Función cuantil

Función estadística que define los cuantiles de una distribución de probabilidad.

El probit es la función cuantil de la distribución normal .

En probabilidad y estadística , la función cuantil genera el valor de una variable aleatoria de modo que su probabilidad sea menor o igual a un valor de probabilidad de entrada. Intuitivamente, la función cuantil asocia con un rango en y por debajo de una entrada de probabilidad la probabilidad de que una variable aleatoria se realice en ese rango para alguna distribución de probabilidad. También se le llama función percentil (después del percentil ), función de puntos porcentuales , función de distribución acumulativa inversa (después de la función de distribución acumulativa ) o función de distribución inversa .

Definición

Función de distribución estrictamente monótona

Con referencia a una función de distribución acumulativa continua y estrictamente monótona de una variable aleatoria X , la función cuantil asigna su entrada p a un valor umbral x de modo que la probabilidad de que X sea menor o igual que x es p . En términos de la función de distribución F , la función cuantil Q devuelve el valor x tal que ${\displaystyle F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]}$ ${\displaystyle Q\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p\,,}$

que se puede escribir como inversa de la cdf

${\displaystyle Q(p)=F_{X}^{-1}(p)\,.}$

La función de distribución acumulativa (que se muestra como F(x) ) da los valores de p en función de los valores de q . La función cuantil hace lo contrario: da los valores q en función de los valores p . Tenga en cuenta que la porción de F(x) en rojo es un segmento de línea horizontal.

Función de distribución general

En el caso general de funciones de distribución que no son estrictamente monótonas y por lo tanto no permiten una CDF inversa , el cuantil es un funcional (potencialmente) con valor conjunto de una función de distribución F , dado por el intervalo ^[1]

${\displaystyle Q(p)\ =\ {\boldsymbol {\biggl [}}\ \sup \left\{x\colon F(x)<p\right\}\ {\boldsymbol {,}}\ \sup \left\{x\colon F(x)\leq p\right\}\ {\boldsymbol {\biggr ]}}~.}$

A menudo es estándar elegir el valor más bajo, que puede escribirse de manera equivalente como (usando la continuidad por la derecha de F )

${\displaystyle Q(p)\ =\ \inf \left\{\ x\in \mathbb {R} \ :\ p\leq F(x)\ \right\}~.}$

Aquí capturamos el hecho de que la función cuantil devuelve el valor mínimo de x entre todos aquellos valores cuyo valor cdf excede p , lo que es equivalente a la declaración de probabilidad anterior en el caso especial de que la distribución sea continua. Tenga en cuenta que la función mínima se puede reemplazar por la función mínima, ya que la función de distribución es continua por la derecha y aumenta débilmente y monótonamente.

El cuantil es la función única que satisface las desigualdades de Galois.

${\displaystyle Q(p)\leq x\quad }$ si y solo si ${\displaystyle \quad p\leq F(x)~.}$

Si la función F es continua y estrictamente monótona, entonces las desigualdades se pueden reemplazar por igualdades, y tenemos:

${\displaystyle Q=F^{-1}}$

En general, aunque la función de distribución F puede no poseer una inversa izquierda o derecha , la función cuantil Q se comporta como una "inversa izquierda casi segura" para la función de distribución, en el sentido de que

${\displaystyle Q{\bigl (}\ F(X)\ {\bigr )}=X\quad }$ casi con seguridad.

Ejemplo sencillo

Por ejemplo, la función de distribución acumulativa de Exponencial( λ ) (es decir, intensidad λ y valor esperado ( media ) 1/ λ ) es

${\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

La función cuantil para Exponencial ( λ ) se obtiene encontrando el valor de Q para el cual : ${\displaystyle 1-e^{-\lambda Q}=p}$

${\displaystyle Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!}$

para 0 ≤  p  < 1. Los cuartiles son por tanto:

primer cuartil (p = 1/4)

${\displaystyle -\ln(3/4)/\lambda \,}$

mediana (p = 2/4)

${\displaystyle -\ln(1/2)/\lambda \,}$

tercer cuartil (p = 3/4)

${\displaystyle -\ln(1/4)/\lambda .\,}$

Aplicaciones

Las funciones cuantiles se utilizan tanto en aplicaciones estadísticas como en métodos de Monte Carlo .

La función cuantil es una forma de prescribir una distribución de probabilidad y es una alternativa a la función de densidad de probabilidad (pdf) o función de masa de probabilidad , la función de distribución acumulativa (cdf) y la función característica . La función cuantil, Q , de una distribución de probabilidad es la inversa de su función de distribución acumulativa F. La derivada de la función cuantil, es decir, la función de densidad cuantil , es otra forma más de prescribir una distribución de probabilidad. Es el recíproco de la función de densidad de probabilidad compuesta con la función cuantil.

