que dominan (también conocida como regla 80-20 ).

En estadística , una ley de potencia es una relación funcional entre dos cantidades, donde un cambio relativo en una cantidad da como resultado un cambio relativo en la otra cantidad proporcional a una potencia del cambio, independiente del tamaño inicial de esas cantidades: una cantidad varía como poder de otro. Por ejemplo, considerando el área de un cuadrado en términos de la longitud de su lado, si la longitud se duplica, el área se multiplica por un factor de cuatro. ^[1] Se dice que la tasa de cambio exhibida en estas relaciones es multiplicativa.

Ejemplos empíricos

Las distribuciones de una amplia variedad de fenómenos físicos, biológicos y provocados por el hombre siguen aproximadamente una ley potencial en una amplia gama de magnitudes: estos incluyen los tamaños de los cráteres de la Luna y de las erupciones solares , ^[2] el tamaño de las nubes, ^{[3 ]} el patrón de alimentación de varias especies, ^[4] los tamaños de los patrones de actividad de las poblaciones neuronales, ^[5] las frecuencias de las palabras en la mayoría de los idiomas, las frecuencias de los apellidos , la riqueza de especies en clados de organismos, ^[6] los tamaños de cortes de energía , erupciones volcánicas, ^[7] juicios humanos sobre la intensidad del estímulo ^{[8] [9]} y muchas otras cantidades. ^[10] Las distribuciones empíricas sólo pueden ajustarse a una ley de potencia para un rango limitado de valores, porque una ley de potencia pura permitiría valores arbitrariamente grandes o pequeños.La atenuación acústica sigue leyes de potencia de frecuencia dentro de amplias bandas de frecuencia para muchos medios complejos. Las leyes de escala alométrica para las relaciones entre variables biológicas se encuentran entre las funciones de ley de potencias más conocidas en la naturaleza.

Propiedades

Invariancia de escala

Un atributo de las leyes de potencia es su invariancia de escala . Dada una relación , escalar el argumento mediante un factor constante provoca sólo una escala proporcional de la función misma. Eso es, ${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

donde denota proporcionalidad directa . Es decir, escalar mediante una constante simplemente multiplica la relación original de ley de potencia por la constante . Por lo tanto, se deduce que todas las leyes de potencia con un exponente de escala particular son equivalentes hasta factores constantes, ya que cada una es simplemente una versión escalada de las demás. Este comportamiento es lo que produce la relación lineal cuando se toman logaritmos de ambos y , y la línea recta en la gráfica log-log a menudo se denomina firma de una ley potencial. Con datos reales, dicha rectitud es una condición necesaria, pero no suficiente, para que los datos sigan una relación de ley de potencia. De hecho, hay muchas formas de generar cantidades finitas de datos que imitan este comportamiento característico, pero, en su límite asintótico, no son verdaderas leyes de potencia. ^{[ cita necesaria ]} Por lo tanto, ajustar y validar con precisión modelos de ley de potencias es un área activa de investigación en estadística; vea abajo. ${\displaystyle \propto }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c^{-k}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$

Falta de valor medio bien definido

Una ley potencial tiene una media bien definida sólo si , y tiene una varianza finita sólo si ; la mayoría de las leyes de potencia identificadas en la naturaleza tienen exponentes tales que la media está bien definida pero la varianza no, lo que implica que son capaces de comportarse como un cisne negro . ^[2] Esto se puede ver en el siguiente experimento mental: ^[11] imagina una habitación con tus amigos y estima el ingreso mensual promedio en la habitación. Ahora imaginemos a la persona más rica del mundo entrando en la sala, con un ingreso mensual de alrededor de mil millones de dólares. ¿Qué pasa con el ingreso promedio en la sala? El ingreso se distribuye según una ley potencial conocida como distribución de Pareto (por ejemplo, el patrimonio neto de los estadounidenses se distribuye según una ley potencial con un exponente de 2). ${\displaystyle x^{-k}}$ ${\displaystyle x\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle k>2}$ ${\displaystyle k>3}$

Por un lado, esto hace que sea incorrecto aplicar estadísticas tradicionales que se basan en la varianza y la desviación estándar (como el análisis de regresión ). ^[12] Por otro lado, esto también permite intervenciones rentables. ^[11] Por ejemplo, dado que los gases de escape de los automóviles se distribuyen según una ley potencial entre los automóviles (muy pocos automóviles contribuyen a la mayor contaminación), sería suficiente eliminar esos pocos automóviles de la carretera para reducir sustancialmente los gases de escape totales. ^[13]

Sin embargo, la mediana existe: para una ley potencial x ^{– k} , con exponente , toma el valor 2 ^{1/( k – 1)} x _min , donde x _min es el valor mínimo para el cual se cumple la ley potencial. ^[2] ${\displaystyle k>1}$

Universalidad

La equivalencia de leyes de potencia con un exponente de escala particular puede tener un origen más profundo en los procesos dinámicos que generan la relación ley de potencia. En física, por ejemplo, las transiciones de fase en los sistemas termodinámicos están asociadas con la aparición de distribuciones de ley potencial de determinadas cantidades, cuyos exponentes se denominan exponentes críticos del sistema. Se puede demostrar, mediante la teoría de grupos de renormalización , que diversos sistemas con los mismos exponentes críticos, es decir, que muestran un comportamiento de escala idéntico a medida que se acercan a la criticidad , comparten la misma dinámica fundamental. Por ejemplo, el comportamiento del agua y del CO2 _en sus puntos de ebullición cae en la misma clase de universalidad porque tienen exponentes críticos idénticos. ^{[ cita necesaria ] [ aclaración necesaria ]} De hecho, casi todas las transiciones de fase material se describen mediante un pequeño conjunto de clases de universalidad. Se han hecho observaciones similares, aunque no tan exhaustivas, para varios sistemas críticos autoorganizados , donde el punto crítico del sistema es un atractor . Formalmente, este intercambio de dinámicas se denomina universalidad , y se dice que los sistemas con precisamente los mismos exponentes críticos pertenecen a la misma clase de universalidad .

Funciones de ley de potencia

El interés científico en las relaciones entre leyes de potencia surge en parte de la facilidad con la que ciertas clases generales de mecanismos las generan. ^[14] La demostración de una relación de ley de potencia en algunos datos puede señalar tipos específicos de mecanismos que podrían subyacer al fenómeno natural en cuestión, y puede indicar una conexión profunda con otros sistemas aparentemente no relacionados; ^[15] ver también universalidad arriba. La ubicuidad de las relaciones entre leyes de potencia en física se debe en parte a restricciones dimensionales , mientras que en sistemas complejos , a menudo se piensa que las leyes de potencia son firmas de jerarquía o de procesos estocásticos específicos . Algunos ejemplos notables de leyes de potencia son la ley de distribución del ingreso de Pareto , la autosimilitud estructural de fractales y las leyes de escala en sistemas biológicos . La investigación sobre los orígenes de las relaciones entre leyes de potencia y los esfuerzos por observarlas y validarlas en el mundo real es un tema activo de investigación en muchos campos de la ciencia, incluida la física , la informática , la lingüística , la geofísica, la neurociencia , la sistemática , la sociología , economía y más.

Sin embargo, gran parte del interés reciente en las leyes de potencia proviene del estudio de las distribuciones de probabilidad : las distribuciones de una amplia variedad de cantidades parecen seguir la forma de ley de potencia, al menos en su cola superior (grandes eventos). El comportamiento de estos grandes eventos conecta estas cantidades con el estudio de la teoría de las grandes desviaciones (también llamada teoría del valor extremo ), que considera la frecuencia de eventos extremadamente raros como caídas del mercado de valores y grandes desastres naturales . Es principalmente en el estudio de distribuciones estadísticas donde se utiliza el nombre "ley de potencia".

En contextos empíricos, una aproximación a una ley de potencia a menudo incluye un término de desviación , que puede representar la incertidumbre en los valores observados (quizás errores de medición o de muestreo) o proporcionar una forma sencilla para que las observaciones se desvíen de la función de ley de potencia (quizás por razones estocásticas): ${\displaystyle o(x^{k})}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle y=ax^{k}+\varepsilon .\!}$

Matemáticamente, una ley de potencia estricta no puede ser una distribución de probabilidad, pero una distribución que sea una función de potencia truncada es posible: donde el exponente (letra griega alfa , que no debe confundirse con el factor de escala usado anteriormente) es mayor que 1 (de lo contrario, la cola tiene un área infinita), se necesita el valor mínimo; de lo contrario, la distribución tiene un área infinita cuando x se acerca a 0, y la constante C es un factor de escala para garantizar que el área total sea 1, como lo requiere una distribución de probabilidad. Más a menudo se utiliza una ley de potencia asintótica, una que sólo es verdadera en el límite; consulte las distribuciones de probabilidad de la ley de potencias a continuación para obtener más detalles. Normalmente el exponente cae en el rango , aunque no siempre. ^[10] ${\displaystyle p(x)=Cx^{-\alpha }}$ ${\displaystyle x>x_{\text{min}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x_{\text{min}}}$ ${\displaystyle 2<\alpha <3}$