Considere una aplicación estadística en la que un usuario necesita conocer los puntos porcentuales clave de una distribución determinada. Por ejemplo, requieren la mediana y los cuartiles de 25% y 75% como en el ejemplo anterior o niveles de 5%, 95%, 2,5%, 97,5% para otras aplicaciones, como evaluar la significancia estadística de una observación cuya distribución se conoce; ver la entrada cuantil . Antes de la popularización de las computadoras, no era raro que los libros tuvieran apéndices con tablas estadísticas que muestreaban la función cuantil. ^[2] Gilchrist analiza ampliamente las aplicaciones estadísticas de funciones cuantiles. ^[3]

Las simulaciones de Monte-Carlo emplean funciones cuantiles para producir números aleatorios o pseudoaleatorios no uniformes para su uso en diversos tipos de cálculos de simulación. En principio, se puede obtener una muestra de una distribución determinada aplicando su función cuantil a una muestra de una distribución uniforme. Las demandas de los métodos de simulación, por ejemplo en las finanzas computacionales modernas , están centrando cada vez más la atención en los métodos basados ​​en funciones cuantiles, ya que funcionan bien con técnicas multivariadas basadas en métodos de cópula o cuasi-Monte-Carlo ^[4] y métodos de Monte Carlo en finanzas .

Cálculo

La evaluación de funciones cuantiles a menudo implica métodos numéricos , como la distribución exponencial anterior, que es una de las pocas distribuciones donde se puede encontrar una expresión de forma cerrada (otras incluyen la uniforme , la Weibull , la lambda de Tukey (que incluye la logística ) y el log-logístico ). Cuando la propia CDF tiene una expresión de forma cerrada, siempre se puede utilizar un algoritmo numérico de búsqueda de raíces, como el método de bisección, para invertir la CDF. Otros métodos se basan en una aproximación de la inversa mediante técnicas de interpolación. ^[5] En la serie de libros Numerical Recipes se proporcionan más algoritmos para evaluar funciones cuantiles . Los algoritmos para distribuciones comunes están integrados en muchos paquetes de software estadístico . Los métodos generales para calcular numéricamente las funciones cuantiles para clases generales de distribuciones se pueden encontrar en las siguientes bibliotecas:

• Biblioteca C UNU.RAN ^[6]
• Biblioteca R Runuran ^[7]
• Muestreo de subpaquetes de Python en scipy.stats ^{[8] [9]}

Las funciones cuantiles también se pueden caracterizar como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales y ordinarias no lineales . Se han dado y resuelto las ecuaciones diferenciales ordinarias para los casos de las distribuciones normal , Student , beta y gamma . ^[10]

Distribución normal

La distribución normal es quizás el caso más importante. Debido a que la distribución normal es una familia de escala de ubicación , su función cuantil para parámetros arbitrarios se puede derivar de una simple transformación de la función cuantil de la distribución normal estándar, conocida como función probit . Desafortunadamente, esta función no tiene una representación de forma cerrada que utilice funciones algebraicas básicas; como resultado, generalmente se utilizan representaciones aproximadas. Wichura ^[11] y Acklam han proporcionado aproximaciones polinómicas y racionales compuestas exhaustivas . ^[12] Shaw ha desarrollado aproximaciones racionales no compuestas. ^[13]

Ecuación diferencial ordinaria para el cuantil normal.

Se puede dar una ecuación diferencial ordinaria no lineal para el cuantil normal, w ( p ). Es

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}}$

con las condiciones centrales (iniciales)

${\displaystyle w\left(1/2\right)=0,\,}$

${\displaystyle w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,}$

Esta ecuación se puede resolver mediante varios métodos, incluido el enfoque clásico de series de potencias . A partir de esto se pueden desarrollar soluciones de precisión arbitrariamente alta (ver Steinbrecher y Shaw, 2008).

Distribución t de Student

Históricamente, este ha sido uno de los casos más difíciles, ya que la presencia de un parámetro, ν, los grados de libertad, hace que el uso de aproximaciones racionales y de otro tipo sea incómodo. Existen fórmulas simples cuando ν = 1, 2, 4 y el problema puede reducirse a la solución de un polinomio cuando ν es par. En otros casos, las funciones cuantiles pueden desarrollarse como series de potencias. ^[14] Los casos simples son los siguientes:

ν = 1 (distribución de Cauchy)

${\displaystyle Q(p)=\tan(\pi (p-1/2))\!}$

v = 2

${\displaystyle Q(p)=2(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\!}$

v = 4

${\displaystyle Q(p)=\operatorname {sign} (p-1/2)\,2\,{\sqrt {q-1}}\!}$

dónde

${\displaystyle q={\frac {\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\,\right)\right)}{\sqrt {\alpha }}}\!}$

y

${\displaystyle \alpha =4p(1-p).\!}$

En lo anterior, la función "signo" es +1 para argumentos positivos, −1 para argumentos negativos y cero en cero. No debe confundirse con la función seno trigonométrica.