Ejemplos

Se han identificado más de cien distribuciones de leyes de potencia en física (por ejemplo, avalanchas de arena), biología (por ejemplo, extinción de especies y masa corporal) y ciencias sociales (por ejemplo, tamaño de ciudades e ingresos). ^[16] Entre ellos se encuentran:

Inteligencia artificial

• Ley de escala neuronal

Astronomía

• La tercera ley de Kepler
• La función de masa inicial de las estrellas.
• El espectro de energía diferencial de los núcleos de rayos cósmicos.
• La relación M-sigma
• Erupciones solares

Física

• El exponente de Angstrom en óptica de aerosoles
• La dependencia de la frecuencia de la atenuación acústica en medios complejos.
• La ley de Stefan-Boltzmann
• Las curvas de voltaje de entrada-corriente de salida de los transistores de efecto de campo y los tubos de vacío se aproximan a una relación de ley cuadrática , un factor en el " sonido de los tubos ".
• Ley del cuadrado-cubo (relación entre área de superficie y volumen)
• En las curvas características de las placas de los triodos se puede encontrar una ley de 3/2 de potencia .
• Las leyes del cuadrado inverso de la gravedad newtoniana y la electrostática , como lo demuestran el potencial gravitacional y el potencial electrostático , respectivamente.
• Criticidad autoorganizada con un punto crítico como atractor.
• Modelo de fuerza de van der Waals
• Fuerza y ​​potencial en movimiento armónico simple.
• Corrección gamma que relaciona la intensidad de la luz con el voltaje.
• Comportamiento cerca de transiciones de fase de segundo orden que involucran exponentes críticos
• El área de operación segura relacionada con la corriente y el voltaje máximos simultáneos en semiconductores de potencia.
• Estado supercrítico de la materia y fluidos supercríticos , como exponentes supercríticos de capacidad calorífica y viscosidad . ^[17]
• La ley de Curie-von Schweidler en las respuestas dieléctricas a la entrada de voltaje de CC escalonada.
• La relación entre la fuerza de amortiguación y la velocidad en el cálculo de amortiguadores antisísmicos.
• Áreas de superficie plegadas expuestas a disolventes de aminoácidos centrados en segmentos de estructura de proteínas ^[18]

Psicología

• Ley de potencia de la psicofísica de Stevens ( desafiada con demostraciones de que puede ser logarítmica ^{[19] [20]} )
• La ley potencia del olvido ^[21]

Biología

• La ley de Kleiber que relaciona el metabolismo animal con el tamaño y las leyes alométricas en general.
• "La ley de potencia de dos tercios, que relaciona la velocidad con la curvatura en el sistema motor humano ". ^[22]
• La ley de Taylor que relaciona el tamaño medio de la población y la varianza del tamaño de las poblaciones en ecología
• Avalanchas neuronales ^[5]
• La riqueza de especies (número de especies) en clados de peces de agua dulce ^[23]
• El efecto Harlow Knapp, donde un subconjunto de las quinasas que se encuentran en el cuerpo humano componen la mayoría de las investigaciones publicadas ^[24]
• El tamaño de las zonas forestales a nivel mundial sigue una ley potencial ^[25]
• La relación especie-área que relaciona el número de especies encontradas en un área en función del tamaño del área.

Ciencia del clima

• Tamaños de las áreas y perímetros de las nubes, vistos desde el espacio ^[3]
• El tamaño de las células de lluvia ^[26]
• Disipación de energía en ciclones ^[27]
• Diámetros de los remolinos de polvo en la Tierra y Marte ^[28]

Ciencia general

• Crecimiento exponencial y observación aleatoria (o muerte) ^[29]
• Progreso a través del crecimiento exponencial y la difusión exponencial de innovaciones ^[30]
• Tolerancia altamente optimizada
• Forma propuesta de efectos de la curva de experiencia.
• Ruido rosa
• La ley de los números de corrientes y la ley de la longitud de las corrientes ( leyes de Horton que describen los sistemas fluviales) ^[31]
• Poblaciones de ciudades ( ley de Gibrat ) ^[32]
• Bibliogramas y frecuencias de palabras en un texto ( ley de Zipf ) ^[33]
• Principio 90–9–1 en wikis (también conocido como regla del 1% ) ^{[34] [35]}
• Ley de Richardson para la gravedad de los conflictos violentos (guerras y terrorismo) ^{[36] [37]}
• La relación entre el tamaño de caché de una CPU y el número de errores de caché sigue la ley de potencia de los errores de caché .
• La densidad espectral de las matrices de peso de redes neuronales profundas ^[38]