Mezclas cuantiles

De manera análoga a las mezclas de densidades , las distribuciones se pueden definir como mezclas cuantiles.

${\displaystyle Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)}$,

donde son funciones cuantiles y son los parámetros del modelo. Los parámetros deben seleccionarse de modo que sea una función cuantil. Karvanen presenta dos mezclas de cuantiles de cuatro parámetros, la mezcla de cuantiles polinomiales normales y la mezcla de cuantiles polinomiales de Cauchy. ^[15] ${\displaystyle Q_{i}(p)}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,m}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle Q(p)}$

Ecuaciones diferenciales no lineales para funciones cuantiles.

La ecuación diferencial ordinaria no lineal dada para la distribución normal es un caso especial de la disponible para cualquier función cuantil cuya segunda derivada exista. En general , se puede dar la ecuación para un cuantil, Q ( p ). Es

${\displaystyle {\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}}$

aumentado por condiciones de contorno adecuadas, donde

${\displaystyle H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)}$

y ƒ ( x ) es la función de densidad de probabilidad. Las formas de esta ecuación, y su análisis clásico por series y soluciones asintóticas, para los casos de las distribuciones normal, Student, gamma y beta han sido aclaradas por Steinbrecher y Shaw (2008). Estas soluciones proporcionan puntos de referencia precisos y, en el caso del Student, series adecuadas para el uso en vivo de Monte Carlo.

Ver también

• Muestreo de transformación inversa
• Punto porcentual
• Transformada integral de probabilidad
• Cuantil
• Distribución rango-tamaño

Referencias

1. Mmm, W.; Gneiting, T.; Jordán, A.; Krüger, F. (2016). "De cuantiles y expectiles: funciones de puntuación consistentes, representaciones de Choquet y clasificaciones de pronóstico". Estadística JR. Soc. B . 78 (3): 505–562. arXiv : 1503.08195 . doi : 10.1111/rssb.12154 .
2. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 24 de marzo de 2012 . Consultado el 25 de marzo de 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
3. Gilchrist, W. (2000). Modelado estadístico con funciones cuantiles . ISBN 1-58488-174-7.
4. Jaeckel, P. (2002). Métodos de Montecarlo en finanzas .
5. Derflinger, Gerhard; Hörmann, Wolfgang; Leydold, Josef (2010). "Generación de variables aleatorias por inversión numérica cuando sólo se conoce la densidad". Transacciones ACM sobre modelado y simulación por computadora . 20 (4). doi :10.1145/945511.945517.
6. https://statmath.wu.ac.at/unuran/index.html
7. https://cran.r-project.org/package=Runuran
8. https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/stats.sampling.html
9. Baumgarten, Christoph; Patel, Tirth (2022). "Generación automática de variables aleatorias en Python". Actas de la 21ª Conferencia Python in Science . doi : 10.25080/majora-212e5952-007 .
10. Steinbrecher, G., Shaw, WT (2008). "Mecánica de cuantiles". Revista Europea de Matemáticas Aplicadas . 19 (2): 87-112. doi :10.1017/S0956792508007341. S2CID  6899308.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
11. Wichura, MJ (1988). "Algoritmo AS241: los puntos porcentuales de la distribución normal". Estadísticas aplicadas . 37 (3). Publicación Blackwell: 477–484. doi :10.2307/2347330. JSTOR  2347330.
12. Un algoritmo para calcular la función de distribución acumulativa normal inversa Archivado el 5 de mayo de 2007 en Wayback Machine.
13. Finanzas computacionales: ecuaciones diferenciales para el reciclaje de Monte Carlo
14. Shaw, Peso (2006). "Muestreo de la distribución T de Student: uso de la función de distribución acumulativa inversa". Revista de Finanzas Computacionales . 9 (4): 37–73. doi :10.21314/JCF.2006.150.
15. Karvanen, J. (2006). "Estimación de mezclas de cuantiles mediante momentos L y momentos L recortados". Estadística computacional y análisis de datos . 51 (2): 947–956. doi : 10.1016/j.csda.2005.09.014.

Otras lecturas

• Abernathy, Roger W. y Smith, Robert P. (1993) * "Aplicación de la expansión en serie a la distribución beta inversa para encontrar percentiles de la distribución F", ACM Trans. Matemáticas. Software. , 9 (4), 478–480 puntos :10.1145/168173.168387
• Refinamiento del cuantil normal
• Nuevos métodos para gestionar la distribución T del "estudiante"
• Algoritmo ACM 396: t-Cuantiles de Student