Matemáticas

• Fractales
• Distribución de Pareto y principio de Pareto, también llamado "regla 80-20"
• La ley de Zipf en análisis de corpus y distribuciones de población, entre otros, donde la frecuencia de un elemento o evento es inversamente proporcional a su rango de frecuencia (es decir, el segundo elemento/evento más frecuente ocurre la mitad de veces que el elemento más frecuente, el tercer elemento/evento más frecuente ocurre con la mitad de frecuencia que el elemento más frecuente). evento ocurre con un tercio de frecuencia que el elemento más frecuente, y así sucesivamente).
• Distribución Zeta (discreta)
• Distribución Yule-Simon (discreta)
• Distribución t de Student (continua), de la cual la distribución de Cauchy es un caso especial
• la ley de lotka
• El modelo de red sin escala

Ciencias económicas

• Tamaños de población de las ciudades de una región o red urbana , ley de Zipf .
• Distribución de artistas por precio medio de sus obras. ^[39]
• Distribución del ingreso en una economía de mercado.
• Distribución de titulaciones en redes bancarias. ^[40]
• Distribuciones del tamaño de las empresas. ^[41]

Finanzas

• Rentabilidad de inversiones de capital riesgo de alto riesgo ^[42]
• El cambio absoluto medio de los precios medios logarítmicos ^[43]
• Grandes cambios de precios, volatilidad y volumen de transacciones en las bolsas de valores ^[44]
• Tiempo medio de espera de un cambio de dirección ^[45]
• Tiempo medio de espera de un rebasamiento

Ciencias Políticas

• Ley de la raíz cúbica de los tamaños de ensamblaje

Variantes

Ley de potencia rota

Algunos modelos de la función de masa inicial utilizan una ley de potencia infringida; aquí Kroupa (2001) en rojo.

Una ley de potencia infringida es una función por partes , que consta de dos o más leyes de potencia, combinadas con un umbral. Por ejemplo, con dos leyes de potencia: ^[46]

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha _{1}}}$para ${\displaystyle x<x_{\text{th}},}$

${\displaystyle f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}}$.

Ley de potencia suavemente rota

Las piezas de una ley de potencia rota se pueden unir suavemente para construir una ley de potencia rota sin problemas.

Hay diferentes formas posibles de unir las leyes de potencia. Un ejemplo es el siguiente: ^[47]

$${\displaystyle \ln \left({\frac {y}{y_{0}}}+a\right)=c_{0}\ln \left({\frac {x}{x_{0}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}-c_{i-1}}{f_{i}}}\ln \left(1+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{f_{i}}\right)}$$

${\displaystyle 0<x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}}$

Cuando la función se traza como una gráfica log-log con el eje horizontal y el eje vertical , la gráfica se compone de segmentos lineales con pendientes , separados en y empalmados suavemente. El tamaño de determina la nitidez del empalme entre segmentos . ${\displaystyle \ln x}$ ${\displaystyle \ln(y/y_{0}+a)}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle c_{0},c_{1},...,c_{n}}$ ${\displaystyle x=x_{1},...,x_{n}}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i-1,i}$

Ley de potencia con corte exponencial

Una ley de potencia con un límite exponencial es simplemente una ley de potencia multiplicada por una función exponencial: ^[10]

${\displaystyle f(x)\propto x^{-\alpha }e^{-\beta x}.}$

Ley de potencia curva

${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}}$^[48]

Distribuciones de probabilidad de ley de potencias

En un sentido más amplio, una distribución de probabilidad de ley de potencia es una distribución cuya función de densidad (o función de masa en el caso discreto) tiene la forma, para valores grandes de , ^[49] ${\displaystyle x}$

${\displaystyle P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha -1)}}$

donde , y es una función que varía lentamente , que es cualquier función que satisface cualquier factor positivo . Esta propiedad de se deriva directamente del requisito de que sea asintóticamente invariante de escala; por tanto, la forma de sólo controla la forma y la extensión finita de la cola inferior. Por ejemplo, si es la función constante, entonces tenemos una ley potencial que se cumple para todos los valores de . En muchos casos, es conveniente suponer un límite inferior a partir del cual se cumple la ley. Combinando estos dos casos, y donde es una variable continua, la ley de potencia tiene la forma de la distribución de Pareto ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }L(r\,x)/L(x)=1}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{\mathrm {min} }}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },}$

donde el prefactor a es la constante de normalización . Ahora podemos considerar varias propiedades de esta distribución. Por ejemplo, sus momentos están dados por ${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$

${\displaystyle \langle x^{m}\rangle =\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}}$

que sólo está bien definido para . Es decir, todos los momentos divergen: cuando , el promedio y todos los momentos de orden superior son infinitos; cuando , la media existe, pero la varianza y los momentos de orden superior son infinitos, etc. Para muestras de tamaño finito extraídas de dicha distribución, este comportamiento implica que los estimadores de momentos centrales (como la media y la varianza) para momentos divergentes nunca lo harán. convergen: a medida que se acumulan más datos, continúan creciendo. Estas distribuciones de probabilidad de ley potencial también se denominan distribuciones de tipo Pareto, distribuciones con colas de Pareto o distribuciones con colas que varían regularmente. ${\displaystyle m<\alpha -1}$ ${\displaystyle m\geq \alpha -1}$ ${\displaystyle \alpha \leq 2}$ ${\displaystyle 2<\alpha <3}$

Una modificación, que no satisface la forma general anterior, con un corte exponencial, ^[10] es

${\displaystyle p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.}$

En esta distribución, el término de decaimiento exponencial eventualmente supera el comportamiento de la ley potencial en valores muy grandes de . Esta distribución no escala ^{[ se necesita más explicación ]} y, por lo tanto, no es asintóticamente una ley de potencia; sin embargo, escala aproximadamente en una región finita antes del límite. La forma pura anterior es un subconjunto de esta familia, con . Esta distribución es una alternativa común a la distribución asintótica de ley de potencia porque captura naturalmente efectos de tamaño finito. ${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \lambda =0}$

Las distribuciones Tweedie son una familia de modelos estadísticos caracterizados por el cierre bajo convolución aditiva y reproductiva, así como también bajo transformación de escala. En consecuencia, todos estos modelos expresan una relación de ley de potencia entre la varianza y la media. Estos modelos tienen un papel fundamental como focos de convergencia matemática similar al papel que tiene la distribución normal como foco en el teorema del límite central . Este efecto de convergencia explica por qué la ley de varianza a potencia media se manifiesta tan ampliamente en los procesos naturales, como ocurre con la ley de Taylor en ecología y con la escala de fluctuación ^[50] en física. También se puede demostrar que esta ley de potencia de varianza a media, cuando se demuestra mediante el método de expansión de contenedores , implica la presencia de ruido 1/ f y que el ruido 1/ f puede surgir como consecuencia de este efecto de convergencia Tweedie. ^[51]

Métodos gráficos de identificación.

Aunque se han propuesto métodos más sofisticados y sólidos, los métodos gráficos más utilizados para identificar distribuciones de probabilidad de ley de potencia utilizando muestras aleatorias son los gráficos cuantiles-cuantiles de Pareto (o gráficos Q-Q de Pareto ), ^{[ cita requerida ]} gráficos de vida residual media ^{[ 52] [53]} y gráficos log-log . Otro método gráfico más robusto utiliza paquetes de funciones cuantiles residuales. ^[54] (Tenga en cuenta que las distribuciones de ley de potencia también se denominan distribuciones de tipo Pareto). Aquí se supone que se obtiene una muestra aleatoria de una distribución de probabilidad y que queremos saber si la cola de la distribución sigue una ley de potencia (en otras palabras, queremos saber si la distribución tiene una "cola de Pareto"). Aquí, la muestra aleatoria se llama "los datos".

Los gráficos de Pareto Q – Q comparan los cuantiles de los datos transformados logarítmicamente con los cuantiles correspondientes de una distribución exponencial con media 1 (o con los cuantiles de una distribución de Pareto estándar) trazando el primero frente al segundo. Si el diagrama de dispersión resultante sugiere que los puntos trazados "convergen asintóticamente" en una línea recta, entonces debe sospecharse una distribución de ley potencial. Una limitación de los gráficos de Pareto Q-Q es que se comportan mal cuando el índice de cola (también llamado índice de Pareto) es cercano a 0, porque los gráficos de Pareto Q-Q no están diseñados para identificar distribuciones con colas que varían lentamente. ^[54] ${\displaystyle \alpha }$

Por otro lado, en su versión para identificar distribuciones de probabilidad de ley de potencia, el gráfico de vida residual media consiste en primero transformar logarítmicamente los datos y luego trazar el promedio de aquellos datos transformados logarítmicamente que son superiores al orden i . estadística versus estadística de orden i , para i  = 1, ...,  n , donde n es el tamaño de la muestra aleatoria. Si el diagrama de dispersión resultante sugiere que los puntos trazados tienden a "estabilizarse" alrededor de una línea recta horizontal, entonces se debe sospechar de una distribución de ley de potencia. Dado que el gráfico de vida residual media es muy sensible a los valores atípicos (no es robusto), generalmente produce gráficos que son difíciles de interpretar; por esta razón, estas tramas suelen denominarse tramas de terror de Hill ^[55]

Es necesaria una línea recta en una gráfica log-log, pero no hay evidencia suficiente para las leyes de potencia; la pendiente de la línea recta corresponde al exponente de la ley de potencia.

Los gráficos log-log son una forma alternativa de examinar gráficamente la cola de una distribución utilizando una muestra aleatoria. Sin embargo, se debe tener precaución ya que un gráfico log-log es necesario pero no hay evidencia suficiente para una relación de ley de potencia, ya que muchas distribuciones que no son de ley de potencia aparecerán como líneas rectas en un gráfico log-log. ^{[10] [56]} Este método consiste en trazar el logaritmo de un estimador de la probabilidad de que ocurra un número particular de la distribución versus el logaritmo de ese número particular. Por lo general, este estimador es la proporción de veces que el número aparece en el conjunto de datos. Si los puntos en el gráfico tienden a "convergir" en una línea recta para números grandes en el eje x, entonces el investigador concluye que la distribución tiene una cola de ley potencial. Se han publicado ejemplos de la aplicación de este tipo de tramas. ^[57] Una desventaja de estos gráficos es que, para que proporcionen resultados confiables, requieren enormes cantidades de datos. Además, son apropiados sólo para datos discretos (o agrupados).

Se ha propuesto otro método gráfico para la identificación de distribuciones de probabilidad de ley de potencia utilizando muestras aleatorias. ^[54] Esta metodología consiste en trazar un paquete para la muestra transformada logarítmicamente . Originalmente propuesta como una herramienta para explorar la existencia de momentos y la función de generación de momentos utilizando muestras aleatorias, la metodología del paquete se basa en funciones cuantiles residuales (RQF), también llamadas funciones percentiles residuales, ^{[58] [59] [60] [61 ] [62] [63] [64]} que proporcionan una caracterización completa del comportamiento de la cola de muchas distribuciones de probabilidad conocidas, incluidas distribuciones de ley de potencia, distribuciones con otros tipos de colas pesadas e incluso distribuciones de colas no pesadas. Los diagramas de paquetes no tienen las desventajas de los diagramas Q-Q de Pareto, los diagramas de vida residual media y los diagramas log-log mencionados anteriormente (son robustos a los valores atípicos, permiten identificar visualmente leyes de potencia con valores pequeños de y no exigen la recopilación de mucha información). datos). ^{[ cita necesaria ]} Además, se pueden identificar otros tipos de comportamiento de la cola mediante gráficos de paquetes. ${\displaystyle \alpha }$

Trazar distribuciones de leyes de potencia

En general, las distribuciones de ley de potencia se trazan en ejes doblemente logarítmicos, lo que enfatiza la región superior de la cola. La forma más conveniente de hacerlo es mediante la distribución acumulativa (complementaria) (ccdf), es decir, la función de supervivencia , ${\displaystyle P(x)=\mathrm {Pr} (X>x)}$

${\displaystyle P(x)=\Pr(X>x)=C\int _{x}^{\infty }p(X)\,\mathrm {d} X={\frac {\alpha -1}{x_{\min }^{-\alpha +1}}}\int _{x}^{\infty }X^{-\alpha }\,\mathrm {d} X=\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-(\alpha -1)}.}$

La CDF también es una función de ley potencial, pero con un exponente de escala más pequeño. Para los datos, una forma equivalente de la CDF es el enfoque de rango-frecuencia, en el que primero clasificamos los valores observados en orden ascendente y los trazamos contra el vector . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \left[1,{\frac {n-1}{n}},{\frac {n-2}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right]}$

Aunque puede ser conveniente realizar un log-bin de los datos o suavizar directamente la función de densidad de probabilidad (masa), estos métodos introducen un sesgo implícito en la representación de los datos y, por lo tanto, deben evitarse. ^{[10] [65]} La función de supervivencia, por otro lado, es más robusta (pero no sin) tales sesgos en los datos y preserva la firma lineal en ejes doblemente logarítmicos. Aunque se prefiere una representación de función de supervivencia a la de la función de probabilidad al ajustar una ley de potencia a los datos con el método de mínimos cuadrados lineales, no está exenta de inexactitud matemática. Por lo tanto, al estimar exponentes de una distribución de ley de potencia, se recomienda el estimador de máxima verosimilitud.

Estimar el exponente a partir de datos empíricos.

Hay muchas formas de estimar el valor del exponente de escala para una cola de ley potencial, sin embargo, no todas dan respuestas imparciales y consistentes . Algunas de las técnicas más fiables suelen basarse en el método de máxima verosimilitud . Los métodos alternativos a menudo se basan en realizar una regresión lineal ya sea en la probabilidad log-log, en la función de distribución acumulativa log-log o en datos log-binned, pero estos enfoques deben evitarse ya que todos pueden conducir a estimaciones altamente sesgadas de la probabilidad. exponente de escala. ^[10]

Máxima verosimilitud

Para datos con valores reales, independientes e idénticamente distribuidos , ajustamos una distribución de ley de potencias de la forma

${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

a los datos , donde se incluye el coeficiente para asegurar que la distribución esté normalizada . Dada la opción de , la función logarítmica de verosimilitud se convierte en: ${\displaystyle x\geq x_{\min }}$ ${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$ ${\displaystyle x_{\min }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\alpha )=\log \prod _{i=1}^{n}{\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha }}$

El máximo de esta probabilidad se encuentra diferenciando con respecto al parámetro , igualando el resultado a cero. Tras la reordenación, esto produce la ecuación del estimador: ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}=1+n\left[\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}\right]^{-1}}$

¿ Dónde están los puntos de datos ? ^{[2] [66]} Este estimador exhibe un pequeño sesgo de tamaño de muestra finito de orden , que es pequeño cuando n  > 100. Además, el error estándar de la estimación es . Este estimador es equivalente al popular ^{[ cita requerida ]} estimador de Hill de las finanzas cuantitativas y la teoría del valor extremo . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$ ${\displaystyle O(n^{-1})}$ ${\displaystyle \sigma ={\frac {{\hat {\alpha }}-1}{\sqrt {n}}}+O(n^{-1})}$

Para un conjunto de n puntos de datos con valores enteros , nuevamente donde cada uno , el exponente de máxima verosimilitud es la solución de la ecuación trascendental. ${\displaystyle \{x_{i}\}}$ ${\displaystyle x_{i}\geq x_{\min }}$

${\displaystyle {\frac {\zeta '({\hat {\alpha }},x_{\min })}{\zeta ({\hat {\alpha }},x_{\min })}}=-{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\ln {\frac {x_{i}}{x_{\min }}}}$

¿Dónde está la función zeta incompleta ? La incertidumbre en esta estimación sigue la misma fórmula que para la ecuación continua. Sin embargo, las dos ecuaciones para no son equivalentes y la versión continua no debe aplicarse a datos discretos, ni viceversa. ${\displaystyle \zeta (\alpha ,x_{\mathrm {min} })}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$

Además, ambos estimadores requieren la elección de . Para funciones con una función no trivial , elegir demasiado pequeño produce un sesgo significativo en , mientras que elegirlo demasiado grande aumenta la incertidumbre en y reduce el poder estadístico de nuestro modelo. En general, la mejor elección depende en gran medida de la forma particular de la cola inferior, representada arriba. ${\displaystyle x_{\min }}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle x_{\min }}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ ${\displaystyle x_{\min }}$ ${\displaystyle L(x)}$

Puede encontrar más información sobre estos métodos y las condiciones bajo las cuales se pueden utilizar en . ^[10] Además, este artículo de revisión integral proporciona código utilizable (Matlab, Python, R y C++) para rutinas de estimación y prueba para distribuciones de leyes de potencia.

Estimación de Kolmogorov-Smirnov

Otro método para la estimación del exponente de la ley de potencias, que no supone datos independientes e idénticamente distribuidos (iid), utiliza la minimización del estadístico de Kolmogorov-Smirnov , entre las funciones de distribución acumuladas de los datos y la ley de potencias: ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}={\underset {\alpha }{\operatorname {arg\,min} }}\,D_{\alpha }}$

con

${\displaystyle D_{\alpha }=\max _{x}|P_{\mathrm {emp} }(x)-P_{\alpha }(x)|}$

donde y denotan las CDF de los datos y la ley de potencia con exponente , respectivamente. Como este método no supone datos iid, proporciona una forma alternativa de determinar el exponente de la ley de potencias para conjuntos de datos en los que no se puede ignorar la correlación temporal. ^[5] ${\displaystyle P_{\mathrm {emp} }(x)}$ ${\displaystyle P_{\alpha }(x)}$ ${\displaystyle \alpha }$

Método de ajuste de dos puntos

Este criterio ^[67] se puede aplicar para la estimación del exponente de la ley de potencias en el caso de distribuciones sin escala y proporciona una estimación más convergente que el método de máxima verosimilitud. Se ha aplicado para estudiar distribuciones de probabilidad de aperturas de fracturas. En algunos contextos, la distribución de probabilidad se describe, no mediante la función de distribución acumulativa , sino mediante la frecuencia acumulativa de una propiedad X , definida como el número de elementos por metro (o unidad de área, segundo, etc.) para los cuales se aplica X  >  x , donde x es un número real variable. Como ejemplo, ^{[ cita necesaria ]} la distribución acumulativa de la apertura de la fractura, X , para una muestra de N elementos se define como 'el número de fracturas por metro que tienen una apertura mayor que x . El uso de la frecuencia acumulativa tiene algunas ventajas, por ejemplo, permite colocar en el mismo diagrama datos recopilados de líneas de muestra de diferentes longitudes y a diferentes escalas (por ejemplo, de afloramiento y de microscopio).

Validando las leyes de potencia

Aunque las relaciones de ley de potencia son atractivas por muchas razones teóricas, demostrar que los datos efectivamente siguen una relación de ley de potencia requiere algo más que simplemente ajustar un modelo particular a los datos. ^[30] Esto es importante para comprender el mecanismo que da lugar a la distribución: pueden surgir distribuciones superficialmente similares por razones significativamente diferentes, y diferentes modelos producen diferentes predicciones, como la extrapolación.

Por ejemplo, las distribuciones log-normales a menudo se confunden con distribuciones de ley de potencia: ^[68] un conjunto de datos extraído de una distribución lognormal será aproximadamente lineal para valores grandes (correspondiente a que la cola superior de la lognormal esté cerca de una ley de potencia) ^{[ se necesita aclaración ]} , pero para valores pequeños el lognormal disminuirá significativamente (inclinándose), lo que corresponde a que la cola inferior del lognormal sea pequeña (hay muy pocos valores pequeños, en lugar de muchos valores pequeños en una ley de potencia). ^{[ cita necesaria ]}

Por ejemplo, la ley de Gibrat sobre los procesos de crecimiento proporcional produce distribuciones lognormales, aunque sus gráficas log-log parecen lineales en un rango limitado. Una explicación de esto es que, aunque el logaritmo de la función de densidad lognormal es cuadrático en log( x ) , lo que produce una forma "arqueada" en una gráfica log-log, si el término cuadrático es pequeño en relación con el término lineal, entonces el resultado puede parecen casi lineales, y el comportamiento lognormal sólo es visible cuando domina el término cuadrático, lo que puede requerir muchos más datos. Por lo tanto, una gráfica log-log que esté ligeramente "inclinada" hacia abajo puede reflejar una distribución log-normal, no una ley potencial.

En general, muchas formas funcionales alternativas pueden parecer seguir hasta cierto punto una forma de ley potencial. ^[69] Stumpf y Porter (2012) propusieron trazar la función de distribución acumulativa empírica en el dominio log-log y afirmaron que una ley potencial candidata debería cubrir al menos dos órdenes de magnitud. ^[70] Además, los investigadores generalmente tienen que enfrentar el problema de decidir si una distribución de probabilidad del mundo real sigue o no una ley potencial. Como solución a este problema, Díaz ^[54] propuso una metodología gráfica basada en muestras aleatorias que permite discernir visualmente entre diferentes tipos de comportamiento de la cola. Esta metodología utiliza paquetes de funciones cuantiles residuales, también llamadas funciones de vida residuales percentiles, que caracterizan muchos tipos diferentes de colas de distribución, incluidas colas pesadas y no pesadas. Sin embargo, Stumpf y Porter (2012) afirmaron la necesidad de contar con antecedentes tanto estadísticos como teóricos para respaldar una ley de potencia en el mecanismo subyacente que impulsa el proceso de generación de datos. ^[70]

Un método para validar una relación de ley de potencias compara muchas predicciones ortogonales de un mecanismo generativo particular con datos. Simplemente ajustar una relación de ley potencial a un tipo particular de datos no se considera un enfoque racional. Como tal, la validación de las afirmaciones basadas en la ley de potencias sigue siendo un campo de investigación muy activo en muchas áreas de la ciencia moderna. ^[10]

Ver también

• Distribución de cola gruesa
• Distribuciones de cola pesada
• Crecimiento hiperbólico
• Vuelo de Levy
• Cola larga
• distribución de Pareto
• Fluido de ley de potencia
• modelo simon
• Distribución estable
• Ley de potencia de Stevens

Referencias

Notas

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• Benoit Mandelbrot y Richard Hudson: El mal comportamiento de los mercados (2004)
• Philip Ball: Masa crítica: Cómo una cosa lleva a la otra (2005)
• Tiranía de la ley de potencia del blog de econofísica
• Entonces crees que tienes una ley de potencia. Bueno, ¿no es eso especial? de Three-Toed Sloth, el blog de Cosma Shalizi , profesora de Estadística en la Universidad Carnegie-Mellon.
• Script MATLAB simple que agrupa datos para ilustrar distribuciones de leyes de potencia (si las hay) en los datos.
• El servidor Erdős Webgraph Archivado el 1 de marzo de 2021 en Wayback Machine visualiza la distribución de los grados del webgraph en la página de descarga.